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1、线性系统与线性空不变系统线性系统定义线性系统定义脉冲响应脉冲响应线性不变系统线性不变系统线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数级联系统级联系统1 1 线性系统定义线性系统定义v若一个系统既具有叠加性又具有均匀性，则此系统称为线性系统 设v叠加性v均匀性也就是说，一个系统具有线性，是指输入和输出之间应满足如下关系1 1 线性系统定义线性系统定义线线性性系系统统具具有有叠叠加加性性质质：即即系系统统对对几几个个输输入入的的线线性性组组合合的的整整体体响响应应就就等等于各单个输入产生的响应的线性组合。于各单个输入产生的响应的线性组合。1 1 线性系统
2、定义线性系统定义 利利用用线线性性系系统统的的叠叠加加性性质质，可可以以方方便便地地求求出出系系统统对对于于任任意复杂输入的响应。意复杂输入的响应。方方法法是是：首首先先，我我们们把把复复杂杂的的输输入入分分解解成成许许多多更更加加基基本本的的函函数数，即即 “基基元元”函函数数的的线线性性 组组合合。而而基基元元函函数数的的响响应应是是较较容容易易单单独独确确定定的的。这这些些基基元元函函数数的的响响应应再再经经线线性性组组合合，就就可可以以得得到到复复杂杂输输入入所所对对应应的的输输出出，这这是是线线性性系系统统的的最最大大好好处。处。基基元元函函数数通通常常是是指指不不能能再再分分解解的
3、的基基本本函函数数。在在线线性性分分析析系系统统中中，常常用用的的基基元元函函数数有有 函函数数、余余弦弦函函数数、和和复复指指数数函函数数。1 1 线性系统定义线性系统定义0102031 1 线性系统定义线性系统定义2 2 脉冲响应脉冲响应以以 函数作为基元函数，研究输入与输出的关系函数作为基元函数，研究输入与输出的关系利利用用 函函数数的的筛筛选选性性质质，任任何何输输入入函函数数都都可可以以分分解解为为 函函数数的的线性组合线性组合这个积分可以看成是这个积分可以看成是x,yx,y平面上无穷多个不同位置（平面上无穷多个不同位置（，）处的）处的以权重以权重为为系数的线性叠加系数的线性叠加 函
4、数函数2 2 脉冲响应脉冲响应2 2 脉冲响应脉冲响应的意义是：输入平面上位于的意义是：输入平面上位于x x=,y y=处处的的单单位位脉脉冲冲（点点光光源源）通通过过系系统统后后在在输输出出平平面面上上得得到到的的分分布布。所所以以它它是是脉脉冲冲响响应应或或点点扩扩散散函函数数。对对于于给给定定的的光光学学系系统统，点扩散函数一般与输入点扩散函数一般与输入 点脉冲的位置（点脉冲的位置（,）有关。有关。令令脉冲响应脉冲响应式式（*）通常称为通常称为叠加积分叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换，它描述了线性系统输入和输出的变换L LL L2 2 脉冲响应脉冲响应为了更好地理解叠加积分的物
5、理意义，我们以线性为了更好地理解叠加积分的物理意义，我们以线性光学成像光学成像系统系统为例加以说明：为例加以说明：显显然然，线线性性系系统统的的性性质质完完全全由由它它对对单单位位脉脉冲冲的的响响应应表表征征。只只要要知知道道系系统统对对位位于于输输入入 平平面面上上所所有有可可能能的的点点上上的的脉脉冲冲的的响响应应，就就可可以以通通过过叠叠加加积积分分而而完完全全确确定定系系统统的的输输出出 。另另外外，如如果果系系统统的的输输入入和和输输出出之之间间满满足足叠叠加加积积所所描描述述的的关关系系，就就可可以以认认为为这这是一个是一个线性系统线性系统。2 2 脉冲响应脉冲响应显显然然，要要做
6、做到到这这一一点点，是是相相当当困困难难的的。不不过过对对于于线线性性系系统统的的一个重要子类一个重要子类线性不变系统线性不变系统，分析才变得十分简单。，分析才变得十分简单。一一辐辐输输入入图图像像可可看看成成是是一一个个点点物物的的集集合合，只只要要能能确确定定所所有有点点物物的的像像，就就可可以以完完备备地地描描述述这这一一成成像像系系统统的的效效应应。但但要要注注意意的的是是，一一定定要要把把所所有有物物点点的的像像叠叠加加起起来来，才才能能得得到到输输出出图图像像。即即完完全全确确定定一一个个线线性性系系统统的的性性质质，需需要要知知道道系系统统对于输入平面上对于输入平面上所有可能位置
7、上的所有可能位置上的 函数函数输入的脉冲响应。输入的脉冲响应。2 2 脉冲响应脉冲响应对于空间不变系统，其输入与输出的变换关系是不随输入空间对于空间不变系统，其输入与输出的变换关系是不随输入空间位置而变化的变的。其唯一的效应是输出发生同样的位移。位置而变化的变的。其唯一的效应是输出发生同样的位移。若若L L则则L L3 3线性不变系统线性不变系统v一个二维脉冲函数在输入平面上位移时，线性系统的响应函数形式始终与在原点处输入的二维脉冲函数的响应函数形式相同，仅造成响应函数相应的位移，即 v这样的系统称为二维不变线性系统。其脉冲响应函数可表示为v脉冲响应函数仅仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标的相对间
8、距v二维线性不变系统还常常叫做空间不变（线性）系统 2 2线性不变系统线性不变系统v物理的空间不变线性系统，输入平面和输出平面常常是不同的两个平面，需要建立两个坐标 v从研究输入和输出之间关系的角度来看，输入和输出两种信号放在同一坐标系中是方便的，因此对输入平面和输出平面的坐标做归一化（不管两者是否表示同一种物理量），使得从数值上有 和 脉冲响应函数变为3 3线性不变系统线性不变系统对于线性不变系统，叠加积分式：对于线性不变系统，叠加积分式：式中式中h(x,y)h(x,y)是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空不变系统的性质。不变系统的性质。上上式式（
9、*）积积分分称称为为卷卷积积积积分分，其其含含义义仍仍旧旧是是指指：把把输输入入函函数数f(x,y)f(x,y)分分解解为为无无穷穷多多个个 函函数数的的线线性性组组合合，每每个个脉脉冲冲都都按按其其位位置置加加权权，然然后后把把系系统统对对于于每每个个脉脉冲冲的的响响应应叠叠加加在在一一起起就就得得对对于于f(x,y)f(x,y)的的整整体体响响应应。与与（*）式式不不同同的的是是，不不论论输输入入脉脉冲冲位位置置如如何何，系系统统脉脉冲冲响响应应的的函函数数的的形形式式是是相相同同的的。因因而而系系统统的作用可以用的作用可以用一个一个脉冲响应函数来表征。脉冲响应函数来表征。3 3线性不变系
10、统线性不变系统变为变为说说明明：对对于于成成像像系系统统而而言言，物物平平面面上上一一个个点点光光源源（函函数数），通通过过成成像像系系统统后后得得到到一一个个弥弥散散像像点点分分布布（h h函函数数），这这种种弥弥散散作作用用很很像像日日晕晕、月月晕晕现现象象。对对于于线线性性不不变变系系统统，由由于于像像点点的的形形状状不不随随物物点点空空间间位位置置而而变变，所所以以又又把把这这种种特特性性称称为为等等晕晕性性。对对于于实实际际成成像像系系统统，一一般般不不可可能能是是严严格格的的空空不不变变系系统统，这这是是由由于于像像差差的的大大小小与与物物点点位位置置有有关关。然然而而绝绝大大多多
11、数数光光学学系系统统像像差差大大小小随随时时物物点点位位置置的的变变化化是是缓缓慢慢的的，因因此此，即即使使是是空空间间不不变变性性不不能能在在整整个个视视场场内内成成立立，我我们们也也可可把把视视场场分分成成若若干干个个区区域域，在在每每个个区区域域内内使使空空间间不不变变性性近近似似成成立立。这这样样划划分分的的区区域域称称为为等等晕晕区区。对对于于每每个个等等晕晕区区都都有有各各自自的的h h。因因此此，对对线性不变系统的讨论是具有普遍意义的。线性不变系统的讨论是具有普遍意义的。3 3线性不变系统线性不变系统4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数上式是输入和输出关系在空域表示，
12、利用卷积定理，可以上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以得到频率的关系式。得到频率的关系式。不变线性系统不变线性系统的的传递函数的的传递函数 输入输入 频谱频谱 输出输出 频谱频谱系统的传递函数或频率响应系统的传递函数或频率响应它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化。样的变化。说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数；二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者
13、各自的频谱数；二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱函数的积。再对该积求函数的积。再对该积求逆逆傅里叶变换求得输出函数。傅里叶变换求得输出函数。4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数从从表表面面上上看看，后后一一种种方方法法比比前前一一种种方方法法复复杂杂，但但实实际际情情况况并并非非如如此此，这这是是因因为为利利用用傅傅里里叶叶变变换换的的性性质质和和傅傅里里叶叶变变换换对对偶偶表表，常常可可以以使使得得傅傅里里叶叶变变换换、求求积积和和求求逆逆傅傅里里叶叶变变换换这这一一运运算算过过程程远远比比卷卷积积运运算算方方便便。因因此此从从频频率率域域来来考考察察线线性性平平移移
14、不不变系统，不仅有重要的理论意义，而且有很高的实用价值。变系统，不仅有重要的理论意义，而且有很高的实用价值。下面进一步来讨论下面进一步来讨论传递函数传递函数的物理意义：的物理意义：前前面面我我们们把把线线性性系系统统的的输输入入函函数数f(x,y)f(x,y)分分解解成成 函函数数的的线线性性组组合合，而而对对于于线线性性不不变变系系统统，可可以以找找到到更更为为合合适适的的基基元元函函数数，即即复复指指数数函函数数。逆逆傅傅里里叶叶变变换换提提供供了了对对于于输输入入函函数数进进行行分分解解的方法。的方法。4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数在光学中，在光学中，、具有长度倒数的量
15、纲，因此具有空间频率的具有长度倒数的量纲，因此具有空间频率的意义。意义。上式表明。空间信号上式表明。空间信号f f(x,y)(x,y)可以分解成具有不同空间频率可以分解成具有不同空间频率、的的基元函数基元函数expj2expj2(x+x+yy的线性组合，的线性组合，F F（,）d d d d 就就是这一线性组合中对应基元函数的是这一线性组合中对应基元函数的权重因子权重因子。这就是除了。这就是除了 函数函数以外的第二种基元函数。这种分解法通常称为以外的第二种基元函数。这种分解法通常称为傅里叶分解傅里叶分解。L LL L又因为又因为4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数利用L L上式表明
16、，各基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然是上式表明，各基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然是同频率的复指数函数。但是可能产生与频率有关的幅值变化和同频率的复指数函数。但是可能产生与频率有关的幅值变化和相移，这些变化决定于系统的传递函数。因此传递函数又称为相移，这些变化决定于系统的传递函数。因此传递函数又称为频率响应，它描述了系统的频率响应，它描述了系统的频率域的特性频率域的特性。线性不变系统4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数传递函数的意义v空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子v输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输
17、入“传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数v传递函数一般是复函数，其模的作用是改变输入函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改变这些基元成分的初位相v传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作位相传递函数4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数空间频率的两种意义v空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变化的周数（单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等）v信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，单位为：周/mm，线对/mm，L/mm，等，其大小
18、是没有限制的，可以是无穷大v另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别4 线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数定义：定义：如果函数如果函数 f f(x,y)(x,y)满足条件满足条件式中式中a a为一复数，叫本征值，则称为一复数，叫本征值，则称 f(f(x
19、,y)x,y)为算符为算符所表征的系统的所表征的系统的也就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输也就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数等于输入函数与一复常数的乘积。出函数等于输入函数与一复常数的乘积。由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变系统，因此，它正是线性不变系统的系统，因此，它正是线性不变系统的本征函数本征函数。在分析线性不变系统时，取复指数函数为基元函数是非常方在分析线性不变系统时，取复指数函数为基元函数是非常方便的。便的。L L本征函数本征函数L L工程光学中已经说明光波可以用复指
20、数函数表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数表示的光输入变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数对于对于非相干处理系统非相干处理系统，系统对光强是线性的，这种系统可，系统对光强是线性的，这种系统可以把一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的以把一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的系统，这类系统的传递函数是厄米的，即有：系统，这类系统的传递函数是厄米的，即有：令令振幅传递函数振幅传递函数相位传递函数相位传递函数偶函数偶函数奇函数奇函数5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数下面我们来证明下面我们来
21、证明余弦函数余弦函数是这类系统的本征函数是这类系统的本征函数令令为系统的传递函数，为系统的传递函数，输入函数为输入函数为因为因为因此，输入频谱为因此，输入频谱为输出频谱为输出频谱为5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数系统的输出函数为系统的输出函数为F F -1-1因输入函数的频率是任意的，故上式可写成一般形式因输入函数的频率是任意的，故上式可写成一般形式5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数L L上式表明，上式表明，u 对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。将产生同频率的余弦输出。u
22、 同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。定于传递函数的模和幅角。u 非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。5 5 线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数v下图表示的是两个级联在一起的空间不变线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入6 6 级联系统级联系统两个系统级联的传递函数v对于总的系统 和 分别是其输入和输出，因为 v前式代入后式，并利用卷积的结合律，有v总的脉冲响应为v总的传递函数为 6 6 级联系统级联系统n个空间不变线性系统的级联vn个空间不变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为 v用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅传递函数和位相传递函数的如下关系v级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。6 6 级联系统级联系统