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1、第第9章章 排序排序数理与信息工程学院数理与信息工程学院数数 据据 结结 构构9.1 概述概述9.2 插入排序插入排序9.3 交换排序交换排序9.4 选择排序选择排序9.5 归并排序归并排序9.6 基数排序基数排序9.7 各种排序方法的综合比较各种排序方法的综合比较*9.8 外部排序外部排序数数 据据 结结 构构 【重点与难点重点与难点】希尔排序、快速排序、归并排希尔排序、快速排序、归并排序和堆排序等高效方法是本章的序和堆排序等高效方法是本章的学习重点和难点。学习重点和难点。一、排序的定义一、排序的定义三、排序的分类三、排序的分类四、内部排序方法的分类四、内部排序方法的分类五、排序算法的性能标
2、准五、排序算法的性能标准二、排序文件的存储结构二、排序文件的存储结构9.19.1 概述一、什么是排序？一、什么是排序？排序是计算机内经常进行的一种操作，是将一组“无序无序”的记录序列调整的记录序列调整为为“有序有序”的记录序列的一种操作。例如：将下列关键字序列52,49,80,36,14,58,61,23,97,75调整为调整为14,23,36,49,52,58,61,75,80,97 严格定义如下：严格定义如下：一般情况下，一般情况下，假设含假设含n个记录的序列为个记录的序列为 R1,R2,，Rn 其相应的关键字序列为其相应的关键字序列为 K1,K2,，Kn 这些关键字相互之间可以进行比较，
3、且在这些关键字相互之间可以进行比较，且在它们之间存在着这样一个关系它们之间存在着这样一个关系：Kp1Kp2Kpn按此固有关系将上式记录序列重新排列为按此固有关系将上式记录序列重新排列为 Rp1,Rp2,，Rpn 的操作称作的操作称作排序。排序。二、排序文件的存储结构二、排序文件的存储结构顺序存储（顺序表）顺序存储（顺序表）链式存储链式存储顺序存储的数据类型定义如下顺序存储的数据类型定义如下:#define MAXSIZE 1000/待排顺序表最大长度待排顺序表最大长度typedef struct KeyType key;/关键字项关键字项 InfoType otherinfo;/其它数据项其它
4、数据项 RcdType;/记录类型记录类型typedef struct RcdType rMAXSIZE+1;/r0闲置闲置 int length;/顺序表长度顺序表长度 SqList;/顺序表类型顺序表类型Sqlist L;typedef int KeyType;/关键字类型为整数类型关键字类型为整数类型三、排序的分类三、排序的分类1 1、按排序过程中所涉及到的、按排序过程中所涉及到的存储器不同存储器不同分为：分为：2 2、按相同关键字在排序前后的、按相同关键字在排序前后的位置不同位置不同分为：分为：稳定排序稳定排序内部排序内部排序外部排序外部排序不稳定排序不稳定排序 假设假设Ki=Kj（i
5、j),且在排序且在排序前前的序列中的序列中Ri领先于领先于Rj（即（即ij)。若在。若在排序排序后后的序列中的序列中Ri仍领先于仍领先于Rj，则称所用的排序方法是，则称所用的排序方法是稳定的稳定的；反之反之，则称所用的排序方法是，则称所用的排序方法是不稳定的不稳定的。四、内部排序的方法四、内部排序的方法内部排序的过程是一个逐步内部排序的过程是一个逐步扩大扩大记录的记录的有序序列长度有序序列长度的过程。的过程。经过一趟排序经过一趟排序有序序列区无 序 序 列 区有序序列区无 序 序 列 区 基于不同的“扩大扩大”有序序列长度的方法，内部排序方法方法，内部排序方法大致可分下列几种类型：插入类插入类
6、交换类交换类选择类选择类 归并类归并类其它方法其它方法1.插入类插入类将无序子序列中的一个或几个记录“插入插入”到有序序列中，从而增加记录的有序子序列的长度。2.交换类交换类通过“交换交换”无序序列中的记录从而得到其中关键字最小或最大的记录，并将它加入到有序子序列中，以此方法增加记录的有序子序列的长度。3.选择类选择类从记录的无序子序列中“选择”关键字最小或最大的记录，并将它加入到有序子序列中，以此方法增加记录的有序子序列的长度。4.归并类归并类 通过“归并归并”两个或两个以上的有序子序列有序子序列，逐步增加记录中的有序序列的长度。5.其它方法其它方法就各类介绍一二个典型算法。五、排序算法的性
7、能标准五、排序算法的性能标准时间时间比较次数（与关键字值比较）比较次数（与关键字值比较）移动次数移动次数空间：空间：指所需辅助空间的大小指所需辅助空间的大小稳定性稳定性内部排序的时间分析：内部排序的时间分析：实现内部排序的基本操作基本操作有两个：（2）“移动移动”记录。（1）“比较比较”序列中两个关键字的 大小；基本思想：基本思想：每次将一个待排序的记录，按其每次将一个待排序的记录，按其关键字值的大小插入到前面已排序好关键字值的大小插入到前面已排序好的记录序列中的适当位置，直到全部的记录序列中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。记录插入完成为止。9.2 9.2 插入排序插入排序有序序列有序序
8、列R1.i-1Ri无序序列无序序列 Ri.n一趟插入排序的基本思想：一趟插入排序的基本思想：有序序列有序序列R1.i无序序列无序序列 Ri+1.n实现实现“一趟插入排序一趟插入排序”可分三步进行：可分三步进行：3将将Ri 插入插入(复制复制)到到Rj+1的位置上。的位置上。2将将Rj+1.i-1中的所有中的所有记录记录均均后移后移 一个位置；一个位置；1在在R1.i-1中中查找查找Ri的的插入位置插入位置，R1.j.key Ri.key Rj+1.i-1.key；直接插入排序直接插入排序（基于顺序查找）（基于顺序查找）*表插入排序表插入排序（基于链表存储）（基于链表存储）确定插入位置的查找方法
9、不同导致不同确定插入位置的查找方法不同导致不同的算法描述：的算法描述：折半插入排序折半插入排序（基于折半查找）（基于折半查找）希尔排序希尔排序（基于逐趟缩小增量）（基于逐趟缩小增量）利用“顺序查找顺序查找”实现“在R1.i-1中查找查找Ri的插入位置”思想：思想：先将第先将第1个记录组成一个有个记录组成一个有序的子表，然后依次将后面的记录序的子表，然后依次将后面的记录插入到这子表中，且一直保持它有插入到这子表中，且一直保持它有序。序。一、直接插入排序一、直接插入排序例：例：初始关键字：初始关键字：（43）21 89 15 43(21)（21 43）89 15 43i=2(15)（15 21 4
10、3 89)43i=4(43)（15 21 43 43 89）i=5(89)(21 43 89）15 43i=3直接插入排序示例直接插入排序示例 r0 r1 r2 r3 r4 r543 21 89 15 43实现直接插入排序的步骤为：实现直接插入排序的步骤为：2）后移后移并插入并插入3）令令 i=2，3，,n,重复重复1）、）、2），实现整个序列的排序。），实现整个序列的排序。1）查找查找Ri的插入位置的插入位置从Ri-1起向前进行顺序查找，监视哨设置在R0；L.R0=L.Ri;/设置“哨兵”循环结束表明循环结束表明Ri的插入位置为的插入位置为 j+1R0jRifor(j=i-1;L.R0.ke
11、yL.Rj.key;-j);/从后往前找j=i-1插入位置插入位置如何查找到如何查找到Ri的插入位置？的插入位置？对于在查找过程中找到的那些关键字不小于Ri.key的记录，在查找的查找的同时实现记录向后移动同时实现记录向后移动；for(j=i-1;L.R0.keyL.Rj.key;-j)L.Rj+1=L.RjR0jRij=i-1上述循环结束后可以直接进行上述循环结束后可以直接进行“插入插入”插入位置插入位置后移并插入后移并插入令令 i=2，3，,n,实现整个序列的排序。实现整个序列的排序。for(i=2;i=n;+i)if(L.Ri.keyL.Ri-1.key)在 R1.i-1中查找Ri的插入
12、位置;插入Ri;void InsertionSort(SqList&L)/对顺序表 L 作直接插入排序。for(i=2;i=L.length;+i)if(L.ri.key L.ri-1.key)/InsertSortL.r0=L.ri;/复制为监视哨for(j=i-1;L.r0.key L.rj.key;-j)L.rj+1=L.rj;/记录后移L.rj+1=L.r0;/插入到正确位置对于直接插入排序性能分析：最好的情况（关键字在记录序列中顺序有序）：最好的情况（关键字在记录序列中顺序有序）：“比较”的次数：最坏的情况（关键字在记录序列中逆序有序）：最坏的情况（关键字在记录序列中逆序有序）：“比
13、较”的次数：0“移动”的次数：“移动”的次数：平均值：平均值：约约n2/4.直接插入排序的时间复杂度：直接插入排序的时间复杂度：2.只需只需 记录的辅助空间记录的辅助空间.是是 的排序方法的排序方法性能分析：性能分析：一个一个稳定稳定O（n2)思考：思考：编写用编写用链式存储链式存储实现直接插实现直接插入排序入排序 的算法。的算法。因为 R1.i-1 是一个按关键字有序的有序序列，则可以利用折半查找折半查找实现“在R1.i-1中查找查找Ri的插入位置”，如此实现的插入排序为折半插折半插入入排序。二、折半插入排序二、折半插入排序14 36 49 52 80 58 61 23 97 75ilowh
14、ighmmlowlowmhigh14 36 49 52 58 61 80 23 97 75ilowhighmhighmhighmlow例如例如:再如再如:插入插入位置位置插入插入位置位置L.rL.rvoid BiInsertionSort(SqList&L)在在 L.r1.i-1中折半查找插入位置；中折半查找插入位置；for(i=2;i=high+1;-j)L.rj+1=L.rj;/记录后移记录后移L.rhigh+1=L.r0;/插入插入low=1;high=i-1;while(low=high)m=(low+high)/2;/折半if(L.r0.key L.rm.key)high=m-1;/
15、插入点在低半区else low=m+1;/插入点在高半区1、折半插入排序的时间复杂度：性能分析：性能分析：2、只需 记录的辅助空间3、是 的排序方法O（n2）一个一个稳定稳定三、三、2-2-路插入路插入排序排序基本思想：基本思想：另设辅助数组另设辅助数组D D，并看成，并看成是一个循环向量，设两个指针是一个循环向量，设两个指针firstfirst与与finalfinal分别指示排序过程中得到的分别指示排序过程中得到的有序子序列中的第一个记录和最后有序子序列中的第一个记录和最后一个记录在辅助数组中的位置。一个记录在辅助数组中的位置。（又称缩小增量排序）（又称缩小增量排序）基本思想：基本思想：对待
16、排记录序列先作对待排记录序列先作“宏宏观观”调整，再作调整，再作“微观微观”调整。调整。所谓“宏观”调整，指的是“跳跃式”的插入排序。具体做法为：四、希尔排序四、希尔排序 将记录序列分成若干子序列，分别对每将记录序列分成若干子序列，分别对每个子序列进行插入排序。个子序列进行插入排序。其中，d 称为增量，它的值在排序过程中从大到小逐渐缩小，直至最后一趟排序减为 1。例如：将例如：将 n 个记录分成个记录分成 d 个子序列：个子序列：R1，R1+d，R1+2d，R1+kd R2，R2+d，R2+2d，R2+kd Rd，R2d，R3d，Rkd，R(k+1)d 例：初始关键字序列如下51，38，49，
17、47，62，5，16，38请写出它们的希尔排序的全过程请写出它们的希尔排序的全过程(其中其中d=4,3,1）void ShellInsert(SqList&L,int dk)/对顺序表对顺序表L作一趟希尔插入排序算法。作一趟希尔插入排序算法。if(L.ri.key L.ri-dk.key)for(i=1+dk;i0&(L.r0.keyL.rj.key);j-=dk)L.rj+dk=L.rj;/记录后移，查找插入位置L.rj+dk=L.r0;/插入void ShellSort(SqList&L,int dlta,int t)/增量序列为dlta0.t-1的希尔排序 for(k=0;kvoid B
18、ubbleSort(SqList&L)/对顺序表对顺序表L作起泡排序作起泡排序for(i=L.length;i1;-i)for(j=1;j L.rj+1.key)L.rjL.rj+1;4、优化算法、优化算法void BubbleSort(SqList&L)/对顺序表对顺序表L作起泡排序作起泡排序 change=TRUE;for(i=L.length;i1&change;-i)change=FALSE;for(j=1;j L.rj+1.key)L.rjL.rj+1;change=TRUE 再对其进行技术上的改进再对其进行技术上的改进注意注意:2.一般情况下，每经过一趟“起泡”，“i 减一”（即无
19、序区的长度减一）（即无序区的长度减一），但并不是每趟都如此。例如例如:25531579 89i=7i=6for(j=1;j i;j+)if(Rj+1.key ai+1,ai+1,则将二者交换，以后重复上述二趟过程交换进行，直则将二者交换，以后重复上述二趟过程交换进行，直至整个数组有序。至整个数组有序。a)a)试问排序结束的条件是什么？试问排序结束的条件是什么？b)b)实现上述排序过程的算法如何？实现上述排序过程的算法如何？思考算法思考算法1）void BubbleSort(SqList&L)/对顺序表L作起泡排序i=L.length;while(i1)/i1 表明上一趟曾进行过记录的交换las
20、tExchangeIndex=1;for(j=1;j i;j+)if(L.rj+1.key=i+1;j-)if(L.rj.keyL.rj-1.key)L.rj L.rj-1；swap=1;/交换了 for(j=i+1;jL.rj+1.key)L.rj L.rj+1；swap=1;/交换了思考算法思考算法3）void oesort(Sqlist&L)int i=1,swap=1;while(swap)swap=0;for(i=1;iri+1.key)L.ri L.ri+1;swap=1 i+;for(i=2;iri+1.key)L.ri L.ri+1；swap=1;i+时间分析时间分析:最好的情
21、况（关键字在记录序列中最好的情况（关键字在记录序列中顺序有序顺序有序）：）：只需进行一趟起泡只需进行一趟起泡“比较比较”的次数：的次数：最坏的情况（关键字在记录序列中最坏的情况（关键字在记录序列中逆序有序逆序有序）：）：需进行需进行n-1趟起泡趟起泡“比较比较”的次数：的次数：0“移动移动”的次数：的次数：“移动移动”的次数：的次数：n-1、起泡排序的时间复杂度：、起泡排序的时间复杂度：O（n2)2、只需一个记录的辅助空间、只需一个记录的辅助空间 O(1)、是、是稳定稳定的排序方法的排序方法性能分析：性能分析：1、目标、目标 找一个记录，以它的关键字作为“枢枢轴轴”，凡其关键字小于枢轴关键字小
22、于枢轴的记录均移动至该移动至该记录之前记录之前，反之，凡关键字大于枢轴关键字大于枢轴的记录均移动至该记录之后移动至该记录之后。致使一趟排序一趟排序之后，记录的无序序列Rs.t将分分割成两部分割成两部分：Rs.i-1和Ri+1.t，且 Rj.key Ri.key Rj.key (sji-1)枢轴枢轴 (i+1jt)。二、一趟快速排序（一次划分）二、一趟快速排序（一次划分）无无 序序 的的 记记 录录 序序 列列无序记录子序列无序记录子序列(1)无序子序列无序子序列(2)枢轴枢轴通过一趟快速排序后（一次划分）stlowhigh设设 Rs=52 为枢轴，为枢轴，将 Rhigh.key 和 枢轴的关键
23、字进行比较，要求Rhigh.key 枢轴的关键字。将 Rlow.key 和 枢轴的关键字进行比较，要求Rlow.key 枢轴的关键字。high23low80high14low52例：例：R052lowhighhighhighlow 可见，经过“一次划分一次划分”，将关键字序列 52,49,80,36,14,58,61,97,23,75 调整为:23,49,14,36,(52)58,61,97,80,75 在调整过程中，设立了两个指针：low 和high，它们的初值分别为：s 和 t，之后逐渐减小 high，增加 low，并保证 要么Rhigh.key52，要么 Rlow.key52,否则进行记
24、录的“交换”。以首结点的关键字值为枢轴以首结点的关键字值为枢轴,考虑的结点序列考虑的结点序列为为Rs，Rs+1，Rt,且且spivotkey,那么那么high-1 high,转转(a)；否则否则 Rhigh Rlow，low+1 low，转（，转（a）(b)若若Rlow.key=pivotkey，那么，那么low+1 low，转转(b)；否则否则 Rlow Rhigh,high-1 high，转（，转（2）3）如果）如果low=high，则，则R0 Rlow，算法结束。，算法结束。2、基本步骤与算法实现、基本步骤与算法实现int Partition(RedType R,int low,int
25、high)R0=Rlow;pivotkey=Rlow.key;/枢轴 while(lowhigh)while(low=pivotkey)-high;/从右向左搜索Rlow=Rhigh;while(lowhigh&Rlow.key=pivotkey)+low;/从左向右搜索Rhigh=Rlow;Rlow=R0;return low;三、快速排序三、快速排序 首先对无序的记录序列进行“一次划分一次划分”，之后分别分别对分割所得两个子序列“递归递归”进行快速排序进行快速排序。无无 序序 的的 记记 录录 序序 列列无序记录子序列无序记录子序列(1)无序子序列无序子序列(2)枢轴枢轴一次划分分别进行快
26、速排序void QSort(RedType&R,int s,int t)/对记录序列Rs.t进行快速排序 if(s t-1)/长度大于1 pivotloc=Partition(R,s,t);/对 Rs.t 进行一次划分一次划分QSort(R,s,pivotloc-1);/对低子序列递归排序，pivotloc是枢轴位置是枢轴位置QSort(R,pivotloc+1,t);/对高子序列递归排序void QuickSort(SqList&L)/对顺序表进行快速排序 QSort(L.r,1,L.length);第一次调用函数第一次调用函数 Qsort 时，待排序记录时，待排序记录序列的上、下界分别为序
27、列的上、下界分别为 1 和和 L.length。时间复杂度分析时间复杂度分析假设一次划分所得枢轴位置 i=k，则对n 个记录进行快排所需时间：其中 Tpass(n)为对 n 个记录进行一次划分所需时间。若待排序列中记录的关键字是随机分布的，则 k 取 1 至 n 中任意值的可能性相同。T(n)=Tpass(n)+T(k-1)+T(n-k)假设假设 Tavg(1)b则可得结果：则可得结果：由此可得快速排序所需时间的平均值为：由此可得快速排序所需时间的平均值为：结论结论:1、快速排序的时间复杂度为、快速排序的时间复杂度为:2、所需辅助空间、所需辅助空间 3）是）是 排序排序O(nlog2n)是内部
28、排序中性能最好的一种是内部排序中性能最好的一种。O（log2n）不稳定不稳定例例：对序列：对序列2，1，1进行快速排序进行快速排序 的结果：的结果：1，1，2 若待排记录的初始状态为若待排记录的初始状态为按关键字有序按关键字有序时，快速排序将蜕化为起泡排序时，快速排序将蜕化为起泡排序，其时间复杂度为O(n2)。为避免出现这种情况，为避免出现这种情况，需在进行一次划需在进行一次划分之前，进行分之前，进行“预处理预处理”，即：即：先对先对 R(s).key,R(t).key 和和 R(s+t)/2.key，进行相互比较，然后取关键字为，进行相互比较，然后取关键字为 “三者之中三者之中”的记录为枢轴
29、记录。的记录为枢轴记录。简简 单单 选选 择择 排排 序序堆堆 排排 序序9.49.4 选择排序1、基本思想、基本思想 首先在所有记录中选出关键字值最小的首先在所有记录中选出关键字值最小的记录，把它与第一个记录进行位置交换，然记录，把它与第一个记录进行位置交换，然后在其余的记录中再选出关键字值次小的记后在其余的记录中再选出关键字值次小的记录与第二个记录进行位置交换，依此类推，录与第二个记录进行位置交换，依此类推，直到所有记录排好序。直到所有记录排好序。一、简单选择排序一、简单选择排序假设排序过程中，待排记录序列的状态为：有序序列R1.i-1无序序列 Ri.n 第 i 趟简单选择排序从中选出关键
30、字最小的记录有序序列R1.i无序序列 Ri+1.n2、基本步骤、基本步骤（1）置）置i为为1；（2）当）当in，重复下列步骤：，重复下列步骤：.a.在在（Ri,Rn）中中选选出出一一个个关关键键字值最小的记录字值最小的记录Rk，b.若若Rk不不是是Ri，（即即k!=i），交交换换Ri,Rk的位置；否则，不进行交换，的位置；否则，不进行交换，c、i 值加值加1 简单选择排序简单选择排序的算法描述如下：的算法描述如下：void SelectSort(Sqlist&L)/对对顺序表作简单选择排序。for(i=1;iL.length;+i)/选择第 i 小的记录，并交换到位 j=SelectMinKe
31、y(R,i);/在 Ri.n 中选择关键字最小的记录if(i!=j)L.RiL.Rj;/与第 i 个记录交换具体算法如下：具体算法如下：void selectsort(sqlist&L)for(i=1;i=L.length-1;+i)if(k!=i)temp=L.ri;L.ri=L.rk;L.rk=temp;k=i;for(j=i+1;j=L.length;+j)if(L.rj.key0;-i)HeapAdjust(H.r,i,H.length);/建大顶堆for(i=H.length;i1;-i)H.r1H.ri;/将堆顶记录和当前未经排序子序列 /H.r1.i中最后一个记录相互交换 Hea
32、pAdjust(H.r,1,i-1);/对 H.r1 进行筛选如何如何“建初始堆建初始堆”？两个问题两个问题:如何如何“筛选筛选”？定义堆类型为定义堆类型为:typedef SqList HeapType;/堆采用顺序表所谓“筛选筛选”指的是，对一棵左/右子树均为堆的完全二叉树，“调整调整”根结点根结点使整个二叉树也成为一个堆。堆堆筛筛选选void HeapAdjust(RcdType&R,int s,int m)/已知 Rs.m中记录的关键字除 Rs 之外均 /满足堆的特征，本函数自上而下调整 Rs 的 /关键字，使 Rs.m 也成为一个大顶堆rc=Rs;/暂存 Rs for(j=2*s;j
33、=Rj.key)break;/再作“根”和“子树根”之间的比较，/若“=”成立，则说明已找到 rc 的插 /入位置 s，不需要继续往下调整Rs=Rj;s=j;/否则记录上移，尚需继续往下调整if(jm&Rj.keyRj+1.key)+j;/左/右“子树根”之间先进行相互比较 /令 j 指示关键字较大记录的位置建堆是一个从下往上进行建堆是一个从下往上进行“筛选筛选”的过程。的过程。40554973816436122798例如例如:排序之前的关键字序列为123681734998817355 现在，左/右子树都已经调整为堆，最后只要调整根结点，使整个二叉树是个“堆”即可。98494064361227
34、堆排序的时间复杂度分析：堆排序的时间复杂度分析：1.对深度为 k 的堆，“筛选”所需进行的关键字比较的次数至多为2(k-1)；3.调整“堆顶”n-1 次，总共进行的关键 字比较的次数不超过 2(log2(n-1)+log2(n-2)+log22)2n(log2n)因此，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。2.对 n 个关键字，建成深度为h(=log2n+1)的堆，所需进行的关键字比较的次数至多 4n；结论结论:1)堆排序的时间复杂度为堆排序的时间复杂度为 2)所需辅助空间所需辅助空间 3）是）是 排序排序 O(nlog2n)O(1)不稳定不稳定归并排序的过程基于下列基基本思想本思想进行：将两
35、个或两个以上的有序子序列“归并”为一个有序序列。9.59.5 归并排序归并排序在内部排序中，通常采用的是2-路路归并归并排序。即：将两个位置相邻位置相邻的记录有序子序列归并为一个一个记录的有序序列。有有 序序 序序 列列 Rl.n有序子序列有序子序列 Rl.m有序子序列有序子序列 Rm+1.n这个操作对顺序表而言，是轻而易举的。这个操作对顺序表而言，是轻而易举的。2-路归并的方法路归并的方法 将待排序记录R0到Rn-1看成是n个长度为长度为1的有序子表，把这些子表依次两两两归并两归并，便得到n/2个有序的子表，然后，再把这n/2个有序的子表两两归并，如此重复，直到最后得到一个长度为n的有序表为
36、止。例如例如，如下图为如下图为2-路归并的一个例子：路归并的一个例子：(52)(23)(80)(36)(68)(14)(27)(23 52)(36 80)(14 68)(27)(23 36 52 80)(14 27 68)(14 23 27 36 52 68 80)一趟归并之后一趟归并之后二趟归并之后二趟归并之后三趟归并之后三趟归并之后void Merge(RcdType SR,RcdType&TR,int i,int m,int n)/将有序的记录序列 SRi.m 和 SRm+1.n /归并为有序的记录序列 TRi.n/Mergefor(j=m+1,k=i;i=m&j=n;+k)/将SR中记
37、录由小到大地并入TR if(SRi.key=SRj.key)TRk=SRi+;else TRk=SRj+;if(i=m)TRk.n=SRi.m;/将剩余的 SRi.m 复制到 TRif(j=n)TRk.n=SRj.n;/将剩余的 SRj.n 复制到 TR归并排序的算法归并排序的算法如果记录无序序列 Rs.t 的两部分 Rs.(s+t)/2 和 R(s+t)/2+1.t分别按关键字有序，则利用上述归并算法很容易将它们归并成整个记录序列是一个有序序列。由此，应该先分别对这两部分进行 2-路归并排序。例如：例如：52,23,80,36,68,14 (s=1,t=6)52,23,80 36,68,14
38、 52,2380 52 23,52 23,52,8036,6814366836,6814,36,68 14,23,36,52,68,80 23void Msort(RcdType SR,RcdType&TR1,int s,int t)/将SRs.t 归并排序为 TR1s.t if(s=t)TR1s=SRs;else /Msort m=(s+t)/2;/将SRs.t平分为SRs.m和SRm+1.tMsort(SR,TR2,s,m);/递归地将SRs.m归并为有序的TR2s.mMsort(SR,TR2,m+1,t);/递归地SRm+1.t归并为有序的TR2m+1.tMerge(TR2,TR1,s,
39、m,t);/将TR2s.m和TR2m+1.t归并到TR1s.tvoid MergeSort(SqList&L)/对顺序表 L 作2-路归并排序 MSort(L.r,L.r,1,L.length);/MergeSort容易看出，对 n 个记录进行归并排序的时间复杂度为(nlogn)。即：每一趟归并的时间复杂度为 O(n)，总共需进行 log2n 趟。结论结论:1)归并排序的时间复杂度为归并排序的时间复杂度为 2)所需辅助空间所需辅助空间 3）是）是 排序排序 O(n)稳定稳定O(nlog2n)基数排序基数排序是一种借助“多关键字排序”的思想来实现“单关键字排序”的内部排序算法。多关键字的排序多关
40、键字的排序链式基数排序链式基数排序9.69.6 基数排序一、多关键字的排序一、多关键字的排序 n 个记录的序列个记录的序列 R1,R2,，Rn对关键字对关键字 (Ki0,Ki1,Kid-1)有序有序是指：其中其中:K0 被称为被称为 “最主最主”位关键字位关键字Kd-1 被称为被称为 “最次最次”位关键字位关键字 对于序列中任意两个记录 Ri 和 Rj(1ijn)都满足满足下列(词典词典)有序有序关系：(Ki0,Ki1,Kid-1)(Kj0,Kj1,Kjd-1)实现多关键字排序通常有两种作法实现多关键字排序通常有两种作法:最低位优先最低位优先LSD法法最高位优先最高位优先MSD法先对先对K0进
41、行排序进行排序，并按 K0 的不同值将记录序列分成若干子序列之后，分别对 K1 进行排序，.，依次类推，直至最后对最次位关直至最后对最次位关键字排序完成为止键字排序完成为止。先对 Kd-1 进行排序，然后对 Kd-2 进行排序，依次类推，直至对最主位直至对最主位关键字关键字 K0 排序完成为止排序完成为止。排序过程中不需要根据“前一个”关键字的排序结果，将记录序列分割成若干个(“前一个”关键字不同的)子序列。例如例如:学生记录含三个关键字:系别系别、班号班号和班内的序列号班内的序列号，其中以系别为最主位关键字。无序序列无序序列对对K2排序排序对对K1排序排序对对K0排序排序3,2,301,2,
42、153,1,202,3,182,1,201,2,152,3,183,1,202,1,203,2,303,1,202,1,201,2,153,2,302,3,18 1,2,152,1,202,3,183,1,203,2,30LSD的排序过程如下:二、链式基数排序二、链式基数排序假如多关键字的记录序列中，每个关键字的取值范围相同，则按LSD法进行排序时，可以采用“分配分配-收集收集”的方法，其好处是不需要进行关键字间的比较。对于数字型或字符型的单关键字单关键字，可以看成看成是由多个数位或多个字符构成的多多关键字关键字，此时可以采用采用这种“分配分配-收集收集”的办法进行排序进行排序，称作基数排序法
43、称作基数排序法。例如：例如：对下列这组关键字 209,386,768,185,247,606,230,834,539 首先按其“个位数”取值分别为 0,1,9 “分配分配”成 10 组，之后按从 0 至 9 的顺序将 它们“收集收集”在一起；然后按其“十位数”取值分别为 0,1,9 “分配分配”成 10 组，之后再按从 0 至 9 的顺序将它们“收集收集”在一起；最后按其“百位数”重复一遍上述操作。在计算机上实现基数排序时，为减少所需辅助存储空间，应采用链表作存储结构，即链式基数排序，具体作法为：待排序记录以指针相链，构成一个链表；“分配”时，按当前“关键字位”所取值，将记录分配到不同的“链队
44、列”中，每个队列中记录的“关键字位”相同；“收集”时，按当前关键字位取值从小到大将各队列首尾相链成一个链表;对每个关键字位均重复 2)和 3)两步。例如：p369367167239237138230139进行第一次分配进行第一次分配进行第一次收集进行第一次收集f0 r0f7 r7f8 r8f9 r9p230230367 167237367167237138368239139369 239139138进行第二次分配进行第二次分配p230237138239139p230367167237138368239139f3 r3f6 r6230 237138239139367 16736836716736
45、8进行第二次收集 进行第三次收集之后便得到记录的有序序列进行第三次收集之后便得到记录的有序序列f1 r1p230237138239139367167368进行第三次分配进行第三次分配f2 r2f3 r3138 139167230 237239367 368p138139167230237239367368注意：注意：“分配分配”和和“收集收集”的实际操作的实际操作仅为修改链表中的指针和设置队列的仅为修改链表中的指针和设置队列的头、尾指针；头、尾指针；为查找使用，该链表尚需应用算为查找使用，该链表尚需应用算法法Arrange 将它调整为有序表。将它调整为有序表。基数排序的时间复杂度为基数排序的时
46、间复杂度为O(d(n+rd)其中：每一趟分配的时间复杂度为O(n)每一趟收集的时间复杂度为O(rd)(r为关键字的“基”，如十进制数 的基为10，二进制数的基为2)d为“分配-收集”的趟数（等于关键 字的位数）基数排序是稳定排序。基数排序是稳定排序。基数排序所需用的计算时间不仅基数排序所需用的计算时间不仅与文件的大小与文件的大小n有关，而且还与关键字有关，而且还与关键字的位数、关键字的基有关。的位数、关键字的基有关。10.7 各种排序方法的综合比较各种排序方法的综合比较一、时间性能一、时间性能1.平均的时间性能平均的时间性能基数排序基数排序时间复杂度为时间复杂度为 O(nlog2n)：快速排序
47、、堆排序和归并排序快速排序、堆排序和归并排序时间复杂度为时间复杂度为 O(n2)：直接插入排序、起泡排序和直接插入排序、起泡排序和简单选择排序简单选择排序时间复杂度为时间复杂度为 O(n):9.79.7 各种排序方法的综合比较2.当待排记录序列按关键字顺序有序时当待排记录序列按关键字顺序有序时3.简单选择排序、堆排序和归并排序简单选择排序、堆排序和归并排序的时间性能不随不随记录序列中关键字的分布而改变。直接插入排序直接插入排序和起泡排序起泡排序能达到O(n)的时间复杂度，快速排序快速排序的时间性能蜕化为O(n2)。二、空间性能二、空间性能指的是排序过程中所需的辅助空间大小1.所有的简单排序方法
48、简单排序方法(包括：直接插入、起泡和简单选择)和堆排序堆排序的空间复杂度为为O(1)；2.快速排序为快速排序为O(logn)，为递归程序执行过程中，栈所需的辅助空间；3.归并排序归并排序所需辅助空间最多，其空间复杂度为 O(n);4.链式基数排序链式基数排序需附设队列首尾指针，则空间复杂度为 O(rd)。三、排序方法的稳定性能三、排序方法的稳定性能 1.快速排序、简单选择排序、堆排序和快速排序、简单选择排序、堆排序和希尔排序是不稳定的排序方法希尔排序是不稳定的排序方法。2.对于不稳定的排序方法，只要能举出对于不稳定的排序方法，只要能举出一个实例说明即可。一个实例说明即可。例如例如:对 4,3,
49、4,2 进行快速排序，得到 2,3,4,4 四、关于四、关于“排序方法的时间复杂度的下限排序方法的时间复杂度的下限”本章讨论的各种排序方法，除基数排序外，其它方法都是基于基于“比较关键字比较关键字”进进行排序的排序方法。行排序的排序方法。可以证明，这类排序法可能达到的最可能达到的最快的时间复杂度为快的时间复杂度为O(nlogn)。(基数排序不是基于“比较关键字”的排序方法，所以它不受这个限制。)例如:对三个关键字进行排序的判定树如下：K1K3K1K2K1K3K2K3K2 K3K2K1K3K1K2K3K3K2K1K2K3K1K3K1K2K1K3K2树上的每一次“比较”都是必要的;树上的叶子结点包
50、含所有可能情况。一般情况下，对n个关键字进行排序，可能得到的结果有n!种，由于含n!个叶子结点的二叉树的深度不小于log2(n!)+1,则对 n 个关键字进行排序的比较次数至少是 log2(n!)nlog2n(斯蒂林近似公式)。所以，基于基于“比较关键字比较关键字”进行排序进行排序的的排序方法，可能达到的最快的时间复杂排序方法，可能达到的最快的时间复杂度为度为 O(nlogn)。排序法排序法最坏所需最坏所需时间时间平均所需平均所需时间时间稳定性稳定性所需辅助所需辅助空间空间直接插入直接插入 O(n2)O(n2)YesO(1)希尔排序希尔排序 O(n2)NoO(1)冒泡排序冒泡排序O(n2)O(