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1、阅卷人得分2019年高考理数真题试卷（天津卷）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。（共8题；共40 分）1. （5 分）设集合 A = -1,123,5, B = 2,3,4, C = % G/?|1 % 3,则 Q4 n C） U B =（ ）A. 2B. 2, 3C. -1, 2, 3D. 1, 2, 3, 4）rx + y - 2 -1,（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6. （5 分）设 E R ,则“ %2 - 5% 0 ”是 1| (0,l,0) , E(0,0,2) .设 CT =h(/i 0),贝U F(l,2,/i).(I)证明：依题意，AB = 是平面ADE的
2、法向量，又 加=(0,2,/i),可得BF-AB =0 ,又因为直线BF (t平面ADE ,所以BF |平面ADE .(II)依题意，BD = (-1,1,0), BE = (-1,0,2), CE = (1,2,2).设九二 (Z)为平面BDE的法向量，则心言二；x + y = 0fx + 2z = 0,不妨令z = 1可得n = (221) .因止匕有cos(CE,n)=m - BD = 0,m - BF = 0,所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(III)设租= (%y,z)为平面BDF的法向量，则不妨令y = 1 ,可得Hi = (LI,令2/5 _ |m-n| _ |4一五
3、| _ 1由题意，有|cos cosx ,得 f (%) 0 ,则 /(%)单调递减；当 x G (2/ot 苧,2/ot + *)(k e Z)时，有sinx 0 ,则/(%)单调递增.所以,/(%)的单调递增区间为2时竽,2/ot +勺(k Z),/(%)的单调递减区间为2/ot +(keZ).(II)证明:记八(%) =/(%) +g(%)(5 - ).依题意及(I ),有 g(x) = ex(cosx - sin%),从而“(%) = -2exsinx .当 。皆)时，“(%) V 0，故T(%) = /(%) + “(%)(5 - ) + g(%)(i) = )因此，h(x)在区间
4、冷野 上单调递减,进而h(x) 咐)=啰)=0 .所以，当 xGp5时,/(%) + g(%)g %)0 .(III)证明：依题意，u(xn) = f(xn) -1 = 0 ,即 e%九cos%九=1 .记% = %九 一 2九兀,则 yn G (5,y)，且 /(%) = eyncosyn = eXn-2n7rcos(xn - 2htt) = e-2n7r(n 6 N).由 /(yn) = e一2M4i = /(y0)及(1)，得 yn)y .由(II)知，当 e时，g(%) 0 ，所以g(x)在 冷刍上为减函数,因此g优)&g(y0) v遍)=0 .又由(II)知,f(yn) +e2mie
5、2nnn_/.)= ？一2兀2ml =2 %、g(yn) g(%)、g(yo) eyO(siny0-cosy0)p 27171sinxg-cosx_TTp _ 27T所以，2717T + 7T - Xn V -：2 n sinx0-cosx0【解析】【分析】本题主要考导数的计算、不等式证明及导数在研究函数中的应用。(I )对函数f(x) = e%cosx求导可求出/(%)的单调递增区间和单调递减区间；(II)先构造函数 h(x) =/(%) + g(%)g - X)，再对(I)(x) = ex(cosx sin%)求导，找出 /i(x)的单调递减区间，结论得以证明；(III)由已知条件 u(x
6、n) = /(xn) -1 = 0 得出 yn = xn- 2nn ,进而得出 /(yn) = e_2n7r41 =/(yo) ，结合(II) 9(%)在 冷刍为减函数，即可得到。(%)9仇) 0, b 0）的两条渐近线分别交于点A和点B ，且AB=40F0为原点），则双曲线的离心率为A. V2B. V36. （5 分）已知 a = log52 , b = log0 50.2A. a c bB. a b cC. 2D. V5c = O.50,2 ,则af bfc的大小关系为（）C. b c aD. c a 0,3 0,|卬| 1,B. 0,2阅卷入得分B. 0,2C. 0, eD. l,eA.
7、 0,1R上恒成立，则a的取值范围为（）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共30分）（5分）i是虚数单位，则|M|的值为10. （5 分）（2%-是展开式中的常数项为11. （5分）已知四棱锥的底面是边长为V2的正方形，侧棱长均为V5 ,若圆柱的一个底面的圆周经 过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.12. （5分）设aeR ，直线ax-y + 2 = 0和圆匕：彳七锂（ 0为参数）相切，则a的值 y jl 十 zsiricz为.13. （5 分）设1 0, y 0, % + 2y = 5 ,则的最小值为.14. （5 分）在四
8、边形 ABCD 中，AD | BCtAB = 23f AD = 5/4 = 30。，点 E 在线段 CB 的延长线上，且AE = BE阅卷入得分长线上，且AE = BE，贝1J丽，荏=.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分）（13分）在 A ABC中，内角AfBfC所对的边分别为afbfc .已知b + c = 2a , 3csinB =4asinC .(I )求cosB的值；(H)求 sin(25 +1)的值.15. (13分)设甲、乙两位同学上学期间，每天7： 30之前到校的概率均为| .假定甲、乙两位同学 到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(I )用X
9、表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数 学期望；(II)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7： 30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前 到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.16. (13 分)如图，AE 1 平面 ABCD , CF | AEt AD | BC , AD 1 ABf AB = AD =1, AE = BC = 2 .(I )求证：BF |平面ADE ；(ID求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(III)若二面角E-BD-F的余弦值为1 ,求线段CF的长.17. (13分)设椭圆与+4=l(ab0)的左焦点为F ，上顶点为B
10、.已知椭圆的短轴长为 a b4,离心率为电.(I)求椭圆的方程；(II)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上,若0N = 0F ( 0为原点)，且0PlMN ,求直线PB的斜率.18. (14分)设an)是等差数列,bn)是等比数列.已知的=4*1 = 6, b2 = 2a2 2,b =(I )求an和bn)的通项公式;1 2fc n 2fc+1(H)设数列4满足C1 = 1,%= L N几其中/CEN*.bk，n = 2 ,(i)求数列Q2MC2九一1)的通项公式;(ii)求着四6(71 N*).19. (14 分)设函数 /(%) = e
11、xcosx, g(x)为 /(%)的导函数.(I )求/(%)的单调区间；(II)当 %Gp5 时,证明 /(%) + g(x)g %)0 ；(III)设xn为函数比(%)=/(%) 1在区间(2m + *2师+ *)内的零点，其中n e N ,证p 21177明 2727r +5 - xn -.2 n sinx0cosx0答案解析部分1 .【答案】D【解析】【解答】AC = 1,2 , Q4nC)UB = 1,234故答案为：D【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。2 .【答案】C【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域，由z = 4% + y得y = 4% + z ,平移直线y = 4
12、% + z ,可知当直线y = 4x + z经过直线x y + 2 = 0与x = 1的交点时，直线y = 4x + z 的截距最大，此时Z最大由.7 + 2 =。解得;二I x = -1( y - 1x 少+2=0!x*y-2=0x=-l此时直线 y + 2 = 0与x = -l的交点为(-1J)此时z的最大值为z = -4 x (-1) + 1 = 5故答案为：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出z的最大值。3 .【答案】B【解析】【解答】由- 1| V 1得，0 V % 2由 x2 5x 0 得 0Vx5由“小范围”推出“大范围”得出0%2可推出0%5
13、故 0 V % 5 ”是 |x 1| 1 的必要而不充分条件。故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。4 .【答案】B【解析】【解答】该程序框图共运行3次：第1次，:1,1非偶数，S = 0 + 1 = 1, 1 =2V4；第 2 次，1 = 2.2 是偶数，j = g= 1 , S = l + 221 = 5, i = 3 4成立，结束循环，故输出S = 8。故答案为：B【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断i值的变化规律以及对应的赋值语 句即可得出答案。5 .【答案】D【解析】【解答】抛物线y2 = 4%的准线I
14、 ： x = -l抛物线y2 = 4%的准线为F,|。尸| = 1抛物线y2 = 4x的准线与双曲线马g=l(aO*O)的两条渐近线分别交于A, B两点，且 AB = 40F = 4 ,”(I, 2) ， 8(1, -2)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得2=2,CL b2 = 4a2 ,A 4a2 = c2 a2 ,即 5a2 = c2 ,:.e = = V5 . a故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，AB=40F得出 弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可 求得离心率。6 .【答案】A【
15、解析】【解答】c = O.50,2 V 1 且 c = O,50,2 0,51 =，cl = log52 log0 50.5 = 1故 b c a故答案为：A【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定afbfc的大小关系即可。7 .【答案】C【解析】【解答】由函数/(%)= Zsin3% + 8)(4 0,3 0/w| 0 得+ 2a 之 0 解得 0 a E 1 ；当 al 时,1_2,+2好0得 a(i _ ina) o 解得 la 1时，求最小值的问题，关于x的不等式/(%)之0在R上恒 成立，解不等式即可得出。的取值范围。9 .【答案】V13【解析】【解答】|招 =|篇器3
16、 | = |2 - 34 = 02 + (-3)2 =反故答案为：VT3【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共辄复数，再利用复数求模即可得出答 案。10 .【答案】28【解析】【解答】展开式的通项公式为7r+i = 6(2%)8t(=玛28T4r 。人令8 - 4r = 0可得r = 2故展开式中的常数项为或26(-52 = 28故答案为：28【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数。11 .【答案】I【解析】【解答】四棱锥的底面是边长为V2的正方形，侧棱长均为V5 连接AC ，设四棱锥的高为PO , 0是底面的中心。1：.AC = 2
17、 , AO =AC = 1在 RtPOA 中，PO = JPA2-AO2 = 2圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 圆柱底面的半径r = AO = | ，圆柱的高h = PO = 1*圆柱的体积V = Sh = nr2h =兀x (i)2 x 1 =今【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半 径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。12.【答案】|【解析】【解答】把圆的参数方程化为普通方程得：（、 2）2 +（y1）2=4圆心的坐标为（2,1）,半径丁 二 2;直线qx y + 2 = 0和圆相切，,|qx
18、2-1+2| Q圆心到直线的距离d = I ? / 、2 = 2X+（-i）z即 |2a + 1| = 2Va2 + 1解得：a = 7故答案为：I【分析】将圆的参数方程化为普通方程，利用圆心（2,1）到直线ax-y+ 2 = 0的距离等于半径即 可得出答案。13 .【答案】4V3+福之2历我*=4百 时，等号成立。【解析】【解答】vx 0, y 0, x + 2y = 5.（x+l）（2y+l） _ 2xy+%+2y+l _ 2%y+6 _ 京 一 市 一向 一 当且仅当2月=击，即当仁二;或 故答案为：4V3【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。14 .【答案】-1【解析】【解答】,:AD”BC , AB = 2晅、AD = :44 = 30。，点E在线段CB的延长线上，AE = BE作 EF 1AB：./.ABE = 30 , /.BAE = 30:在 RtAFE 中，4E = 2 , .BD - AE = (BA +AD) -AE= BA-AE+AD-AE=| 询福 cosl50。+ |福 |福 cos60。