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1、实验实验7 7 定积分的近似计算定积分的近似计算内容提要内容提要在实际问题中遇到的定积分在实际问题中遇到的定积分,被积函数往往不可能被积函数往往不可能用算式给出用算式给出,而只能通过图形或表格给出而只能通过图形或表格给出;或者虽或者虽然可以用一个算式给出然可以用一个算式给出,但是要计算出它的原函数但是要计算出它的原函数却是很困难却是很困难,甚至原函数可能是非初等函数甚至原函数可能是非初等函数,因而因而产生产生”积不出来积不出来”的情况的情况.这时就不能用牛顿这时就不能用牛顿-莱莱布尼茨公式来计算定积分布尼茨公式来计算定积分,而需要考虑定积分的近而需要考虑定积分的近似计算问题似计算问题.所谓定积
2、分的近似计算所谓定积分的近似计算,就是找到一个适当的计算就是找到一个适当的计算公式公式,利用被积函数在积分区间上若干点处的函数利用被积函数在积分区间上若干点处的函数值值,来计算定积分的近似值来计算定积分的近似值,并且作出误差的估计并且作出误差的估计.定积分的近似计算定积分的近似计算我们知道我们知道 ,定积分定积分(设设f(x)0 f(x)0 不论在实际问不论在实际问题中的意义是什么题中的意义是什么,在数值上都等于曲线在数值上都等于曲线y=y=f(xf(x),),直线直线x=x=a,xa,x=b=b与与x x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.因此因此,不管不管f(xf(x)以什么
3、形式给出以什么形式给出,只要近似地算出相应的只要近似地算出相应的曲边梯形的面积曲边梯形的面积,就得到了所给定积分的近似值就得到了所给定积分的近似值.这是定积分近似计算方法的基本思想这是定积分近似计算方法的基本思想.我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算方我们介绍两种常用而简便的定积分的近似计算方法法,所导出的公式对于所导出的公式对于f(xf(x)在在 a,ba,b 上不是非负的上不是非负的情形也适用情形也适用.定积分的近似计算定积分的近似计算梯形法梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形,然后用窄梯形的面积近似代替窄曲边梯形面积然后用窄梯形的面积
4、近似代替窄曲边梯形面积,把它们相加从而求得定积分的近似值把它们相加从而求得定积分的近似值.具体方法具体方法如下如下:用分点用分点a=xa=x0 0,x,x1 1,将区间分为个长度相等的小区将区间分为个长度相等的小区间间,每个小区间的长度为每个小区间的长度为.设函数对应于各分点设函数对应于各分点的函数值为的函数值为 即即(i=0,1,n).(i=0,1,n).如图如图3535所示所示,每一个窄梯形的面积为：每一个窄梯形的面积为：定积分的近似计算定积分的近似计算从而有：从而有：公式公式(3)(3)称为梯形法公式称为梯形法公式.以下我们来估计梯形法的误差以下我们来估计梯形法的误差.第第i i个窄曲边
5、梯形个窄曲边梯形的面积为：的面积为：定积分的近似计算定积分的近似计算令令 则则 ，并且，并且 当当 时，时，t=0,t=0,当当 时，时，t=1,t=1,于是于是当当 时，利用分布积分法可以证时，利用分布积分法可以证明：明：定积分的近似计算定积分的近似计算如果当如果当 时时,那么那么 ,第第i i个窄曲边梯形与个窄曲边梯形与相应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估计相应的窄梯形面积之差的绝对值将有以下估计:定积分的近似计算定积分的近似计算抛物线法抛物线法梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来梯形法是通过用许多直线段分别近似代替原来的各曲线段的各曲线段,即逐段地用线性函数近似代替被积即逐段地用线
6、性函数近似代替被积函数函数,从而算出定积分的近似值从而算出定积分的近似值.为了提高精确为了提高精确度度,可以考虑在小范围内用二次函数可以考虑在小范围内用二次函数 来近似代替被积函数来近似代替被积函数,即用对称轴平行于即用对称轴平行于y y轴的轴的抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧抛物线上的一段弧来近似代替原来的曲线弧,从从而算出定积分的近似值而算出定积分的近似值.这种方法称为抛物线法这种方法称为抛物线法,也称为辛普森也称为辛普森(Simpson)(Simpson)法法.具体方法如下具体方法如下:定积分的近似计算定积分的近似计算用分点用分点a=,a=,将区间将区间 a,ba,b 分为分为n(
7、n(偶数偶数)个长度相等的小区间个长度相等的小区间,各分点对应的函数值为各分点对应的函数值为 .曲线曲线y=y=f(xf(x)也相应地被分为也相应地被分为n n个小弧段个小弧段,设曲线上设曲线上的分点为的分点为 我们知道我们知道,过三点可以确定一条抛物线过三点可以确定一条抛物线 .于是在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三个相于是在每两个相邻的小区间上经过曲线上的三个相应的分点作一条抛物线应的分点作一条抛物线,这样可以得到一个曲边梯这样可以得到一个曲边梯形形,把这些曲边梯形的面积相加把这些曲边梯形的面积相加,就可以得到所求定就可以得到所求定积分的一个近似值积分的一个近似值.由于两个相邻区间决定一条抛由于两个相邻区间决定一条抛物线物线,所以用这种方法时所以用这种方法时,必须将区间必须将区间 a,ba,b 分成偶分成偶数个小区间数个小区间.定积分的近似计算定积分的近似计算下面我们先来计算下面我们先来计算-h,hh,h 上以过点上以过点 的抛物线为的抛物线为 曲边的曲边梯形的面积曲边的曲边梯形的面积.首先首先,抛物线方程中的抛物线方程中的pqrpqr可由下列方程组确可由下列方程组确定定:由此得到由此得到于是所求面积为：于是所求面积为：定积分的近似计算定积分的近似计算这个曲边形的面积仅与的纵坐标及底边所在区间这个曲边形的面积仅与的纵坐标及底边所在区间的长度的长度2h2h有关。有关。