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1、第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:方程方程 两边对 x 求导，把y把y看作x的函数。，求解 在方程中把看作的函数，解得 例1 设当时，代入的表达式，所以 求导，得两边对例2 试求 与椭圆相切且平行于直线的切线方程。设点在椭
2、圆上，且过该点的切线与直线平行，则 ,于是点在椭圆上，即两边对求导，得 ，解出 解 由故故，椭圆上有两个点 及处切线与直线平行，两条切线方程分别是 即 和 和 例例3.设设是由方程是由方程确定的隐函数，求确定的隐函数，求解解 方程两边对方程两边对求导，求导，解得解得 上式两边再对上式两边再对求导，仍然把求导，仍然把看看作作的函数的函数 将代入，化简得例4 设解 等式两边取对数得 ，求两边再对求导，注意到是的函数，1)对幂指函数可用对数求导法求导:二二.对数求导法按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2)对多因式函数多因式函数用对数求导法求导很方便 例如例如,两边取对数两边对 x 求导例例
3、5.求解解:两边取对数,化为隐式的导数。两边对求导得 又如又如,对 x 求导两边取对数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成 x 是 y 的函数)关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得?,且求已知解解:注意：例例6.6.求 摆线在所对应的点的切线与法线方程 时，摆线上对应的点为 解解:故 所求切线方程为 即 法线方程为 即 例例7.已知椭圆的参数方程，求解 例例8.设由方程确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故例例9.9.以初速度、仰角发射炮弹
4、，其运动方程为求炮弹在时刻的运动方向及速度大小（1）先求运动方向解 (即轨迹的切线方向):（2）再求速度的大小故炮弹速度大小：速度的水平分量为，垂直分量为 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例例10.10.将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度是多少？解 则设时刻容器内水面高度为，水的体积为 当 （米3/分）（米）时，（米3/分），试求当容器内水例例11.有一底半径为 R cm,高为 h
5、cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的两边对 t 求导而故体积为 V,则内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习思考与练习1.求螺线在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为2.设求提示提示:分别用对数微分法求答案答案:求其反函数的导数.
6、解解:方法方法1方法方法2等式两边同时对 求导备用题备用题例例1.设例例2 求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数例例3.抛射体运动轨迹的参数方程求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出(即 t=0)时,倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向,求解解：例例4.设方程组两边同时对 t 求导,得例例5.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少?解解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则两边对 t 求导已知 h=500m 时,思考题思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:对 t 求导已知求