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1、中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析第八章因子分析因子分析FactorAnalysis中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析8.1引言引言1 1、
2、什么是因子分析？、什么是因子分析？、什么是因子分析？、什么是因子分析？因子分析是主成分分析的推广因子分析是主成分分析的推广,也是利用也是利用降维降维降维降维的思想的思想,由研究由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发,把一些把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子,以再以再现原始变量与因子之间的相关关系的一种多元统计分析方法。现原始变量与因子之间的相关关系的一种多元统计分析方法。2 2、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想：把每
3、个研究变量分解为几个影响因素变量把每个研究变量分解为几个影响因素变量,将每个原始变量分将每个原始变量分解成两部分因素解成两部分因素,一部分是由所有变量共同具有的少数几个一部分是由所有变量共同具有的少数几个公共公共公共公共因子因子因子因子组成的组成的,另一部分是每个变量独自具有的因素另一部分是每个变量独自具有的因素,即即特殊因子特殊因子特殊因子特殊因子.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分
4、析应用多元统计分析3、因子分析的目的：、因子分析的目的：因子分析的目的之一因子分析的目的之一,简化变量维数简化变量维数简化变量维数简化变量维数,即要使因素结构简单化即要使因素结构简单化,希望以最少的共同因素希望以最少的共同因素(公共因子公共因子),能对总变异量作最大的解能对总变异量作最大的解释释,因而抽取的因子愈少愈好因而抽取的因子愈少愈好,但抽取因子的累积解释的变异但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好量愈大愈好.在因子分析的公共因子抽取中在因子分析的公共因子抽取中,应最先抽取特征值最大的公应最先抽取特征值最大的公共因子共因子,其次是次大者其次是次大者,最后抽取公共因子的特征值最小最后抽取公共
5、因子的特征值最小,通常通常会接近会接近0.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析实例实例实例实例1 1在企业形象或品牌形象的研究中在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一消费者可以通过一个有个有24个指标构成的评价体系个指标构成的评价体系,评价百货商场的评价百货商场的24个方面的优个方面的优劣劣.但消费者主要关心的是三个方面但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境
6、、商店的服务即商店的环境、商店的服务和商品的价格和商品的价格.因子分析方法可以通过因子分析方法可以通过24个变量个变量,找出反映商找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店对商店进行综合评价进行综合评价.而这三个公共因子可以表示为：而这三个公共因子可以表示为：称称是不可观测的潜在因子是不可观测的潜在因子,称为公共因子称为公共因子.24个个变量共享这三个因子变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性但是每个变量又有自己的个性,不被包不被包含的部分含的部分,称为特殊因子称为特殊因子.这就是个因子分析模型这就是个因子分析模型.(
7、i=1,2,24)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析实例实例2调查青年对婚姻家庭的态度调查青年对婚姻家庭的态度,抽取抽取n个青年回答了个青年回答了p=50个问题的答卷个问题的答卷,这些问题课这些问题课归纳为如下几个方面归纳为如下几个方面:对相貌的重视、对孩子对相貌的重视、对孩子的观点、对老人的态度等等的观点、对老人的态度等等,这也是一个因子这也是一个因子分析的模型分析
8、的模型,每一个方面就是一个因子每一个方面就是一个因子.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析实例实例3考察人体的五项生理指标考察人体的五项生理指标:收缩压收缩压(X1)、舒张压、舒张压(X2)、心跳间隔、心跳间隔(X3)、呼吸间隔、呼吸间隔(X4)和舌下温度和舌下温度(X5).从生理学知识可知从生理学知识可知,这五这五项指标是受植物神经支配的项指标是受植物神经支配的,植物
9、神经又分为植物神经又分为交感神经和副交感神经交感神经和副交感神经,因此这五项指标至少因此这五项指标至少受到两个公共因子的影响受到两个公共因子的影响,也可用因子分析的也可用因子分析的模型去处理它模型去处理它.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析因子分析的因子分析的主要应用主要应用主要应用主要应用有两方面有两方面:一是寻求基本结构一是寻求基本结构,简化观简化观测系统测系统,
10、将具有错综复杂的对象将具有错综复杂的对象(变量或样品变量或样品)综合为少数几个因综合为少数几个因子子(不可观测的随机变量不可观测的随机变量),以再现因子与原始变量之间的内在联以再现因子与原始变量之间的内在联系系;二是用于分类二是用于分类,对对p个变量或个变量或n个样品进行分类个样品进行分类.因因因因子子子子分分分分析析析析R R型因子分析型因子分析型因子分析型因子分析QQ型因子分析型因子分析型因子分析型因子分析研究变量研究变量(指标指标)之间的相关关系之间的相关关系,通通过对变量的过对变量的相关阵相关阵相关阵相关阵或协方差阵内部结或协方差阵内部结构的研究构的研究,找出控制所有变量的几个找出控制
11、所有变量的几个公共因子公共因子(或称主因子、潜因子或称主因子、潜因子),用用以对变量或样品进行分类以对变量或样品进行分类.研究样品之间的相关关系研究样品之间的相关关系,通过对样通过对样品的品的相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵内部结构的研究找出控内部结构的研究找出控制所有样品的几个主要因素制所有样品的几个主要因素(或称主或称主因子因子).中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分
12、析4 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：联系联系联系联系:(1)因子分析是主成分分析的推广因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的是主成分分析的逆问题逆问题.(2)二者都是以二者都是以“降维降维”为目的为目的,都是从协方差矩阵都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发或相关系数矩阵出发.区别区别区别区别:(1)主成分分析模型是原始变量的线性组合主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始是将原始变量加以综合、归纳变量加以综合、归纳,仅仅是变量变换仅仅是变量变换;而因子分析是
13、将原始而因子分析是将原始变量加以分解变量加以分解,描述原始变量协方差矩阵结构的模型描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时提取的公因子个数等于原始变量个数时,因子分析才对应变因子分析才对应变量变换量变换.(2)主成分分析主成分分析,中每个主成分对应的系数是唯一确中每个主成分对应的系数是唯一确定的定的;因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的的.(3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限而主
14、成分分析对提取的主成分的解释能力有限.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析8.2因子模型因子模型一、正交因子模型一、正交因子模型设设是可观测是随机向量是可观测是随机向量,E(X)=,D(X)=,且设且设(mp)是不可观测的随机向量是不可观测的随机向量,E(F)=0,D(F)=Im(即即F 的各分量方差为的各分量方差为1,且互不相关且互不相关).又设又设与与F互不相关互不
15、相关,且且defD(对角矩阵对角矩阵)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析假定随机向量假定随机向量X满足以下的模型满足以下的模型:(8.2.1)则称模型则称模型(8.2.1)为为正交因子模正交因子模正交因子模正交因子模型型型型.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMul
16、tivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析(8.2.2)模型模型(8.2.1)用矩阵表示为用矩阵表示为其中其中,F1,Fm 称为称为X 的的公共因子公共因子公共因子公共因子;,1,p称为称为X的的特殊因子特殊因子特殊因子特殊因子;公共因子公共因子F1,Fm 一般对一般对X的每一个分量的每一个分量Xi都有作用都有作用,而而 i只对只对Xi起作用起作用,而且各特而且各特殊殊因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是互不相关的因子之间以及特殊因子与所有公共因子之间都是互不相关的.模型中的矩阵模型中的矩阵A=(aij)pm是
17、待估的参数矩阵是待估的参数矩阵,称为因子载荷矩阵称为因子载荷矩阵,aij(i=1,p;j=1,m)称为第称为第i个变量在第个变量在第j个因子上的载荷个因子上的载荷(简称简称为为因子载荷因子载荷因子载荷因子载荷).中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析（1）（2）三个关键的假设：三个关键的假设：即即 互不相关互不相关,方差为方差为1.1.,即特殊因子同公共因子相互独即特殊因
18、子同公共因子相互独立即不相关立即不相关;中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析（3 3）即特殊因子互不相关即特殊因子互不相关,方差不一定相等，方差不一定相等，。满足以上条件的，称为满足以上条件的，称为正交因子模型正交因子模型正交因子模型正交因子模型defD如如果果(2)不不成成立立,即即各各公公共共因因子子之之间间不不独独立立,则则因子分析模型为因子分析模型为斜交因子模型
19、斜交因子模型斜交因子模型斜交因子模型在主成分分析中在主成分分析中,回归模型回归模型(7.2.2)中的残差通常是彼此相中的残差通常是彼此相关的关的.在因子分析中在因子分析中,特殊因子起着残差的作用特殊因子起着残差的作用,但被定义为彼此但被定义为彼此不相关且与公共因子也不相关不相关且与公共因子也不相关;而且每个公共因子假定至少对两而且每个公共因子假定至少对两个变量有贡献个变量有贡献,否则它将是一个特殊因子否则它将是一个特殊因子.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStati
20、sticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析在正交因子模型中在正交因子模型中,假定公共因子彼此不相关且具有单位方假定公共因子彼此不相关且具有单位方差差,即即D(F)=Im.由由可知可知,正交因子模型意味着第正交因子模型意味着第j 个变量和第个变量和第k 个变量的协方差个变量的协方差 jk由下式给出由下式给出(8.2.3)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分
21、析应用多元统计分析应用多元统计分析如果原始变量已被标准化如果原始变量已被标准化,在在(8.2.3)式中式中将用相关阵代替协方差阵将用相关阵代替协方差阵.在此意义上在此意义上,公共因公共因子解释了观测变量间的相关性子解释了观测变量间的相关性.用正交因子模用正交因子模型预测的相关与实际的相关之间的差异就是型预测的相关与实际的相关之间的差异就是剩余相关剩余相关.评估正交因子模型拟合优度的好方评估正交因子模型拟合优度的好方法就是考察剩余相关的大小法就是考察剩余相关的大小.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppl
22、iesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析因子分析的目的首先是由样本协方差阵因子分析的目的首先是由样本协方差阵估计估计 ,然后由然后由分解式分解式(8.2.3)求得求得A 和和D,也就是从可以预测的变量也就是从可以预测的变量给出的样本资料中给出的样本资料中,求出载荷矩阵求出载荷矩阵A,然后预测公共因子然后预测公共因子F1,Fm.又因又因(8.2.4)其中其中A 为为pm 矩阵矩阵.可见可见A中元素中元素aij刻画变量刻画变量Xi与与Fj之间的相关性之间的相关性,称为称为Xi 在在Fj 上的因子载荷上的因子
23、载荷.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析(8.2.3)(8.2.4)上述两个关系式称为正交因子模型上述两个关系式称为正交因子模型的的协方差结构协方差结构.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析
24、应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析公因子公因子F1公因子公因子F2共同度共同度hi特殊因子特殊因子ix1=代数代数10.8960.3410.9190.081x2=代数代数20.8020.4960.8890.111x3=几何几何0.5160.8550.9970.003x4=三角三角0.8410.4440.9040.096x5=解析几何解析几何0.8330.4340.8820.118方差贡献方差贡献(特征值特征值)3.1131.4794.9590.409方差贡献率方差贡献率(变异量变异量)62.26%29.58%91.85%因子分析案例因子分析案例F1体现逻辑思维和运算能力体现逻辑思
25、维和运算能力,F2体现空间思维和推理能力体现空间思维和推理能力中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析二、正交因子模型中各个量的统计意义二、正交因子模型中各个量的统计意义1.1.因子载荷的统计意义因子载荷的统计意义因子载荷的统计意义因子载荷的统计意义因子负荷量因子负荷量(或称因子载荷或称因子载荷)是指因子结构中原始变量与因子分析是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共
26、因子的相关程度时抽取出的公共因子的相关程度.由因子模型由因子模型(8.2.1)及及(8.2.4)可知可知,Xi 与与Fj 的协方差的协方差中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析如果如果X Xi i是标准化变量是标准化变量是标准化变量是标准化变量(即即E(Xi)=0,Var(Xi)=1),即即Xi为为则则中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMult
27、ivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析 在各公共因子不相关的前提下在各公共因子不相关的前提下,(载荷矩阵中载荷矩阵中第第i行行,第第j列的元素列的元素)是随机变量是随机变量Xi与公共因子与公共因子Fj的相的相关系数关系数,统计术语叫做统计术语叫做“权重权重权重权重”,它表示它表示Xi依赖依赖Fj的分的分量量(比重比重).由于历史的原因由于历史的原因,在心理学中将模型在心理学中将模型(8.2.1)中的系数中的系数叫做叫做“载荷载荷”,即第即第
28、i个变量在个变量在第第j个因子上的载荷个因子上的载荷(或负荷或负荷),反映了第反映了第i个原始变量个原始变量在第在第j个公共因子上的相对重要性个公共因子上的相对重要性.因此因此绝对值越绝对值越大大,则公共因子则公共因子Fj与原始变量与原始变量Xi的关系越强的关系越强.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析2.2.变量共同度的统计意义变量共同度的统计意义变量共同度的统计意义
29、变量共同度的统计意义共同度共同度共同度共同度又称共性方差或公因子方差又称共性方差或公因子方差(community或或commonvariance)就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和(一行中所有因素负荷量的平方和一行中所有因素负荷量的平方和).变量的共同度是因子载荷矩阵变量的共同度是因子载荷矩阵A 的各行的元素的平方和的各行的元素的平方和hi2.记为记为从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子之从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子之从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子之从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子之
30、间的关系程度间的关系程度间的关系程度间的关系程度.如因子分析案例中如因子分析案例中:共同度共同度h12=(0.896)2+(0.341)2=0.919中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析为了给出为了给出hi2的统计意义的统计意义,下面来计算下面来计算Xi 的方差的方差:左式表明左式表明Xi的方差由两部分组成的方差由两部分组成,第一部分第一部分hi2是全部公共因子对是全部
31、公共因子对变量变量Xi的总方差所作出的贡献的总方差所作出的贡献,称为称为公因子方差公因子方差公因子方差公因子方差;第二部分第二部分 i2是是由特定因子由特定因子 i产生的方差产生的方差,它仅与它仅与变量变量Xi有关有关,也称为也称为剩余方差剩余方差剩余方差剩余方差.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析所有的公共因子和特殊因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量Xi的贡献
32、为的贡献为1,即即hi2+i21.hi2反映了全部公共因子对变量反映了全部公共因子对变量Xi的影响的影响,是全部公共因是全部公共因子对变量子对变量方差所做出的贡献方差所做出的贡献,或者说或者说Xi对公共因子的共同依赖程度对公共因子的共同依赖程度,称为公称为公共因子对变量共因子对变量Xi的方差贡献的方差贡献.hi2接近于接近于1,表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子说明了说明了.hi2反映了变量反映了变量Xi对公因子对公因子F依赖的程度依赖的程度,故也称公因子方故也称公因子方差差hi2为变量为变量Xi的的共同度共同度共同度共同度.特殊因子的方差特殊
33、因子的方差 i2(剩余方差剩余方差),反映了原始变量方差中无法被反映了原始变量方差中无法被公共因子描述的比例公共因子描述的比例,即各变量的特殊因素影响的大小即各变量的特殊因素影响的大小,就是就是1减减掉该变量共同度的值掉该变量共同度的值.如因子分析案例中如因子分析案例中:i2=1-0.919=0.081中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析3.3.公共因子公共因子公共因子
34、公共因子F Fj j的方差贡献的统计意义的方差贡献的统计意义的方差贡献的统计意义的方差贡献的统计意义在因子载荷矩阵在因子载荷矩阵A 中中,求求A 的各列的平方和的各列的平方和,记为记为qj2,即即qj2的统计意义与的统计意义与Xi的共同度的共同度hi2恰好相反恰好相反,qj2表示第表示第j 个公共因子个公共因子Fj对对X的所有分量的所有分量X1,Xp的总影响的总影响,称为第称为第j 个公因子个公因子Fj 对对X 的贡的贡献献,它是衡量第它是衡量第j 个公共因子相对重要性的指标个公共因子相对重要性的指标.方差贡献方差贡献方差贡献方差贡献q qj j2 2即即每每个变量与某一共同因素之因素负荷量的
35、平方总和个变量与某一共同因素之因素负荷量的平方总和(因子载荷矩阵因子载荷矩阵中某一公共因子列所有因子负荷量的平方和中某一公共因子列所有因子负荷量的平方和),又称为又称为特征值特征值特征值特征值.如因子分析案例中如因子分析案例中:F1的方差贡献为的方差贡献为=(0.896)2+(0.802)2+(0.516)2+(0.841)2+(0.833)2=3.113中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统
36、计分析应用多元统计分析qj2愈大愈大,表明表明Fj 对对X 的贡献愈大的贡献愈大,该因子的重要程度越高该因子的重要程度越高.如如果我们把载荷矩阵果我们把载荷矩阵A的各列平方和都计算的各列平方和都计算,使相应的贡献有顺序使相应的贡献有顺序:q12qm2,我们就能够以此为依据我们就能够以此为依据,找出最有影响的公共因子找出最有影响的公共因子.要解决此问题要解决此问题,关键是求载荷矩阵关键是求载荷矩阵A的估计的估计.方差贡献率方差贡献率方差贡献率方差贡献率指公共因子对实测变量的贡献指公共因子对实测变量的贡献,又称变异量又称变异量.方差贡献率方差贡献率方差贡献率方差贡献率=方差贡献方差贡献方差贡献方差
37、贡献q qj j2 2/实测变量数实测变量数实测变量数实测变量数 p p，是衡量公共因子相对重要性的指标是衡量公共因子相对重要性的指标.qj2越大越大,表明公共因子表明公共因子Fj对对X 的贡献越大的贡献越大,该因子的重要程度越高该因子的重要程度越高.如因子分析案例中如因子分析案例中:F1的贡献率为的贡献率为3.113/5=62.26%中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分
38、析 【注注】关于因子模型有下列两点需要指出关于因子模型有下列两点需要指出(书书P298)：(1)模型不受量纲的影响模型不受量纲的影响.(2)因子载荷矩阵因子载荷矩阵A不是唯一的不是唯一的.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析例例例例8.2.18.2.1已知已知的协方差阵的协方差阵 为为试求满足试求满足(8.2.3)式的因子载荷矩阵式的因子载荷矩阵A 和特殊因子协和特殊因
39、子协方差阵方差阵D,并计算并计算X1的共同度的共同度.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析解解解解：容易验证容易验证中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元
40、统计分析因而因子载荷矩阵因而因子载荷矩阵A 和特殊因子协方差阵和特殊因子协方差阵D分别为分别为即即X的协方差阵的协方差阵 具有具有m=2的正交因子模型结构的正交因子模型结构,且且X1的共同度为的共同度为第一个特殊因子第一个特殊因子 1的方差的方差 12=2,X1的方差可分解为的方差可分解为即即方差共同度特殊方差方差共同度特殊方差对对Xi(i=2,3,4)也有类似地分解也有类似地分解.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分
41、析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析8.3参数估计方法参数估计方法已知已知p 个相关变量的个相关变量的n 次观测值次观测值(i=1,2,n).因子分析的目的是用少数几个公共因子因子分析的目的是用少数几个公共因子(设为设为m个个)来来描述描述p个相关变量间的协方差结构个相关变量间的协方差结构:其中其中A=(aij)为为pm的因子载荷矩阵的因子载荷矩阵;D=diag(12,p2)为为p阶对角阶对角矩阵矩阵.也就是估计公共因子的个数也就是估计公共因子的个数m、因子载荷矩阵、因子载荷矩阵A及特殊因子及特殊因子方差方差 i2(i=1,p),使得满足使得满足中国民航大学中国民航大学中国民航大
42、学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析由由p 个相关变量的观测数据计算样本协方个相关变量的观测数据计算样本协方差阵差阵S,作为协方差阵的估计作为协方差阵的估计.为了建立公因子为了建立公因子模型模型,首先要估计因子载荷首先要估计因子载荷aij和特殊因子方差和特殊因子方差 i2.常用的参数估计方法有一下几种常用的参数估计方法有一下几种:主成分法主成分法,主因子解主因子解和和极大似然法极大似然法.中国民航大学中
43、国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析一、主成分法一、主成分法(基于主成分模型的主成分分析法基于主成分模型的主成分分析法Principalcomponents)设样本协方差阵设样本协方差阵S 的特征值为的特征值为 1 2 p0,相应单位正相应单位正交特征向量为交特征向量为l1,l2,lp,则则S 有谱分解式有谱分解式:中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMul
44、tivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析当最后当最后pm个特征值较小时个特征值较小时,S 可近似地分解为可近似地分解为(8.3.1)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析其中其中def(8.3.2)(8.3.2)式给出
45、的式给出的A 和和D 就是因子模型的一个解就是因子模型的一个解.载荷矩阵载荷矩阵A 中第中第j 列列(即第即第j 个公共因子个公共因子Fj 在在X 上的载荷上的载荷)和和X 的第的第j 个主成分的系个主成分的系数相差一个倍数数相差一个倍数故故(8.3.2)式给出的这个解式给出的这个解常称为因子模型的常称为因子模型的主成分解主成分解主成分解主成分解.中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应
46、用多元统计分析公因子个数公因子个数m 的确定方法一般有两种的确定方法一般有两种,一是根据实际问题的一是根据实际问题的意义或专业理论知识来确定意义或专业理论知识来确定;二是用确定主成分个数的原则二是用确定主成分个数的原则,选选m为满足为满足:的最小整数的最小整数(比如取比如取P00.70且且P0m，所以不能得到所以不能得到精确的得分，只能通过估计。精确的得分，只能通过估计。因子得分的因子得分的计算方法：计算方法：（1）运用回归分析思想求解）运用回归分析思想求解（2）Bartlett法法(即即:加权最小二乘法加权最小二乘法)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultiv
47、ariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析（1 1）运用回归分析思想求解）运用回归分析思想求解中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析则，我们有如下的方程组：则，我们有如下的方程组：中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大
48、学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析(j=1,2,m)中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析注注:共需要解共需要解m次才能解出所有的得分函数的系数次才能解出所有的得分函数的系数.中国民航大学中
49、国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析（2）Bartlett法法(即：加权最小二乘法）即：加权最小二乘法）即：加权最小二乘法）即：加权最小二乘法）把一个个体的把一个个体的p个变量的取值个变量的取值X*当作因变量，把求当作因变量，把求因子解中得到的因子解中得到的A作为自变量数据阵，对于这个个作为自变量数据阵，对于这个个体在公因子上的取值体在公因子上的取值f，当作未知参数，而特殊因当作未知
50、参数，而特殊因子的取值看作误差子的取值看作误差e，于是得到如下的线性回归模于是得到如下的线性回归模型：型：X*=Af+e，则称未知参数则称未知参数f为取值为为取值为X*的因子的因子得分。得分。最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法中国民航大学中国民航大学中国民航大学中国民航大学AppliesMultivariateStatisticalAnalysisAppliesMultivariateStatisticalAnalysis应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析应用多元统计分析案例分析：国民生活质量的因素分析国民生活质量的因素分析 国国家家发发展展的的最最终终目目标标，是是为为了