《专题13 点差法在圆锥曲线中的应用（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题13 点差法在圆锥曲线中的应用（解析版）.docx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题13点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析 圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型，在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经 常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（百，/）、（9,%），代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点 坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍（一）求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率，再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求 以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.22【例11过椭圆工+上=1内一点/（2,1）引一条
2、弦,使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程.164【解析】设直线与椭圆的交点为A（%,y）、”（2,1）为A3的中点 /.玉=4 y +% =2又A、B两点在椭圆上，则X； + 4y2 = 16, x22 + 4y22 = 16两式相减得（%； -%?） + 4（y： - %?） = 0于是（% +%）（%一）+ 4（y +%）（y - %）=。.弘一丁2 =九1+42_ = _1%-元24（）， + %）4x22即心8二一,，故所求直线的方程为y一1 二 一,（工一2）,即工+ 2丁一4 二 022【例2已知双曲线C*-/=1（。0力0）,离心率e = G虚轴长为2VL求双曲线。的标准方程；
3、过点P（L1）能否作直线/，使直线/与双曲线C交于A3两点，且点。为弦的中点?若存在，求出直线/的 方程；若不存在,请说明理由.【解析】, e = =6，2 = 272 ,?.（? =,b =母.a. c2 = a2 +Z72,. 3/ = + 2 贝Ij X/+X2 =2kma2b2 -k2a2,X1X2=a2 (m2 +Z?2)b2-k2a2所以福才。=0, 即(x/a,yiy(X22)=0, 即 xjX2a(xj +%2)+a2-yiy2=0,即 X1X2a(xi +x2)+(kxi+m)(kx2+m)=0,即(kma)(xi+&) + (N +1 )x/X2+m2+/=0,0n -2h
4、?ici3 - k2612b2-m2a2 + irrb1 - k2a4即E? 即 a2(a2+b2)k2+lma3k+m2(a2Z?2) = 0,即a(a2+即)%+m(a2h2)(ak-m)=0, 所以卜=一 ）或k= 用T以左城+娟/左a当=一竺时，直线i的方程为y=-竺x+用,此时经过A,舍去； aa当女=一脸昌时，直线）的方程为y=嗒虚 x+m a（a +b ）a（a +b ）恒过定点（丝卓,0）,经检验满足题意；a -b综上,直线/过定点（叫坐。）矿-b三、跟踪检测?1.已知椭圆C：L+V = 1,片为右焦点，直线/：y =，（x-1）与椭圆。相交于A, 8两点，取A点关于x轴的 2
5、对称点S,设线段AS与线段8S的中垂线交于点Q.当，=2时，求|Q制;当，工0时，求解是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由.AB【解析】（1）设4（2）及2，%），线段”的中点用坐标为区,加），联立得厂 S1 一2：0,消去丁可得: I y = 2（x-l）,169%2-16x + 6 = 0,所以9%2-16x + 6 = 0,所以Xl+X2= 6XX2 = A，o2所以加二+，代入直线45方程，求得加二-X， 99因为。为“BS三条中垂线的交点，所以21 （ 8、有3/038 = -1,直线MQ方程为y+ g = ；x %- -9， I 9）、 ,O4 - 9Q以所2X
6、： 2寸+乂x2 -x令y = 0,q=字所以。% +x24,0 而 （1,0）,所以|。耳| = 1；（%+%），25由椭圆uj + y2=i可得右焦点6（1,0）,故|。用=/29（2）设4（不必）,3（工2，%），中点M坐标为（均，%）.1 乂 X + 工2 = X/W ,12 y + %一 而，aboL, 又。为的外心，故MQ_LA氏wo&8=T，Xf ）,Xf ）,所以mq=2与”=也，直线MQ方程为一）3 =A| = 5（$一以 + 代=% I）? +1 -，= -2%| +2 =夜一击斗 | 43|=|4耳| +忸凰=20 - -：（%1+）， 12。耳ABV2,所以当，变化时,
7、。可AB为定畤2. （2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆C:x2= 1（ Z? 0）的离心率为也，上2顶点为。，斜率为2的直线/与椭圆。交于不同的两点A, 3,/为线段A5的中点，当点M的坐标为（2,1）时,直线/恰好经过。点.（1）求椭圆。的方程:当/不过点。时，若直线与直线/的斜率互为相反数，求Z的取值范围.【解析】（1）由题意知，离心率e =92,所以a = 6b = ，设人（5，,），3（工2，%），设人（5，,），3（工2，%），= = 2XF2%f + + 2 12 2 2-2 X Qx-。 r 0,化简得4/4F30,解得（2F3）（2/+1）。，公；,所以攵
8、 如或攵 -如.2223.已知椭圆上+ V=1.2过椭圆的左焦点尸引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程;求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程;求过点M且被M平分的弦所在直线的方程.12 2J【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为A（不y）、3（9,%）， 设P(x,y),当=9时，P(T0).x；+2y；=2,x； + 2yl = 2,丫2当 X W 9 时，一 + 2 = 1 = %2 + 2y2 = 2 ,两式相减得&+%)&-%)+2(%+%)(乂一%)=0,即 1 + 2 +)?，=0(*), 3 X2)X X2)因为汽=%=等,+2x, y+%=2y,所以，代入上式并化简得Y
9、+x + 2y2=（）,显然P（-l,0）满足方程.所以点P的轨迹方程为f+x + 2y2=0 （在椭圆内部分）.（2）设Q（x,y）,在（1）中式子1 + 24+，!，=0里,（尤1+九2）（一九2）将k = 2, %+%=2x, X + %=2y代入上式并化简得点。的轨迹方程为x + 4y =。（在椭圆内部分）.所以，点。的轨迹方程x + 4y = 0 （在椭圆内部分）.在中式子小.黑祟篇=里，将二三=%, %+%=1, x + %=l代入上式可求得左= % 所以直线方程为2x + 4y_3 = 0.4.已知椭圆C：+方=1 （a 6 0）过点L，直线/： y =与椭圆C交于A, B两点，
10、且线段的中点为M,。为坐标原点，直线OM的斜率为-05 求椭圆。的标准方程;（2）当根=1时，椭圆C上是否存在P,。两点，使得P ,。关于直线/对称，若存在，求出P, Q的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）设 g,y）,8程），则M即自m=2 = 一；.Xj +x222222因为A, B在椭圆C上，所以与+与=1,3+与=1， a ha h两式相减得两式相减得a2 * 4h2_n nn 1 (X+%)(X-%)一 0S即/ (一排一2)，又= = ，所以*肛即心川又因为椭圆C过点1,又因为椭圆C过点1,13,所以/ += 解得。2 =4, b?=2.两式相减得（十%）（/一乂）+（%
11、+ ）（%-%）=0, 42即中+（/：）（ 一）肛所似山=山，即2%. 42（%3-工4）42联立卜=2%解得*=：,即N（-为=/+1为=一1又因为上攵+上北1，即点N在椭圆。外，这与N是弦尸。的中点矛盾， 42所以椭圆。上不存在点P, Q两点，使得P,。关于直线/对称.5.（2022届广东省清远市高三上学期期末）设抛物线。：产=2%（0）的焦点为准线为/,过焦点尸且斜率为1的直线与抛物线。交于A乃两点，若的中点到准线I的距离为4.（1）求抛物线。的方程；设P为I上任意一点，过点尸作。的切线，切点为Q,试判断F是否在以尸。为直径的圆上.【解析】设Mwji（孙）,则% =2p%，所以才一 =
12、 2p（x9）,整理得中二表=3= 1, X X2 M + %所以X +必=2p.因为直线A3的方程为丁 = %-,所以 +z = y + % +。= 3.因为A3的中点到准线/的距离为4,所以 + f = 2p = 4,得 =2,故抛物线C的方程为y2=4x.设尸（-1）,可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线尸。的方程为x = 2（y）-1,联立方程组=二得丁_4祖+ 4制+ 4 = 0,I（1 ）由 = 16m2 -16（/nZ +1） = 0,得 = ，即 P -1,机 ，mm J所以方程 y? -4my + 4mt + 4 = y2 - 4my + 4m2 =。的根为 y = 2m,
13、所以 = 7篦2,即。（根2,2根）.因为FP= -2,加一,),=(病1,2/句,所以用.前=_2(*-1)( 1、+ 2m mI m)二,2 v25 + * = 1(60)的左、右焦点分别2 v25 + * = 1(60)的左、右焦点分别所以a_LA2,即尸在以尸。为直径的圆上.6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C:(4 3、为耳(-1,0),6(1,0),过点”的直线4交椭圆C于A,3两点,当直线4的斜率为1时，点是线段A3的中V )点.求椭圆。的标准方程;如图，若过点歹2的直线4交椭圆。于E,G两点，且4 七求四边形EG的面积的最大直【解析】 设A4, *
14、), B(x2 , % ).由题意可得b2x +q2)； -a2b2 =0, h2xla2yl -a2h2 =0.1. y% =/ 百+马=_4 即 4b之-x2 a2 y+% a2 33a2. b2 3一7 a- 4* cr b2 = 1, cr = 4, = 3,椭圆C的标准方程为+ i = 1.43根据对称性知ab=egab/eg. 四边形ABEG是平行四边形，又S四边形.EG = 2s转.问题可转化为求S网的最大值.22设直线4的方程为，代入=,得(3加之 +4)y2 -6m,-9 = 0.6m3m2 +4，另% 二93m2 +4S&F2AB =；2Y-必| =h+%)2-4% =-9
15、12V14-/7?23m2 + 43/7t2 + 4令11 + m2 = %,则，21,且z?=一 一 1,12/12力一口.记/（）=夕+!（摩1）,易知 如）在以位）上单调递增. tc 1212 。 Saf?ab= rZ = 3.3r + -4，四边形ABEG的面积的最大值是6.7 .如图,是过抛物线y2=2px（p0）焦点尸的弦是的中点/是抛物线的准线,MNJL/,N为垂足，点（2）求493的面积（。为坐标系原点）.【解析】 点阳-2,-3）在准线/上,所以准线/方程为： = 2则f=2,解得夕=4,所以抛物线的方程为：V=8x；（2）设4（不,）,3（生%），由A3在抛物线/ =8x,
16、所以所以鼠:，则 SC）,乂MN，/,所以点M纵坐标为-3,M是45的中点，所以y +% =Y,所以Y（X%） = 8（为一 %），即 =-1，又知焦点/坐标为（2,0）,则直线的方程为：4x + 3y-8 = 0,联立抛物线的方程y2=8x,得V+6y-16 = 0,解得y = 2或y = -8,所以忖-%|T。，所以 Lob = Sjof +=1X -%| = 10.在平面直角坐标系xOy中,设点厂（1,0）,直线/： x = -1,点P在直线/上移动,R是线段尸产与 了 轴的交点, RQFPPQl.（1）求动点Q的轨迹E的方程；过点尸作两条互相垂直的曲线E的弦AN、CD,设A3、。的中点
17、分别为M、N.求直线MN过定点。的 坐标.【解析】依题意，点P在直线/： X = -1上移动，令直线/交X轴于点K,而点尸（1,0）,又R是线段与y轴的当点P与点K不重合时,OR/，而。为 相中点，则点R是线段”的中点，因则HQ是线段EP的垂直平分线,|。尸|=|。|,又也取于点P,即|PQ|是点。到直线/的距离，当点P与点K重合时，点R与点O重合，也满足上述结论，于是有点Q到点F的距离等于点。到直线/的距离，则动点Q的轨迹E是以F为焦点，/为准线的抛物线，其方 程为：y2 =4x, 所以动点Q的轨迹E的方程为V=4x.显然直线AB与直线CD的斜率都存在，且不为0,设直线AB的方程为y = x
18、-1） w 0,令 A（%a，%）I（与，%），（双，%），%（夙，）,ifr两式相减得：（力+为）（力%）=4（4-,则力+%=3即加=jV；= 4xkk222代入方程尸小-1）,解得双 =1+1,即点”的坐标为（广+ 1十）， kkk而CDJ_4B,直线CO方程为y = -：（x-l）,同理可得：N的坐标为（2/+1, 2外，K2当” + 1 = 2r+1,即后=1时,直线脑v： x = 3,当且人01时，直线MN的斜率为右汽二上二丁、，方程为）+ 2攵= =T（x-2攵21）,整理得 XM -xN -kX-k1y（：-攵）=欠-3, k因此,VZsRMwO,直线 MN： y（， Q =
19、x 3 过点（3,0）, k所以直线MN恒过定点。（3,0）.8 .中心在原点的双曲线E焦点在工轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题:该曲线经过点A（2,3）； 该曲线的渐近线与圆Y8x+;/+4 = （）相切；3点P在该双曲线上,6、鸟为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为e时,恰好尸耳，。6.求双曲线的标准方程； 过定点Q（1,1）能否作直线/，使/与此双曲线相交于01、。2两点，且。是弦QC的中点？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.【解析】22设双曲线E的标准方程为十方=1(6Z /? 0).选：由题意可知,双曲线的两个焦点分别为4（-2,0）、6（2,
20、0）, 由双曲线的定义可得2q = M用-|A/= 平予-3 =2,则 =1,故武正=7 = 6,2所以,双曲线E的标准方程为/一二=1. 3选：圆8x+V+4 = 0的标准方程为（无一汇十 产二口,圆心为（4,0）,半径为2VL4b双曲线E的渐近线方程为丁 = 2%,由题意可得I ，2=26,解得2 = 6,a J1 +V 3yP b = 6a，因为 = a2 +、2 = 2 = 2，则。=1， =百,因此,双曲线E的标准方程为/ 亡=1. 3选：由勾股定理可得|P周2+俨图2=4/=16 =归用归心+2。闻归段=4/ + 2归用.归身,所以，阀|疗闾=2卜2一片)=2,则5附=明归周=。2
21、=；4b0)的焦距为472，短轴长为2,直线I过点P(-2,l)且与椭圆。交于A、B两点.(1)求椭圆。的方程;若直线I的斜率为1,求弦AB的长;(3)若过点Q(1,J)的直线4与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦EG的中点，求直线4的方程. 乙【解析】 依题意椭圆C的半焦距 = 20,而人=1,则储=b2 +/ =9,所以椭圆。的方程为：: + 丁=1.(2)设4不必)项%2，%),fy = x + 3依题意，直线/的方程为：丁二工+3,由J；2+9y2=9消去)并整理得：5x2+27x + 36 = 0,解得%=一,%二3,因此,|A8|=1=逑，35所以弦A3的长是次.5工双曲线。的标准方程
22、为/一匕=1.2假设以定点为中点的弦存在，设以定点1，1）为中点的弦的端点坐标为4%,，）,8（积%）（工产为）, 可得%+%=2,凹+必=2.2x；二 l由A,3在双曲线上,可得：1 2-9两式相减可得以定点尸（LD为中点的弦所在的直线斜率为:则以定点尸（1，1）为中点的弦所在的直线方程为y-l = 2（x-l）.即为y = 2x-1,代入双曲线的方程可得2d 4尤+ 3 = 0,由 = (4斤4x2x3 = 80,所以不存在这样的直线/.（二）求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类，一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦 的中点轨迹方程.22【例3】（20
23、23届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆。：左匕0）经过点P（0）,且离心率为立 2求椭圆C的标准方程;求|二。|的最求|二。|的最设过点jo,的直线/与椭圆。交于A, 3两点，设坐标原点为。，线段A3的中点为大值.【解析】（1） .椭圆。:摄+2=1（。人0）经过点尸（0/），其离心率为日2故椭圆。的方程为：（2）当直线/斜率不存在时，M与0重合，不合题意,显然，点。（1,；）在椭圆。内，设EG，为”）,因E、G在椭圆。上,了2 + 9 丫2 = 9I C 2 C，两式相减得：*4）。3+“4）+ 9（%-乂）（% + 4）=， 其+9； =912y_ = (x-l),BJ4x +
24、 18y-13 = 0, 2912y_ = (x-l),BJ4x + 18y-13 = 0, 29而Q是弦EG的中点，即退+九4 = 2且% + % = 1，则有2（九3 -/）+ 9（% - %）=。,于是得直线4的斜率为三& = -奈直线4的方程:3*4所以直线4的方程是4x + 18y 13 = 0.2211 .在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C二十与 a b=1 （泌0）的离心率为为椭圆的一条弦，直线产区3（*0）经过弦A5的中点M,与椭圆C交于P,Q两点,设直线AB的斜率为人,点P的坐标为（1,-）（1）求椭圆。的方程;（2）求证：为定值.【解析】（1）由题意知19/ +五一c _
25、 1a2a2 =h2 +c2,a = 2,解得b二6,c = l,22故椭圆C的方程为二十二=1.439722（2）证明：设加（工,%）,4（不,）1（,%）,由于45为椭圆。上的点,所以互+互=1,三+ & = 1, 4343两式相减得=_ （X +%）（）一乃）所叱合。熟才若 又=&,工03故平二-；,为定直12.已知双曲线C： 2f V=2与点p（i,2）.（1）是否存在过点P的弦45,使得A6的中点为P；（2）如果线段A5的垂直平分线与双曲线交于C、。两点，证明：A、B、C、。四点共圆.2【解析】（1）双曲线的标准方程为炉一匕=1,.。2=1方=2.设存在过点P的弦AB，使得AB的中点
26、为P,22设 4(4乂)，8仇，)，玉2- = 1，-今=1两式相减得一适$ = y,B|J L2 =与得：k2 = 2,，k = 1.%)-x2 Xj +x2 a1 a-存在这样的弦.这时直线/的方程为y =、+i.(2)设co直线方程为x+y+m = o,则点P(1,2)在直线c。上.则相=-3,直线。的方程为x+y-3 = 0,22设CG3M的中点为。(%)芯吟=吟=1两式相减得 & = (，则T & = 2厕% = -2x0% a /又因为Q(X。,%)在直线co上有/ + %-3 = 0,解得。(3,6),x - y +1 = 0/ 、 z 、2fy2=2 廨得 A（T）1（3,4）
27、，为+/二-6忍/ 二-11x 4- y 3 = 02/-/=2,整理得，则则 18| = Jl + 公民一=4a/10由距离公式得|。4| =|。即=|QC| =|QD| = 2而所以A、B、。、。四点共圆.13.李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点处，尸/B|0), a b由椭圆的定义知2=8,故a2=16.:在中,尸/月| = 2C,假设|WB|=x,|MF2|=y (x,y0),又*/ /XF/MF2的面积为4cm2,x+y = 8 c，故 4c2=/+y2= （x+y） 2 - 2x, = 48, 孙=8/.c2= 2,h2=a2 - c2=4,，椭圆的标准方程为反
28、+ q = L16 4（2）设 A（X7,J7）,B（X2J2）,;弦AB的中点为N （2,1）,/. Xj+X2 = 4J/+J2 = 2 且.X1X2.又 A,8均在椭圆上，X： +4y； =16* +4y； =16X： +4y； =16* +4y； =16，得 x； =-4（4一）,即（为 + ）,（由 一/）二 -4（% + %）（X 一 ）.（%工2）= _2（弘一%）. X#X2, kab必一为故直线AB的方程为：x+2y-4=0.联立冗+2y-4=0*+4216 = 0，整理得x2 - 4x=0.得 x/ = 0/2=4, /M （0,2） ,B （4,0）, Saos =5x2
29、x4 = 4.：./OAB的面积为4cm2.14.若抛物线C :y2 = x上存在不同的两点关于直线/: y =皿工3）对称,求实数m的取值范围.【解析】当加=0时，显然满足.当根W0时，设抛物线。上关于直线/:y = s（x 3）对称的两点分别为P（X1,y）、（%22），且？2的中点为则短二%,（1）%?二,（2） 一得:.送工金又攵PQ1二，二 y0mm 2:中点 M（毛，）在直线I: y = m（x-3）上，.二 y0 = m（x0 一3）,于是 =.中点在抛物线V = %区域内（、5y（）2 %,即 一,解得 m Vw. 2 J 2综上可知，所求实数”的取值范围是卜河,河）.当直线/
30、斜率存在时，设5（%2，2），3则有%=一,%=七呈，直线/的斜率为2l二& 二 匕, %一马 不X2丫2A , 3两点在椭圆上，有，+短=1,三_ + %2=1， 44两式相减，中二一（心加，即木言3得工=.=，化简得年=-4姬-葭,4yo /。| 二 J /2 + %2 = -3 y 02 一 昔 % = +|，.当 =一 时，M。!的最大值为竿例4直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题，是解析几何重要内容之一，也是高考的一个热点问题.引理：设A（xj）、3（,力）是二次曲线。：小2 +协2 +。工+分+尸=。上两点，尸（瓦，）是弦43的中点, 且弦A8的斜率存在,则 Ar； + By； +
31、Cx + Dy + F = 0 （1）Ax； + By； + Cx2 + Dy2 + F = 0 （2）由（1） - （2）得人（与一%）（玉 +%2）+ B（X -%）（X +先）+。（为 一%2）+。（% 一%）=。，._ 芯 +%2_ y + % Ao 2 一，儿2 ，+=2%0,凹+%=2%，2代（玉一七） + 23%（y %） + C（X 工2）+。（, 一%）=。，A（2Ax0 4-C）（Xj -x2） = -（2By0 + D）（j1 -y2）,，直线AB的斜率五=二口 （28 + QwO，t。工2）.X -x228% +。二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等.请根据上述求
32、直线斜率的方法（用其他方法也可）作答下题： 已知椭圆, + y2 =1.（1 1、（1）求过点p且被P点平分的弦所在直线的方程；（2）过点4（2,1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.2【解析】（1）设A&J）、3（/2）是椭圆+ 9 =1上两点，尸由，%）是弦A5的中点,fx2十+W=1则 2，两式相减得：lt02 =1（与一9）（玉 +W）+2（y -%）（ +%）=。， 1 = % + / 1 J + % 2 26- 2.%+工2 =1,%+为=1 *e大一9 +2（X -）=。，直线A3的斜率直线 A8 的方,程为 y ； = ：（x ；）,即 2x + 4y 3 = 0. 乙
33、乙乙（1 1、因为尸在椭圆内部,成立.（2）由题意知：割线的斜率存在，设A（xqJ、3伍,%）是椭圆+ 丁=1上两点,py）是弦人5的中点, 乙fx2A.9 A才+ X T则 2，两式相减得：十+% =1（% - %）（X +w）+2（y -%）（y +%）=。，了_-+v_2lA 22+%2=2x,y+%=2yJ 2x(毛一9) + 4y(y -%) = 0,直线口的斜率L=X = -京I又左ABy-ix 2所以y- _ xx-22y2-2x-2y = 0-y/2xj2x2）= o、53，解得鼬v=21二匹=-g,即直线MN的斜率为g ；%一 55（2）显然直线NB的斜率不为0,设直线NB：
34、 x = zy 2,N（0%），*%，”），x = my-2联立+ 2_ ，消去x整理得（疗+5）9一4少一1 = 0,显然八=20（+1）0, 、二十 =/ m1I故 为 +），4 =9 73 , 4 = -27，故PMN 的面积 尸的=2540取=2彳|0耳卜|% -Hi +3+32最大值为石.，当且仅当，=2,即加=V3时等号成立，故尸MN面积的/2（ g【例6】已知椭圆一 +匕=1上不同的三点4,-,。（，）与焦点/（4。）的距离成等差数25 9I 5 y列.（1）求证：石+=8； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线3T的斜率h 【解析】（1）证略.（2）解.%+%
35、=8,，设线段AC的中点为22又4。在椭圆上，工+里=1, （1）25922% -x225Y % = 9(% +)=_9_ _8_ = 36%925(%+%)25 2%25%直线的斜率左8 = 篝,.直线。7的方程为y % =鬻（1一4）.6464 A令）=0,得 x =即 T ,02525 ）（四）点差法在轴对称中的应用|-0.直线BT的斜率k =-4.竺425在椭圆C：【例7】（2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测）已知。为坐标原点，点22上，直线/：产工+根与。交于A, B两点,且线段A3的中点为直线0 M的斜率为1 .求C的方程； 若加=1,试问。上是否存在尸，。两点关于/对
36、称，若存在，求出尸，。的坐标，若不存在，请说明理由.X + %【解析】(1)设A(4x),以有%)，则用(受产,心=2LL& = L%om=V- = W1 = -； 7122 J 西一工2 +& X + 22-&不乂）,8（孙为）在椭圆上，则J 229+”二1/ I,22222212两式相减得现一户+，乂一 =0,整理得）1一）2 -2lAx2lZA = _f aZrX -x2 玉+工2 西一工2 a丁 OM =-4，即一 =一，贝 1/=2/72a 2 cr又，点卜叱在椭圆C，+卷=1上，则卜奈=联立解得6=4/2 =2.椭圆C的方程为工+上=1 42(2)不存在，理由如下：假定存在尸，。两
37、点关于/： y=x+l对称，设直线PQ与直线/的交点为M则N为线段PQ的中点，连接ON . PQLI,则（w.pq=T,即 pq=T由(1)可得kNkpQ=-；,则心v二1，即直线ON:y = Jx/x=-2y二 -11y= x联立方程,2 ,解得 y=x+lG|J N（-2,-1）,则N(2,1)在椭圆C外假定不成立，不存在P,。两点关于/对称【例8】已知椭圆C:J + 2 = l(ab0)过点卜半,直线/：【例8】已知椭圆C:J + 2 = l(ab0)过点卜半,直线/：y =叶根与椭圆。交于A 8两点，且线段A3的中点为。为坐标原点，直线的斜率为-5求椭圆。的标准方程;若椭圆。上存在p,
38、 Q两点，使得P, Q关于直线/对称，求实数加的范围.【解析】(1)设3(%,%),则M西+x2西+x22,因为A, 8在椭圆C上，所以鸟+ 4 = 1,y+ = 1, a h a-lr两式相减得色士利=!+4a=0,即冲R=。, a1b-cr+工2）（玉 一马）又怎8=二句,所以一看=即=2人又因为椭圆。过点又因为椭圆。过点13所以7+市=1,解得/=4万=2,22所以椭圆C的标准方程为匕+乙 42（2）设2（工,），。（王，%），。的中点为N（x（），%），所以M+Z =2工0，% + ” =2%，因为P,。关于直线/对称，所以心q=T且点N在直线/上，即为=尤。+2.2222又因为P,。
39、在椭圆C上，所以互+ & = 1,& +丛=1.4242两式相减得(+/)(%4)+ (% + ”)(%-%) = 0 .42即当小49产。，所以平二里联立Xq= 2% ,解得% = -2,即n（2%.1%=%+根%=一根又因为点N在椭圆。内，所以上网匚+攵竺匚1,所以如根逅 4233所以实数加的范围为-如加逅. 33（五）利用点差法可推导的结论22在椭圆点+京=1（。”0）中,若直线/与该椭圆交于点A8,点P（x,y）为弦AB中点,0为坐标原点，则38e/，=4,对于双曲线、抛物线也有类似结论，求自行总结. a【证明】设矶，%）且为工工2,则1+er则1+er=i,（1）22%工为-T Tc
40、r b=1, (2)y %b2(x+x2)y一% = (为+工2).6,-2 / 9 * KAB% 一%+y2)Lk = y+)2 .卜A/QP, ZVX. + x914Lk = y+)2 .卜A/QP, ZVX. + x914b2 1b2八=-屋(定值)22例9 (2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：T一七=1(人 cT b“b为正常数)的右顶点为A,直线/与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点也为PQ的中点. 设直线PQ与直线OM的斜率分别为防、上，求krk2的值；若翳=；,试探究直线/是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由.【解析】设 P(x/,y/),Q(X2,y2)(xo,yo),因为P、Q在双曲线上,所以M 1=1,父一与=1, a b- a- b两式作差得 a_(X+%)?%)=o, ab,2/(5 一)=2%(y%)即 kr