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1、函数单调性的判定法函数单调性的判定法 一、单调性的判别法一、单调性的判别法 二、单调区间求法二、单调区间求法 三、小结三、小结 思考题思考题一、单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定
2、义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立
3、仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增练练 习习 题题练习题答案练习题答案 函数极值及其求法函数极值及其求法 一、函数极值的定义一、函数极值的定义 二、函数极值的求法二、函数极值的求法 三、小结三、小结 思考题思考题一、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数
4、取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).例例2 2解解图形如下图形如下注意注意:例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极
5、大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题解答思考题解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立练练 习习 题题练习题答案练习题答案 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 一、最值的求法一、最值的求法 二、应用举例二、应用举例 三、小结三、小结 思考题思考题一、最值的求法步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点
6、和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)二、应用举例例例1 1解解计算计算比较得比较得实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全
7、部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4解解如图如图,解得解得三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概
8、念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.思考题思考题思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但练练 习习 题题练习题答案练习题答案曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法 四、小结四、小结 思考题思考题一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义二、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例1 1解解注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意:例例4 4解解四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.思考题思考题思考题解答思考题解答例例练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五题图第五题图