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1、1、透镜的位相调制作用2、透镜的傅里叶变换性质3、光学频谱分析系统第四章第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜的位相调制和傅里叶变换性质透镜作用？成像？只能成像吗？为什么会成像？数学模型？1 1、模型建立、模型建立在傍轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为请思考：若透镜可以看成一个平板，厚度均匀，问：透镜前表面光场分布表达式是什么？后表面呢？透镜的复振幅透过率：1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用则透镜复振幅透过率表示为：则透镜复振幅透过率表示为：(常数项常数项)(调制项调制项)对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对
2、空间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式(为透镜的焦距为透镜的焦距)1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用因此，透镜的位相调制因子：因此，透镜的位相调制因子：Answer:Answer:透镜本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜的不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。结论：结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？图中3条红线的绝对距离不同，但光程是一样的，故位相相等，导致等位相面弯曲1 1、透
3、镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用1.2 1.2 透镜的厚度函数透镜的厚度函数主要考虑薄透镜的情况主要考虑薄透镜的情况 (很重要的近似，很重要的近似，P121P121，忽略，忽略了折射效应了折射效应)如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不发生变化，只产生位相变化，则位相变化取决于光程差，即L(x,yL(x,y)L(x,y)是Q到Q之间的光程。则则上式具有普遍意义，并不局限于薄透镜，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚上式具有普遍意义，并不局限于薄透镜，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数度函数(x,yx,y)，就可以根据该式得到其位
4、相调制。，就可以根据该式得到其位相调制。依据薄透镜假设，光程差可以写为：介质 空气1 1、透镜的位相调制作用、透镜的位相调制作用下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。仅考虑傍轴光仅考虑傍轴光将透镜一剖为二将透镜一剖为二注意坐标关系1.3 1.3 透镜的复振幅透过率透镜的复振幅透过率根据厚度函数的表达式，可得到在傍轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟常数项常数项透镜位相因子透镜位相因子(n(n为透镜材料为透镜材料的折射率的折射率)与前面的透镜位相因子对比，殊途同归，说明了薄凸透镜能实现聚焦的物理机理。1 1、透镜
5、的位相调制作用、透镜的位相调制作用以上推导的关系适用于在傍轴近似条件下各种形式的薄透镜（或透镜组合）透镜的重要作用：调制入射光波的位相，通常是使得入射平面波入射平面波变换为会聚球面波。会聚球面波。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。透镜为什么具有这种功能呢？*根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的根本原因在于它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用。二次位相因子在起作用。下面将分三种情况（透镜和物体的相对位置）分别讨论，
6、具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。要注意模型的建立过程2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 根据透镜的位相调制功能，透镜后端场U2(x,y)为:从透镜后端到后焦面光的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U(x,y)为：?来自何方，3-82，P872.1 2.1 模型建立（非常重要）模型建立（非常重要）已知U2，后焦面的场Uf如何求？是什么衍射？坐标对应关系：Xx0；xfx；逐场求解：t-U1-U2-Uf，先看U1-U2过程2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质后焦面上的场分布为重要结论：焦面场是透镜前端场的傅里
7、叶变换焦面场是透镜前端场的傅里叶变换(空间频谱空间频谱)。想想我们要想讨论的问题是什么？如果U1就是物体的透过率函数勒？下面来讨论物体放置位置的影响。如上图所示，物体透过率为t(x0,y0)，距离透镜为d。若用振幅为A的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：近场衍射，根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：近场衍射，根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：则有：则有：后焦面上的场分布为已知U0，会求U1吗？什么衍射过程？代入（1）中（1）结论：在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以得到该透射场的傅里叶变换(空间频谱)。但依据距离的不同，后焦面上得到的频谱有所不同（存在二次位相因子
8、），不过强度是一样的。（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子）问：物体有没有合适的位置放置后，后焦面就是物体的频谱勒？常数位相jkf略去2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质 如果d=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。这也是位相调制的一种基本思想，距离调制位相，透镜厚度调制位相回忆信息光学实验频谱滤波实验过程 请问，在滤波后再现的时候有透镜和没透镜有什么区别？菲尼尔衍射区的夫琅禾费衍射！2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质物体放置在透镜后方物体放置在透镜后方沿光波传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布为对应的
9、强度分布为2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质总结一下：在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是焦平面吗?Answer:Answer:透镜还能起傅里叶变换作用，但是频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。比如：汇聚球面波照明物体，频谱面在汇聚的焦点平面，见4.2.3。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。注意：注意：1）若在非傍轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球
10、面波，即透镜产生波像差。2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即于是透镜的复振幅透过率可以完整的表示为：其中，表示透镜对入射波前的位相调制；表示透镜对于入射波前大小范围的限制。2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质2.3 2.3 透镜孔径的影响透镜孔径的影响引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，透镜的复振幅透过率可以表示为：则后焦面上的光场分布为：其中，2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质卷积的效果是使物体频谱图象产生某种程度的模糊，或者说失真。透镜孔径越小，这种模糊越严重。假定透镜孔径是宽度为 的矩
11、形函数，即下图是物体频谱与光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。三种不同位置的孔径，对结果影响大同小异，此处略去2 2、透镜的傅里叶变换性质、透镜的傅里叶变换性质总结一下：总结一下：（1）有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真，原因就在于透镜实际上 是一个低通滤波器：低频成分可以通过，稍高频率成分可以部分通过，高 频部分则完全被滤除。（2）因此由于透镜有限孔径的影响，后焦面上不能得到准确的物体频谱，给傅 里叶变换结果带来误差，物体频率越高，误差越大。我们把这种现象称为渐晕渐晕 效应（边缘处，模糊且亮度降低）效应（边缘处，模糊且亮度降低）。（3）采用尽可能大
12、的透镜孔径（广角透镜），或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。注意：用孔径的绝对值来描述光学系统不很确切，一般用数值孔径来描述更合适一些。3 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相干点光源，L1为准直透镜，L2为傅里叶变换透镜。P1平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过率为t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即 3 3、光学频谱分析系统、光学频谱分析系统强度记录得到物体的功率谱为 光学频谱分析可用于微小物体的形状尺寸检测、质量检测、图像分析等领域。本章小结本章小结1）透镜具有成像和傅里叶变换的功能，其根本原因在于透镜具有对入射波前进行位相调制的功能；而透镜之所以具有这种位相调制的功能就在于透镜本身存在的厚度变化。2）透镜具有傅里叶变换的功能 当采用平面波垂直照明时，总可以在透镜后焦面上得到物体的功率谱，无论物体放置在透镜前方、后方还是紧靠透镜；但当用球面波照明时，频谱面不在透镜焦平面上，而是点光源的成像位置。3）透镜有限大小的孔径对傅里叶变换有很大的影响，给傅里叶变换结果带来误差，频率越高，误差越大。透镜相当于一个低通滤波器。