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1、9.7 状态矢量的线性变换在线性变换下状态方程的特性在线性变换下状态方程的特性系统转移函数阵在线性变换下是不变的系统转移函数阵在线性变换下是不变的A矩阵的对角化矩阵的对角化由状态方程判断系统的稳定性由状态方程判断系统的稳定性X第第第第 2 2 页页页页序言从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形的基底，而状态矢量用不同基底表
2、示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很有用的。简化系统分析是很有用的。X第第第第 3 3 页页页页一在线性变换下状态方程的特性矢量形式矢量形式 X第第第第 4 4 页页页页系数间的关系设原基底下状态方程表示为设原基底下状态方程表示为 经变换后经变换后或或系数间的关系系数间的关系X第第第第 5 5 页页页页二系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法
3、，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：不变的：上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。结论同样适用于离散系统。X第第第第 6 6 页页页页三A矩阵的对角化在线性变换中，使在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。阵的对角化是很有用的变换。A矩阵的对角化，说明系统结构变换成
4、并联结构形式。矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。以独立研究系统参数对状态变量的影响。在线性代数中已经分析了在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上矩阵的对角化。实际上就是以就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，矩阵的特征矢量，以次构作变换阵以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开。，即可把状态变量相互之间分离开。X第第
5、第第 7 7 页页页页四由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方程，则由态方程，则由A阵的对角化分析可知，阵的对角化分析可知，A矩阵对角化矩阵对角化后其对角元素是后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。系统的稳定情况。连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断离散系统稳定性
6、的判断 X第第第第 8 8 页页页页连续系统稳定性的判断这需要解方程这需要解方程 转移函数分母的特征多项式转移函数分母的特征多项式 此方程的根在此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。平面的左半平面，可确定系统为稳定的。X第第第第 9 9 页页页页离散系统稳定性的判断即系统的特征根位于单位圆即系统的特征根位于单位圆内内，和连续系统相似，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。位置相同，所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值矩阵的特征值