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1、专题02整式的运算专题知识点概述本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律。通过例题讲解和训练 抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力。一、整式的基本概念L单项式(1)由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。单独的一个数或者一个字母也是单项式。(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。(3)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2 .多项式(1)几个单项式的和叫做多项式。(2)其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。(3)多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数。3 .整式单项式与多项式统称整式。二、整式的加减.同
2、类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.1 .合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。2 .合并同类项的法则：系数相加成，字母及其字母的指数不变.3 .去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.7 . （2020宁波）下列计算正确的是（）A . a3ea2 =B . （a3） 2= asC . a6-Fa3 = asD . a +a = a2 35【答案】C【解析】直接利用同底数募的乘除运算法则、募的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案.
3、A. afa2= 故此选项错误；B.）2=叫故此选项错误；C. arra3= aq 正确；D.矽aq不是同类项，不能合并，故此选项错误；8. （2019贵州遵义）下列计算正确的是（）（A） （ a+b）2=2+b2 （B） - （2a2）2=4ai （C） a + a分a5（D） a6 9,3 a32【答案】D【解析】选项A少了乘积的2倍，选项B少了负号，选项C不是同类项不能合并，选项D同底数募的除法, 底数不变指数相减。所以选D（2019湖南怀化）单项式-5ab的系数是（）A . 5B , - 5C . 2D , - 2【答案】B.【解析】单项式-5ab的系数是-5,故选：B .9. （20
4、19湖南株洲）下列各式中，与3xy是同类项的是（）2 3【答案】C.【解析】2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；A. 3x.3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C.-羡xy与3xy是同类项，故本选项正确；D. -iy与3xy是同类项，故本选项错误。11 .(2019黑龙江哈尔滨)下列运算一定正确的是()a . 2a 2a 2a 2B , a2 a3 a6C . (2a2)36a6D . (a b) (a b) a2 b2【答案】D【解析】利用同底数鬲的乘法，黑的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可;2a+2a = 4a, A 错误；a2*a3 = a,5, B 错误；(2as
5、) 3 = 8ae, C 错误;故选D .12 .(2019湖南娄底)下列运算正确的是()2 3 63 3 92 2 463 2A . x *x =x B . (x ) =x C . x +x =xD . x -Fx =x【答案】B .235【解析】A. x -x =x ,故原题计算错误；B. (x3) 3及9,故原题计算正确；C.x2+x2=2x2,故原题计算错误；D. x6-x3=x3,故原题计算错误。13. (2019年广西柳州)计算x(x - 1) = ()2A . x - 1 B . x - x C.x+x 333【答案】B【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相
6、乘，X(X2-1)= X -x,故选B.3(2019黑龙江龙东地区)下列各运算中，计算正确的是()A . a2 + 2a2 = 3ai B . bio4-b2 = b.5C . i- n) 2= m2 - ri2 D . (-2x ) = - 8x236【答案】D【解析】根据整式的运算法则及乘法公式逐个判断即可.对于A, a +2a = 3a ；对于B, b =b ；对于C, (m-n) 2= m2-2nin+n2 ；对于D, (-2x2)3 = - 8x6.可见，A, B, C三个选项均错误，D正确，故选D.14. (2019山东滨州)若8x“y与6x3#的和是单项式，则(m+n) 3的平方
7、根为()A . 4B . 8C . 4D . 8【答案】D【解析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得 叭n的值，再代入计算可得答案.由8xmy与6x3yn的和是单项式，得m = 3, n = 1 .（m+n） 3= （3+1） 3 = 64, 64 的平方根为8.二、填空题（2020重庆）计算：（兀-1） +|-2| =. 0【答案】3【解析】（）+| -2| =1+2 = 30【点拨】根据零次募和绝对值的意义，进行计算即可.15. （2019江苏常州）如果a-b-2 = 0,那么代数式1 + 2a - 2b的值是.【答案】5【解析】本题考查
8、了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值 a-b-2 = 0,a b = 2 .l+2a 2b=l+2（a b） =1+2X2 = 5,因此本题答案为5 .16. （2019黑龙江大庆）a5+a=.3【答案】包【解析】同底数孱的除法a5 4-33= a.5-3= Q217. . （2109湖南怀化）当a=-l, b = 3时，代数式2a-b的值等于.【答案】-5.解析解：当a= -1, b = 3 时，2a b = 2X （ - 1） -3= -5（2019黑龙江绥化）计算：（ m）=.3 24【答案】m2【解析】哥的乘方，同底数募的除法(一 m3)2-rm4 = me
9、-Fmi = m2.21 . (2019湖南岳阳)已知X-3 = 2,则代数式(x-3) 2-2 (x - 3) +1的值为.【答案】1.【解析】解：Vx-3 = 2,代数式(x-3) 2-2 (x-3) +1= (x-3 - 1) 2二(2- 1) =1 .2三、解答题22 . (2020温州)计算 4 | -2|+ (，6，J ( - 1) .化简:(x- 1) 2-x (x+7).【答案】见解析。【分析】(1)直接利用零指数募的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；(2)直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案.【解析】(1)原式=2 - 2+1+1
10、=2；(2) (x - 1) 2- x (x+7)= X2 - 2x+l - X2 - 7x二-9x+l .23 . (2020绍兴)(1)计算：-4cos45 + ( - 1) 2020.化简:(x+y) 2-x (x+2y).【答案】见解析。【分析】(1)直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案；(2)直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案.【解析】原式= 2/2=4x必+ 12= 272-272+1 = 1 ；(x+y) &x (x+2y)= X2+2xy+y2 - X2 - 2xy二 丫2 24 . (2020新疆)先化简，再求值：(x-2)
11、2-4x(X-1) + (2x+l) (2x - 1),其中 x= V.【答案】见解析。【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将X的值代入化简 后的式子即可解答本题.(x-2) 2-4x (x- 1) + (2x+l) (2x- 1)=X2 - 4x+4 - 4x2+4x+4x2 - 1=X2+3,当 x=一。2时，原式二(V2) 2+3 = 5 .25 . (2020齐齐哈尔) 计算：sin30。+V16- (3，3)七|一 +【答案】见解析。【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数鬲的性质、绝对值的性质分别化简得出答案。【解析】 sin30 +V
12、16- (3-V3)= 1+4- 14-122=426 . (2020重庆)在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数, 现在我们利用整数的除法运算来研究一种数-“差一数”.定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”.例如：14+5 = 24, 14+3 = 42,所以14是“差一数”；194-5 = 3-4,但19 + 3 = 61,所以19不是“差一数”.(1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；(2)求大于300且小于400的所有“差一数”.【答案】见解析。【分析】(1)根据“差一数”的定义即可求解；
13、(2)根据“差一数”的定义即可求解.【解析】(1) 49+5 = 94,但49+3 = 161,所以49不是“差一数”；74 + 5 = 144, 74 + 3 = 242,所以 74 是“差一数”.(2)大于 300 且小于 400 的数除以 5 余数为 4 的有 304, 309, 314, 319, 324, 329, 334, 339, 344, 349, 354, 359, 364, 369, 374, 379, 384, 389, 394, 399,其中除以3余数为2的有314, 329, 344, 359, 374, 389 .故大于300且小于400的所有“差一数”有314,
14、329, 344, 359, 374, 389 .27 -(202。济宁)先化简，再求值：31) (x-l)+x(2 一 X), 其中 x.【答案】见解析。【解析】直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案.【解析】原式=X2 - 1+2X-X2=2x - 1,当x二工时, 2原式二2X I -1 = 0 . 228 .笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元。小红买3本笔记本，2支圆珠笔；小明买4本笔记本，3支 圆珠笔。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？【答案】(3x+2y) + (4x+3y)=7x+5y【解析】小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小红买笔
15、记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元。小红和小明一 共花费钱数为：(3x+2y) + (4x+3y)=7x+5y. (2019湖南张家界)阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项，记为3,排在第二位的数称为第二项，记为,依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a .所 12n以，数列的一般形式可以写成：a, a, a, a,. 1 2 3n一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1, 3, 5, 7,为等差数列，其中a
16、l, a2 =3,公差为d = 2 .根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5, 10, 15,的公差d为,第5项是.(2)如果一个数列a, a, a,，a，是等差数列，且公差为d,那么根据定义可得到a - a=d, a - 123n213a = d, a - a = d, , a - a = d, . 243n n- 1所以a = a +d 21a = a +d = (a +d) +d = a +2d, 3211a = a +d = (a+2d) +d = a +3d,43II由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a = a+ () d.n 1(3) - 4041是不是等差数列-5, -
17、7, - 9的项？如果是，是第几项？【答案】(1) 5, 25；n-l； (3) -4041是等差数列-5, -7, -9的项,它是此数 列的第2019项.【解析】 根据题意得，d= 10 - 5 = 5；Va =15, 3a = a +d = 15+5 = 20,43a 二 a +d = 20+5 = 25, 54故答案为：5 ； 25 .(2) Va = a +d 2 i a = a +d = (a+d) +d = a +2d, 3211a = a +d = (a +2d) +d = a +3d,43II/.a = a + (n-l) d n 1故答案为：n - 1 .(3)根据题意得，等
18、差数列-5, -7, -9的项的通项公式为：a = -5-2 (n-l) n贝IJ_5_2 (n- 1) = - 4041,解之得：n = 2019一 4041是等差数列-5, -7, - 9的项，它是此数列的第2019项.5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。三、整式的乘除.基本运算(1)同底数鬲的乘法法则：am - an am n ,(m n都是正整数)同底数靠相乘，底数不变，指数相加。(2)帚的乘方法则：Gm) namn ,(m n都是正整数)器的乘方，底数不变，指数相乘。器的乘方法则可以逆用：即amn(am ) n (an) m(3)积
19、的乘方法则：(ab)n anbn (n是正整数)。积的乘方，等于各因数乘方的积。(4)同底数器的除法法则：am an am n C”都是正整数，且同底数募相除，底数不变，指数相减。1(5)零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即a。 (aWO)(6)负整数指数：任何不等于0的数的-P次黑(P是正整数)，等于这个数的P次募的倒数，1 a p 即 ap ( aW0,p是正整数)。1 .整式的乘法(1)单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式。(2)单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，gp
20、m (a b c) ma mb me (m , a, b, c 都是单项式)。(3)多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(4)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即(a b) (a b) a2 b 2(5)完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：(a+b) 2 招+U+2ab(6)完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再戒上这两个的积的2倍。即：(a-b)二a 汁2ab,整式的除法(1)同底数募的除法：“ an a m n(2)单项式的除法法则：单项式相除，把系
21、数、同底数骞分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。(3)多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。(4)添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。括号前面是一号，放进括号里面的每一项都要变号。例题解析与对点炼习【例题1(2020贵州黔西南)若7ab与-ab和为单项式，贝IJ y於. y【答案】8【解析】直接利用合并同类项法则进而得出X, y的值，即可得出答案.因为7axb2与-3by的和为单项式,所以7趾2与-融丫是同类项,所以x = 3, y = 2,所以yx = 23 =
22、8,因此本3题答案为8 .【点拨】此题主要考查了单项式，正确得出x, y的值是解题关键.【对点练习】(2019贵州黔西南州)如果3ab 2人与9abm是同类项，那么m等于()A . 2B . 1C . - 1D . 0【答案】A【解析】根据题意，得：2m-l=m+l,解得m = 2.故选：A.【例题 2 (2020凉山州)化简求值：(2x+3) (2x-3) - (x+2) +4 (x+3),其中 x= b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）B. (a+b) 2B. (a+b) 2C
23、. (a - b) 2【答案】【解析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得.中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b,则面积是（a - b） 2 .专题点对点强化训练一、选择题1 . （2020遂宁）下列计算正确的是（）A . 7ab - 5a = 2bB . （a+L） 2 = a?+2C . （ - 3a2b） 2 = 6aib2D . 3a b4-b = 3a22【答案】D【解析】7ab与-5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；根据完全平方公式可得（a+工）2=az+L+2,因此选项B不正确； 2（-3a2b） 2 = 9a4b2,因此选项C不正确； 3
24、a2b+b = 3a2,因此选项D正确；【点拨】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可.2 . （2020泸州）下列各式运算正确的是（）A . X2+X3 = xsB . X3 - X2 = xC . X2eX3 = X6D . （x ）= x326【答案】D【解析】分别根据合并同类项法则，同底数募的除法法则以及募的乘方运算法则逐一判断即可.A . X2与X3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 8.*3与一乂2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C.X2X3 = X5,故本选项不合题意；D .仅3）2 = X6,故本选项符合题意.3 . （2020德州）下列运算正确的是
25、（）B . a2*a3 = a5D . a 4-a = a623【答案】B【解析】利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案.6a - 5a = a,因此选项A不符合题意；2出3 =法，因此选项B符合题意；（-2a） 2 = 4叫 因此选项C不符合题意；a6a2 = a6-2 = ai,因此选项D不符合题意；A . a2*a3 = ae4 . （2020苏州）下列运算正确的是（）B . as 4- a = a3D . (a b) = a b 224 2【答案】D【解析】根据同底数累的乘除法、器的乘方，积的乘方的意义和计算方法，分别进行计算，做出判断和选择.0,2 H3 02 卜3 二 0.5,
26、 因此选项A不符合题意；as + a二a：二a2,因此选项B不符合题意；)3 = 32X3 = 36 ;因此选项C不符合题意；(a2b) 2 = a4b2,因此选项D符合题意;. (2020黔东南州)下列运算正确的是()A . (x+y) 2 = X2+y2B . X3+X1 二 xC . X3*X2 = X6【答案】D【解析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数骞的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答 案.A. (x+y) 2 = X2+2xy+y2,故此选项错误；X3+X4, 不是同类项，无法合并，故此选项错误；B. X3X2=X5,故此选项错误；( - 3x) 2 = 9x2,正确.5 . (2020杭州)(1+y) (l-y)=()A . 1+丫2B.-1- 丫2C.1- 丫2D . - 1+丫2【答案】C【解析】直接利用平方差公式计算得出答案.(1+y) (1-y) = 1 - y 2.