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1、第5讲 自相关函数和偏自相关函数首都经济贸易大学统计学院 张玉春Capital University of Economics and Business基本内容自相关函数偏自相关函数5.1自相关函数5.1.1 AR(1)自相关函数5.1.1 AR(1)自相关函数5.1.1 AR(1)自相关函数AR(1)过程的自相关函数（为正）5.1.1 AR(1)自相关函数AR(1)过程的自相关函数（为负）5.1.2 AR(p)自相关函数3.4 平稳性对于一阶差分方程，保持其平稳性的条件是特征方程 (1-aL)=0根的绝对值必须大于1，满足|1/a|1也就是|a|13.4 平稳性因为，在|a|1条件下，有若保
2、证AR(1)具有平稳性，必须收敛，即 a必须满足|a|1。如果|a|1，发散，则一阶差分方程变成一个非平稳随机过程。3.4 平稳性3.5 多阶自回归过程一阶自回归过程表明当前的随机变量x(t)由前一时期的随机现象x(t-1)和当前随机干扰u(t)造成，如果当前的随机现象是由前p个时期的随机现象和当前的随机干扰u(t)造成，就得到多阶自回归过程AR(p)3.5 多阶自回归过程定义（AR(p)过程）对于p阶差分方程如果 ，其特征方程的所有根都在单位圆之外（或绝对值大于1）；则称该p阶差分方程为一个p阶自回归过程。3.5 多阶自回归过程下面考虑AR(2)过程 的平稳性条件。其特征方程式是 上式的两个
3、根：3.5 多阶自回归过程平稳性条件是：练习：判断下列过程的平稳性 3.5 多阶自回归过程平稳性的充分条件是：3.5 多阶自回归过程3.5 多阶自回归过程2.4差分算子与滞后算子差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。一阶差分可表示为：xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-Lxt 其中 称为一阶差分算子。L 称为滞后算子，其定义是Lnxt=xt-n2.5白噪声和随机游走过程白噪声（white noise）过程：对于随机过程 x(t)，tT，如果E(x(t)=0，Var(x(t)=2 ，tT；Cov(x(t),x(t+k)=0，(t+k)T，k 0，则称x(t)为白噪声过程。
4、白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果x(t)同时还服从正态分布，则它就是一个强平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。2.5白噪声图1 由白噪声过程产生的时间序列 2.5白噪声图2 日元对美元汇率的收益率序列 2.5随机游走（random walk）过程随机游走过程：对于下面的表达式 xt=xt-1+ut 如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走过程“随机游走”一词首次出现于1905年自然杂志的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。2.5随机游走（random walk）过程图3 由随机游走过程产生时间序列 2.5随机游走（random walk）过程图4 日元对美元汇率（300天，1995年）2.5随机游走（random walk）过程随机游走过程的均值为零，方差为无限大。所以随机游走过程是非平稳的随机过程。