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1、MATLAB在线性代数中的应用在线性代数中的应用1.线性方程组的求解2.特征值、特征向量MATLAB初步初步1.1 齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=0若A有n列，如果R(A)=n,则X只有零解若A有n列，如果R(A)A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;format rat%指定有理式格式输出，适用于 数据较少，要求精确的场合;B=null(A,r)%求解空间的有理基MATLAB初步初步得到：B=2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1syms k1 k2X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)%写出方程组的通解pretty(X)%让通解表达式更加精美于是，我们
2、得到原线性方程组的解：%定义两个符号MATLAB初步初步求解的完整代码如下：A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;format rat;B=null(A,r);syms k1 k2;X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)pretty(X)MATLAB初步初步（2）使用函数rrefrref是用来将一个矩阵化成行阶梯最简形，从而求解。对上例，还可以使用如下方法求解：B=1 0 -2 -5/3 0 1 2 4/3 0 0 0 0 B=rref(A)请同学们编程将它的通解写出来!MATLAB初步初步1.3.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 AX=b非齐次线性方程组需要先
3、判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行 第二步；因此，步骤为：第四步：AX=b的通解=AX=0的通解+AX=b的一个 特解。第二步：求AX=b的一个特解；第三步：求AX=0的通解MATLAB初步初步利用矩阵除法求线性方程组的特解特解（或唯一解）方程：Ax=b解法：x=Ab在系数矩阵不满秩时，求特解可能存在误差 A=5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5;B=1 0 0 0 1;R_A=rank(A)%求秩X=AB%求解MATLAB初步初步例2 求解方程组有否解?MATLAB初步初步A=1 -
4、2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2;%输入系数矩阵A的值%first,input the coefficient matrix Ab=1 2 3;%输入b的值B=A,b;%得到增广矩阵n=4;%未知变量为4个R_A=rank(A);%求得系数矩阵A的秩R_B=rank(B);%求得增广矩阵的秩format rat%以有理数的形式显示数据if R_A=R_B&R_A=n%判断有唯一解 disp(It has only one solution!)X=Ab%直接用除法求该唯一解.elseif R_A=R_B&R_An%判断有无穷解 disp(It has infinitely ma
5、ny solutions!)X=Ab%求特解 C=null(A,r)%求AX=0的基础解系else X=equition no solve%判断无解，注意该处输出字符串X.end例3 求解方程组的通解：只需修改例2的系数矩阵和常数项向量即可！原方程组的通解为X=+k2+k1试用rref求解？2 特征值与二次型特征值与二次型（1）特征值求解函数函数：eig d=eig(A)%求矩阵A的特征值d，以向量 形式存放d。V,D=eig(A)%计算A的特征值对角阵D 和特征向量V，使AV=VD成立%V已经被归一化为单位向量了 最常见的两种形式：MATLAB初步初步例 4：求矩阵的特征值和特征向量.A=-
6、2 1 1;0 2 0;-4 1 3;V,D=eig(A)V=-0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015MATLAB初步初步D=-1 0 0 0 2 0 0 0 2特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T即：特征值为1，2，2。-1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)TMATLAB初步初步(2)正交规范化正交规范化 格式 B=orth(A)%将矩阵A正交规范化，B的列与A的列具有相同的空间，B的列向量是正交向量，且满足：B*B=eye(rank(A)。例 5 将矩阵正交规范化。A=4 0 0;0 3 1;0 1 3;B=orth(A)Q=B*BMATLAB初步初步则显示结果为P=1.0000 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.7071Q=1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000MATLAB初步初步