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1、1.6 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 主要要求：主要要求：了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。熟悉逻辑函数的熟悉逻辑函数的公式化简法公式化简法。理解理解最简最简与与-或或式和最简式和最简与非与非-与非与非式式的标准。的标准。化化简简意意义义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。高系统可靠性。不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简取最简与与-或或式，然后通过变
2、换得到所需最简式。式，然后通过变换得到所需最简式。1.6.11.6.1化简逻辑函数的意义化简逻辑函数的意义1.6.2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法 运用逻辑代数的基本定律和公式运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。对逻辑式进行化简。并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。例例 例例 吸收法吸收法 运用运用A+AB=A 和和 ，消去多余的消去多余的与与项。项。例例 例例 消去法消去法 运用运用 ，消去多余因子。，消去多余因子。例例 例例 配项法配项法 例例 例例 通过乘通过乘 或加入零项或加入零项 进行配项，然后再化简。进
3、行配项，然后再化简。A+A=1 1A A=0 0综合灵活运用上述方法综合灵活运用上述方法 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。解：解：应用应用 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。解：解：应用应用应用应用 AB 例例 化简逻辑式化简逻辑式 。解：解：应用应用用摩根定律用摩根定律主要要求：主要要求：掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。理解理解卡诺图的意义和卡诺图的意义和构成原则。构成原则。掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中掌握无关项的含义及其在卡诺图化简法中的应用。的应用。1.7逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.最小项的定义最小项的定义1.7.1 逻辑
4、函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0三三变变量量最最小小项项表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01
5、0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号ABC 在逻辑函数中，如果一个在逻辑函数中，如果一个与与项（乘积项）包含该逻辑函数的项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该与与项称为最小项。对于项称为最小项。对于 n 个变量的逻辑函数共有个变量的逻辑函数共有 2n 个最小项。个最小项。2.最小项的基本性质最小项的基本性质(1)对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为 1 1。(2)不同的最
6、小项，使其值为不同的最小项，使其值为 1 1 的那组变量取值也不同。的那组变量取值也不同。(3)对于变量的同一组取值，任意两个最小项逻辑对于变量的同一组取值，任意两个最小项逻辑与与的结的结 果为果为 0 0。(4)对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑或或的结果为的结果为 1 1。1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 0
7、0 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小项编号最小项编号最小项最小项最小项值最小项值m5m4m3m2m1m0三三变变量量最最小小项项表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6编号编号ABC3.最小项编号最小项编号 最小项用最小项用 m 表示表示,通常用十进制数作为最小项的下标编号。通常用十进制数作为最小项的下标编号。编号方法是：将最小项中的原变量当作编号方法是：将最小项中的原变量当作1 1，
8、反变量当作，反变量当作 0 0，则得，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。例如例如 0110113m3m44100100三三变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23=8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210ABC1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10
9、 0 10 0 00 0 0最小项最小项A B C简记符号简记符号m7m6m5m4m3m2m1m04.最小项表达式最小项表达式 标准标准与与-或或表达式表达式 在在与或与或逻辑函数表达式中，有时逻辑函数表达式中，有时与与项并不是最小项，这项并不是最小项，这时可利用时可利用 A+A=1 1的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变化的形式补充缺少的变量，将逻辑函数变化成最小项之和的最小项表达式，又称标准成最小项之和的最小项表达式，又称标准与与-或或式。式。(1)(1)、最小项卡诺图的组成最小项卡诺图的组成 5.用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 两个相邻最小项相加可合并为一项，两个相邻最小项相加可
10、合并为一项，消去互反变量，化简为相同变量相消去互反变量，化简为相同变量相与与。a.相邻最小项相邻最小项 两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。例如例如 三变量最小项三变量最小项 ABC 和和 ABC 相邻最小项相邻最小项重要特点重要特点：例如例如ABC+ABC=AB(C+C)=AB 将将 n 个变量的个变量的 2n 个最小项用个最小项用 2n 个小方格表示，个小方格表示，并且并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的
11、方格图称为这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图，变量最小项卡诺图，简称为简称为 n 变量卡诺图。变量卡诺图。卡诺图是最小项按一定卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图规则排列成的方格图。b.卡诺图的组成卡诺图的组成 000000001001 m3 m1 m0 m4ABC0 01 1三三变变量量卡卡诺诺图图变量取变量取 0 0 的代以反变量，取的代以反变量，取 1 1 的代以原变量。的代以原变量。二二变变量量卡卡诺诺图图0 01 10 10 1000001011010111100000101AB0 01 10 10 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四四变
12、变量量卡卡诺诺图图 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD000001011111101000 01 00 01 11 11 101000 0100 011111 1010 m6 m7 m2 m5 6 7 5 4 2 3 1 0 以循环码排列以保证相邻性以循环码排列以保证相邻性ABABCD相邻项相邻项在在几何位置几何位置上也相邻上也相邻卡诺图特点：卡诺图特点：循环相邻性循环相邻性同一列最同一列最上与最下上与最下方格相邻方格相邻同一行最同一行最左与最右左与最右方格相邻方格相邻卡诺图中的相邻项卡诺图中的相邻项如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图
13、方格对应的最小项？已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？例例 原原变量取变量取 1 1，反变量取，反变量取 0 0。1 10 00 01 1？ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 (2)(2)、用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数(a)求逻辑函数真值表或者标准求逻辑函数真值表或者标准与与-或或式或者式或者与与-或或式。式。(b)画出变量卡诺图。画出变量卡诺图。(c)根据真值表或者标准根据真值表或者标准与与-或或式或者式或者与与-或或式填图。式填图。基基本本步步骤骤逻辑函逻辑函数为标数为标准准与与-或或式，式，画函数画函数卡诺
14、图卡诺图 例例 试试画出函数画出函数 Y=m(0,1,12,13,15)的卡诺图。的卡诺图。解：解：(1)画出四变量卡诺图画出四变量卡诺图(2)填卡诺图填卡诺图 逻辑式中的逻辑式中的最小项最小项 m0、m1、m12、m13、m15对应的方格填对应的方格填 1 1，其余不填。其余不填。ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 逻辑函逻辑函数为非数为非标准标准与与-或或表达表达式，画式，画函数卡函数卡诺图诺图解：解：(1)将逻辑式转化为将逻
15、辑式转化为与与-或或式式(2)作变量卡诺图作变量卡诺图找出各找出各与与项所对项所对应的最小项方格应的最小项方格填填 1 1，其余不填。，其余不填。例例 已知已知 ，试画出，试画出 Y 的卡诺图。的卡诺图。AB+ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10(3)根据根据与与-或或式填卡式填卡(4)诺图诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 对应最小项为对应最小项为同时满足同时满足 A=1 1，B=1 1 的方格。的方格。BCD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 B=1 1，C=0 0，D=1 1的
16、方格的方格AD 对应最小项为同时满足对应最小项为同时满足 A=0 0，D=1 1的方格。的方格。逻辑函逻辑函数为真数为真值表，值表，画函数画函数卡诺图卡诺图 例例 已知逻辑函数已知逻辑函数 Y 的的 真值表如下，试画真值表如下，试画 出出 Y 的卡诺图。的卡诺图。解：解：(1)画三变量卡诺图。画三变量卡诺图。0 01 1 11 1 11 11 1 01 1 00 01 0 11 0 11 11 0 01 0 00 00 1 10 1 11 10 1 00 1 00 00 0 10 0 11 10 0 00 0 0YA B CABC0 01 100 0100 0111 11 1010 6 7 5
17、 4 2 3 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1(2)找出真值表中找出真值表中 Y=1 1 对应的最小项，在对应的最小项，在 卡诺图相应方格中卡诺图相应方格中 填填 1 1，其余不填。，其余不填。m0m2m4m61.7.2 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 公式化简法与卡诺图化简法的特点公式化简法与卡诺图化简法的特点化简依据化简依据用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，合并，消去互消去互反变量反变量，以达到化简的目的。，以达到化简的目的。公式化公式化简法简法 优点：对变量个数没有
18、限制。优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否为最简式。缺点：需技巧，不易判断是否为最简式。卡诺图卡诺图化简法化简法 优点：简单、直观，有一定的步骤和方法，优点：简单、直观，有一定的步骤和方法，易判断结果为最简式。易判断结果为最简式。缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于 四变量及四变量以下函数的化简。四变量及四变量以下函数的化简。化简规律化简规律2 个相邻个相邻最小项有最小项有 1 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 1 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；4 个相邻个相邻最小项有最小项有 2 个变
19、量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 2 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；8 个相邻个相邻最小项有最小项有 3 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消消去去这这 3 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与；2n 个相邻个相邻最小项有最小项有 n 个变量相异，相加可以个变量相异，相加可以消去消去这这 n 个变量个变量，化简结果为相同变量的，化简结果为相同变量的与与。消消异异存存同同 ABCD 2 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果个变量，化简结果为相同变量相为相同变量相与与。ABCD+ABCD+ABCD+AB
20、CD=ACD+ACD=AD 4 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 2 个变量，个变量，化简结果为相同变量相化简结果为相同变量相与与。8 个相邻项合并消去个相邻项合并消去 3 个变量个变量AABCD+ABCD=ABD例如例如画包围圈规则画包围圈规则 包围圈必须包含包围圈必须包含 2n 个相邻个相邻 1 1 方格。方格。先圈小再圈大，先圈小再圈大，圈越大越好；圈越大越好；1 1 方格可重复圈，但必须每圈有新方格可重复圈，但必须每圈有新 1 1；每个；每个 1 1 方方格必须圈到，孤立格必须圈到，孤立 1 1 方格也不能漏掉。方格也不能漏掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一列最上边和最下边
21、循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的四个角上的 1 1 方格也循环相邻，可画圈。方格也循环相邻，可画圈。注意注意 卡诺卡诺 图化图化 简法简法 步骤步骤 画函数卡诺图画函数卡诺图 将各圈分别化简将各圈分别化简 对填对填 1 1 的相邻最小项方格画包围圈的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加将各圈化简结果逻辑加 循环相邻循环相邻 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：(1)画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数。函数。Y(A,B,C,D)=m(0,2,4,5,6,7,9,1
22、5)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10(2)填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(3)画包围圈画包围圈abcd(4)将各包围圈分别化简将各包围圈分别化简圈圈 2 个个1 1可消去可消去 1 个变量，化个变量，化简为简为 3 个相同变量相个相同变量相与与。Yb=BCD圈圈 4 个个1 1可消去可消去 2 个变量，化个变量，化简为简为 2 个相同变量相个相同变量相与与。孤立项孤立项 Ya=ABCDYc=ABYd=AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简将各图化简结果逻辑加，得最简与与-或或式式解：解：(1)
23、画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数。函数。Y(A,B,C,D)=m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10(2)填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(4)求最简求最简与与-或或式式 Y=1 1消消 1 个剩个剩 3 个个(3)画包围圈画包围圈消消 2 个剩个剩 2 个个 4 个角上的最小个角上的最小项循环相邻项循环相邻ABCD000001011111101000 00 01 11 10 01 11 10找找 A=1 1,CD=0
24、101的公共区域的公共区域找找 B=1 1,D=1 1 的公共区的公共区域域解：解：(1)画变量卡诺图画变量卡诺图(2)填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1(4)化简化简(3)画包围圈画包围圈 例例 用卡诺图化简逻辑用卡诺图化简逻辑函数。函数。00110011m301000100m4Y=找找 AB=1111,C=1 1 的公共区域的公共区域 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 例例 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最 简简与与 -或或式。式。ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11
25、10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1解：解：0 0 方格很少且为相方格很少且为相邻项，故用圈邻项，故用圈 0 0 法先求法先求 Y 的最简的最简与与 -或或式。式。111111111 1 例例 已知函数真值表如下所示，试用卡诺图法求其最简已知函数真值表如下所示，试用卡诺图法求其最简与与-或或式。式。1 11 1 1 1 1 11 11 1 1 1 0 00 01 0 11 0 11 11 1 0 0 0 01 10 0 1 1 1 10 00 0 1 1 0 01 10 0 0 0 1 11 10
26、0 0 0 0 0YA B C注意：注意：该卡诺该卡诺图还有图还有其他画其他画包围圈法包围圈法可见，最简可见，最简结果未必唯一。结果未必唯一。解：解：(1)画函数卡诺图画函数卡诺图ABC0 01 100 0100 011111 1010 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(3)化简化简(2)画包围圈画包围圈Y=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ABC0 01 10000 01011111 1010 约束项和任意项统称为无关项。约束项和任意项统称为无关项。无关项在卡诺图和真值表中用无关项在卡诺图和真值表中用“”或或“”来来标记，在逻辑式中则用字母标记，在逻辑式中则用字母
27、d 和相应的编号表示。和相应的编号表示。受到约束不会出现的最小项称为约束项；某些变受到约束不会出现的最小项称为约束项；某些变量取值组合出现量取值组合出现（为为 1 1），逻辑函数值是任意的，这，逻辑函数值是任意的，这些组合对应的最小项称为任意项。些组合对应的最小项称为任意项。1.7.3 用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数一、约束项、任意项和一、约束项、任意项和无关项无关项无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变变量取值组合或者量取值组合或者不允许出现不允许出现或者根本或者根本不会出现不会出现。例如例如 8421 码中，码中
28、，10101010 11111111这这 6 种代码是不允许出现的。种代码是不允许出现的。例如例如 A、B 为联动互锁开关，为联动互锁开关，设开为设开为 1 1 ,关为关为 0 0,则则 AB 只能取只能取值值 0101 或或 1010,不会出现不会出现 0000 或或 1111。合理利用无关项可使逻辑式更简单合理利用无关项可使逻辑式更简单。无关项的无关项的取值对逻辑函数值没有影响。取值对逻辑函数值没有影响。化简时应视需要将无关项方格看作化简时应视需要将无关项方格看作 1 1 或或 0 0，使包围圈使包围圈最少而且最大，从而使结果最简。最少而且最大，从而使结果最简。二、利用无关项化简逻辑函数二
29、、利用无关项化简逻辑函数解：解：(1)画变量卡诺图画变量卡诺图 例例 用卡诺图化简用卡诺图化简函数。函数。Y=m(3,6,8,10,13)+d(0,2,5,7,12,15)ABCD00000101111110100000 0101 1111 1010(2)填卡诺图填卡诺图 1 1 1 1 1 1 1 1(4)写出最简写出最简与与-或或式式最小项最小项(3)画包围圈画包围圈无关项无关项 1 1 例例 已知函数已知函数 Y 的的真值真值 表如下，求其最简表如下，求其最简 与与-或或式。式。0 01 1 11 1 10 01 1 01 1 01 11 0 11 0 10 01 0 01 0 00 1
30、 10 1 10 00 1 00 1 01 10 0 10 0 11 10 0 00 0 0YA B C解：解：(1)画变量卡诺图画变量卡诺图ABC0 01 10000 01011111 1010 1 1 1 1 1 1(4)写出写出最简最简与与-或或式式(2)填卡诺图填卡诺图(3)画包围圈画包围圈 要画要画圈吗？圈吗？解：解：(1)画变量卡诺图画变量卡诺图ABCD00000101111110100000 0101 1111 1010(2)填卡诺图填卡诺图(4)求最简求最简与与-或或式式(3)画包围圈画包围圈 1 1 1 1 1 1 1 1 求最简求最简与非与非-与与非非式基本式基本方法是：先
31、求最简方法是：先求最简与与-或或式，式，再利用还原律和摩根定律变换再利用还原律和摩根定律变换为最简为最简与非与非-与与非非式。式。例例 求求函数函数 的最简的最简与非与非-与与非非式。式。1 1 1 1 (5)求最简求最简与与-非非式式称为约束条件，表明称为约束条件，表明与与项项 AB 和和 AC 对应的最小项不允许出现，因此对应的最小项不允许出现，因此 AB 和和 AC 对应的方格为无关项。对应的方格为无关项。小结小结1、逻辑代数的基本概念：、逻辑代数的基本概念：基本逻辑运算、逻辑变量、逻辑函数、常量、反演、对偶、几何相邻、逻辑相邻2、基本定律、规则和常用公式、基本定律、规则和常用公式三组基
32、本定律：1）变量和常量的关系式 2）与普通代数相似的定律 3）逻辑代数中的特殊定律三个重要规则：1.代入规则 2.反演规则 3.对偶规则常用公式：1.合并律 2.2.吸收律3、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法1）、表达式：）、表达式：与或式与或式-最小项表达式最小项表达式*或与式或与式-最大项表达式最大项表达式*与非与非式与非与非式或非或非式或非或非式与或非式与或非式2）、真值表）、真值表*3）、逻辑图）、逻辑图4）、卡诺图）、卡诺图*4、需要掌握的能力：转化、需要掌握的能力：转化-化简化简与或式与或式-最小项表达式最小项表达式*或与式或与式-最大项表达式最大项表达式*真值表真值表卡诺图卡诺图表达式表达式逻辑图逻辑图波形图波形图画法：1、分段-每段中的输入量不变。2、根据逻辑表达式求出输出量。3、画出每段出输出量。化简：化简：（1）公式法）公式法（2）卡诺图卡诺图法法圈“1”法非完全描述逻辑函数