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1、第58讲随机事件的概率与古典概型思维导图随机事件的概率与古典概型题型1:随机事件的关系 题型2:随机事件的频率与概率题型3:互斥事件、对立事件概率公式的应用 题型4:古典概型知识梳理1 .事件的相关概念2 .频数、频率和概率（1）频数、频率：在相同的条件S下重复几次试验，观察某一事件/是否出现，称次试验中事件/出 现的次数刈为事件/出现的频数，称事件4出现的比例/（4）=詈为事件4出现的频率.（2）概率：对于给定的随机事件4如果随着试验次数的增加，事件/发生的频率力。）稳定在某个常数 上，把这个常数记作。（4）,称为事件力的概率.3 .事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系若/发生，则8
2、一定 发生事件5包含事件/（事件/ 包含于事件3）33/（或力。3）相等关系若且Z35事件4与事件3相等A=B并（和）事件力发生或3发生事件A与事件B的并事件（或和事件）小8（或4+3）交（积）事件4发生且3发生事件/与事件8的交事件 （或积事件）4 A 3（或 AB）互斥事件4nB为不可能事件事件A与事件B互斥A 05 = 0对立事件/ A3为不可能事件，4为必然事件事件/与事件B互为对立事件4 n 8=0, P(4U8)=14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：OWPW1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则。(/ U
3、8)=P(/)+P(8).(5)对立事件的概率：若事件力与事件3互为对立事件，则/U8为必然事件，。(/U8)=l, P(A)= P(B).5.古典概型特点：有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件.等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的.(2)计算公式：一八包含的基本事件的个数。一基本事件的总数题型归纳题型1随机事件的关系【例1-1】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件【例1-2】从1,2,3,，7这7个数中任
4、取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.B.C.D.【跟踪训练1-1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移37动卡”的概率是备 那么概率是云的事件是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡【跟踪训练1-2】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设4 = 两次都击中飞机, 8=两次都没 击中飞机,。=恰有一次击中飞机,。=至少有一次击中飞机,其中彼此互斥的事件是 ，互为对立事件的是
5、.【名师指导】判断互斥、对立事件的2种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互 斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事 件一定是互斥事件集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.事件A的对立事件7所含的结果组成的集合，是全集中由事件/所含的结果组成的集合的补集题型2随机事件的频率与概率【例2-1】(2019北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A, B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学 生中随机抽取了 100人，
6、发现样本中A, B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A, B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现 他本月的支付金额大于2 000元.结合的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由.【跟踪训练2-1】（2019全国卷II）我国高铁
7、发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中， 有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高 铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.【跟踪训练2-2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天 最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25）,需求 量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份 各天的
8、最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)口5,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写 出y的所有可能值，并估计丫大于零的概率.【名师指导】1 .概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反 映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2 .随机事件概
9、率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常 数，这个常数就是概率.题型3互斥事件、对立事件概率公式的应用【例3-1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为4 B,C,求：p,p（b）, pg（2）1张奖券的中奖概率；（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【跟踪训练3-1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至
10、4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）X3025y10结算时间（分钟/ 人）11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（1）确定x, 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）【跟踪训练3-2】 A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）:A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，
11、各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设 所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.【名师指导】求互斥事件的概率的方法(1)直接法一一一一一 一一_ 一一一 一一一 一一_ 一一一 一一一 一_一一一一一一一一一 一_一_一一一一一 一_一_一一 一一一 一 第一步口根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和: 、 _ 一 一 一一一_一一 _一 _ _一_ _ 正弟利用有关概辖偿公式分别计算这些彼此互斥的事件的概率1 _ 1J第三步H运用互斥事件的概率加法公式计算所求概率(2)间接法(正难则反)i制好新X而厩落讦算亮否适否布面接法;而到惭的
12、I 缸斗 标准是正向思考时分类较多，而其对立面的分类较少/ 一-一:此时应用间接法0 启讨利而诉承湎而丽丽而薜蔻公而算迎面 产一夕n的对立事件彳的概率第三步R运用公式P(A ) =1-P (不)求解题型4古典概型【例4-1】 (2019全国卷I)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“，右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）511A RC-32D-16（2）（2019合肥市第一次质检测）某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别 为123,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取
13、出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一 次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）A.,c 19B2541D而【跟踪训练4-1】（2019武汉部分学校调研）我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六 个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制 二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下， 甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（）a，6u4【跟踪训练4-
14、2】（2019兰州市诊断考试）某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部Z, B, C, D, E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则/或3被选中的概率是（）Bl【跟踪训练4-3】（2019武汉市调研测试）已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是（）A.|C413 D 口.20【名师指导】1.古典概型的概率求解步歌 （1）求出所有基本事件的个数九（2）求出事件/包含的所有基本事件的个数加.m(3)代入公式P(/)=1求解.2.基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型.(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法.(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的 探求.(4)运用排列组合知识计算.