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1、第第6 6章章 积分和微分运算积分和微分运算积分和微分是微积分的重要内容，本章将对积分和微分的内积分和微分是微积分的重要内容，本章将对积分和微分的内容进行详细的介绍。积分包括单变量数值积分、双重积分容进行详细的介绍。积分包括单变量数值积分、双重积分和三重积分等。然后介绍了常微分方程的符号解和数值解。和三重积分等。然后介绍了常微分方程的符号解和数值解。最后介绍了如何求函数的最小值和零点。最后介绍了如何求函数的最小值和零点。6.1 6.1 数值积分数值积分MATLAB提供了一些进行定积分的专用函数，用户可以很方提供了一些进行定积分的专用函数，用户可以很方便的进行单变量数值积分、双重积分和三重积分等
2、。下面便的进行单变量数值积分、双重积分和三重积分等。下面将首先介绍定积分的概念，然后对这些函数进行详细的介将首先介绍定积分的概念，然后对这些函数进行详细的介绍。绍。6.1.1 6.1.1 定积分概念定积分概念函数函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，记作：上的定积分，记作：其中其中f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，称为被积表达式，x称为积分称为积分变量，变量，a称为积分下限，称为积分下限，b称为积分上限，区间称为积分上限，区间a,b称称为积分区间。为积分区间。6.1.2 6.1.2 利用梯形求面积利用梯形求面积求解定积分的数值方法有很多，例如简单的梯形法、求解
3、定积分的数值方法有很多，例如简单的梯形法、Simpson法和法和Romberg法等等都是数值分析课程中经常法等等都是数值分析课程中经常介绍的方法。它们的基本思想是将整个积分空间分割成若介绍的方法。它们的基本思想是将整个积分空间分割成若干个子空间。这样积分问题，就转换为求和问题。干个子空间。这样积分问题，就转换为求和问题。求取定积分的最直观的方法是用梯形法，用直线将这些点连求取定积分的最直观的方法是用梯形法，用直线将这些点连接起来，定积分近似为用这些折线和接起来，定积分近似为用这些折线和x轴间围成的面积。轴间围成的面积。在在MATLAB中，采用函数中，采用函数trapz()可以直接采用梯形法求解
4、可以直接采用梯形法求解定积分的近似值定积分的近似值。6.1.3 6.1.3 利用矩形求面积利用矩形求面积函数函数cumsum()采用矩形法求解定积分的近似值。该函数的调用采用矩形法求解定积分的近似值。该函数的调用格式为：格式为：y=cumsum(X)：该函数采用矩形法计算定积分的近似值。：该函数采用矩形法计算定积分的近似值。y=cumsum(X,DIM)：在第：在第DIM维来计算定积分的近似值。维来计算定积分的近似值。6.1.4 6.1.4 单变量数值积分求解单变量数值积分求解在在MATLAB中，采用函数中，采用函数quad()来求解定积分的数值解，该来求解定积分的数值解，该函数采用自适应变步
5、长的方法。该函数的调用格式为：函数采用自适应变步长的方法。该函数的调用格式为：y=quad(Fun,a,b)：求函数：求函数Fun的定积分，定积分的下限为的定积分，定积分的下限为a，定积分的上限为，定积分的上限为b。y=quad(Fun,a,b,)：该函数的输入参数：该函数的输入参数 用来指定误差限，用来指定误差限，默认值为默认值为10-6。此外，还有函数此外，还有函数quadl()，其调用格式和函数，其调用格式和函数quad()完全一致，完全一致，但是求解的精度和速度高于函数但是求解的精度和速度高于函数quad()。6.1.4 6.1.4 双重积分求解双重积分求解在在MATLAB中，可以通过
6、函数中，可以通过函数dblquad()计算双重积分的数计算双重积分的数值解，双重积分的格式为：值解，双重积分的格式为：该函数的调用格式为：该函数的调用格式为：q=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)：该函数计算矩形区域：该函数计算矩形区域的双重积分。的双重积分。q=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM,)：该函数限定双重积：该函数限定双重积分的精度为。分的精度为。6.1.5 6.1.5 三重定积分求解三重定积分求解在在MATLAB中，可以通过函数中，可以通过函数triplequad()计算三重积分的计算三重积分的数值解，三重积分的格式为：数值解，三重积分的格式为：q=db
7、lquad(Fun,xm,xM,ym,yM,zm,zM)：该函数函数计算算三重三重积分。分。q=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM,zm,zM,tol)：该函数的函数的输入参数入参数tol是是积分的精度控制量，默分的精度控制量，默认为10-6，为了提高了提高计算的精度，可以算的精度，可以选择更小的更小的值。6.2 6.2 常微分方程常微分方程常微分方程（常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）求）求解是高等数学的基础内容，在实际中有广泛的应用。解是高等数学的基础内容，在实际中有广泛的应用。MATLAB提供了很多函数用于求解常微分方程，包括常
8、提供了很多函数用于求解常微分方程，包括常微分方程的符号解和常微分方程的数值解。微分方程的符号解和常微分方程的数值解。6.2.1 6.2.1 常微分方程符号解常微分方程符号解在在MATLAB中，采用函数中，采用函数dsolve()求解常微分方差的符号解。求解常微分方差的符号解。Dy表示一阶微分项，表示一阶微分项，D2y表示二阶微分项。该函数的调用表示二阶微分项。该函数的调用格式为：格式为：dsolve(equation)：该函数求微分方程的通解。：该函数求微分方程的通解。dsolve(equation,condition)：该函数求微分方程的特解。：该函数求微分方程的特解。dsolve(equa
9、tion1,equation2,condation1,condition2)：该函数求解微分方程组。：该函数求解微分方程组。dsolve(,v)：该函数求解微分方程，并表示为：该函数求解微分方程，并表示为v的函数。的函数。6.2.2 6.2.2 常微分方程数值解常微分方程数值解对于大多数的微分方程，很难求出一般解，可以求满足规定对于大多数的微分方程，很难求出一般解，可以求满足规定精度的近似解，即数值解。在精度的近似解，即数值解。在MATLAB 2010a中，提供中，提供了常微分方程的了常微分方程的7种解法，它们是函数种解法，它们是函数ode45()、ode23()、ode113()、ode15
10、s()、ode23s()、ode23t()、ode23tb()。6.3 6.3 函数的极小值和零点函数的极小值和零点求函数的最小值和零点是工程上常见的问题，在求函数的最小值和零点是工程上常见的问题，在MATLAB中中提供了一些函数能够用于求解函数的最小值和零点。对于提供了一些函数能够用于求解函数的最小值和零点。对于求解最大值的问题，可以在原函数上乘以求解最大值的问题，可以在原函数上乘以-1，然后求最，然后求最小值。下面介绍如何求函数的极小值和零点。小值。下面介绍如何求函数的极小值和零点。6.3.1 6.3.1 一元函数的最小值一元函数的最小值在在MATLAB中，采用函数中，采用函数fminbn
11、d()求解一元函数在给定的求解一元函数在给定的区间内的最小值，该函数的调用格式为：区间内的最小值，该函数的调用格式为：x=fminbnd(fun,x1,x2)：该函数在区间：该函数在区间x1,x2内寻找函内寻找函数数fun的最小值，的最小值，fun为匿名函数或函数句柄，为匿名函数或函数句柄，x为最小值为最小值的自变量取值。的自变量取值。x=fminbnd(fun,x1,x2,options)：该函数采用：该函数采用options进进行优化器的设置。行优化器的设置。options可以采用函数可以采用函数optimset()来设来设置。置。x,fval=fminbnd()：该函数返回输出变量最小值
12、：该函数返回输出变量最小值fval。6.3.2 6.3.2 多元函数的最小值多元函数的最小值在在MATLAB中，采用函数中，采用函数fminsearch()求多元函数的最小求多元函数的最小值。该函数需要指定一个起始点值。该函数需要指定一个起始点x0，然后得到在点，然后得到在点x0附附近的局部最小值。该函数的调用格式为：近的局部最小值。该函数的调用格式为：x=fminsearch(fun,x0)：该函数获取函数：该函数获取函数fun在在x0点附近的点附近的最小值点，最小值点，x为最小值的自变量的取值。为最小值的自变量的取值。x=fminsearch(fun,x0,options)：该函数通过：该
13、函数通过options对优对优化器的参数进行设置。化器的参数进行设置。x,fval=fminsearch()：该函数返回最小值：该函数返回最小值fval。6.3.3 6.3.3 一元函数的零点一元函数的零点在在MATLAB中，利用函数中，利用函数fzero()求一元函数的零点。用户求一元函数的零点。用户可以指定一个区间或开始点。如果用户知道函数零点所在可以指定一个区间或开始点。如果用户知道函数零点所在的区间，则可以使用一个包含两个元素的向量来指定区间。的区间，则可以使用一个包含两个元素的向量来指定区间。如果不知道取零点的区间，也可以指定一个开始点，函数如果不知道取零点的区间，也可以指定一个开始
14、点，函数在开始点附近寻找使函数值改变符号的区间，如果没有找在开始点附近寻找使函数值改变符号的区间，如果没有找到这样的区间，则返回值为到这样的区间，则返回值为NaN。x=fzero(fun,x0)：该函数求一元函数函数求一元函数fun的零点，返回的零点，返回值为零点的自零点的自变量的量的值。x=fzero(fun,x0,options)：该函数通函数通过options对优化器的化器的参数参数进行行设置。置。x,fval=fzero()：该函数函数输出自出自变量量为x时的函数的函数值。6.4 6.4 本章小结本章小结本章详细的介绍了利用本章详细的介绍了利用MATLAB进行积分和微分运算，积分进行积分和微分运算，积分和微分运算是高等数学的核心内容。积分包括单变量积分、和微分运算是高等数学的核心内容。积分包括单变量积分、双重积分和三重积分。利用双重积分和三重积分。利用MATLAB可以非常方便的进可以非常方便的进行积分和微分运算。最后介绍了如何求函数的最小值和零行积分和微分运算。最后介绍了如何求函数的最小值和零点。点。