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1、11.圆锥曲线中的探究性问题一.探求点22【例1】（2019年新课标H）已知,匕是椭圆。：二十与=1（4/70）的两个焦点，为。上一点，0 a b为坐标原点.（1）若VP。8为等边三角形，求。的离心率；（2）如果存在点R使得P片JL尸瑞，且片2鸟的面积等于16,求b的值和a的取值范围.22【例2】（2022年高三数学新高考测评卷）已知双曲线C:-5 = 1（0/0）的右焦点为E（2,0）,点b到。的渐近线的距离为1.（1）求。的方程.3（2）若直线4与。的右支相切，切点为R 4与直线4：元=不交于点。，问x轴上是否存在定点必使 得若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.2【例3】（2015年
2、新课标I ）在直角坐标系阳？中，曲线C： y二与直线=+。,（。0）交与M,N两点，（1）当公0时，分别求。在点和N处的切线方程；（2） y轴上是否存在点R使得当女变动时，总有N04沪N0/W?说明理由.二.探求直线22【例4】（江西省赣州市2022届高三上学期期末）已知点是椭圆G点+奈=1（/70）上一点，F、, F2 分别为椭圆。的上、下焦点，|耳闻=4,当/耳Mg =90。，知8的面积为5.（1）求椭圆。的方程：（2）设过点尸?的直线/和椭圆。交于两点4 B,是否存在直线/,使得。48与AOB耳（。是坐标原点）的面积比值为5： 7.若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.【演练提高
3、】221.（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末）已知椭圆C:=+ 1r =的左、右端点分别为a，A,其离心率为逅，过c的右焦点的直线/与。交于异于4，4的P,。两点，当直线/的斜率 3不存在时，|PQ| =侦.（1）求。的方程.（2）若直线AP与4。交于点S,试问点S是否在一条定直线上？若是，求出此定直线方程；若不是,请说明理由.(a2.（天津市西青区杨柳青第一中学2021-2022学年高三上学期第二次阶段检测）已知椭圆C： 60）上的点到它两个焦点的距离之和为4,以椭圆。的短轴为直径的圆。经过两个焦点，点4 8分别是椭圆。的左、右顶点.（1）求圆。和椭圆。的方程；（2）设R。
4、分别是椭圆。和圆。上的动点（R。位于y轴两侧），且直线园与x轴平行，直线4R 以分别与P轴交于点弘N,试判断QM与QV所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是, 请说明理由.3.（江苏省泰州中学2021-2022学年高三上学期12月月考）在平面直角坐标系xOy中，。是坐标原点，P是直线X=4上的动点，过，作两条相异直线4和，2,其中4与抛物线。：V=8x交于48两点，,2与。交于欣N点、,记4、4和直线冰的斜率分别为占、及和23.（1）当一在X轴上,且/为期中点时,求Iki；117（2）当4为物的中位线时，请问是否存在常数凡使得厂+厂= %?若存在，求出的值；若& &不存在，请说明
5、理由.4.（安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测）已知椭圆C:三十丁 = 1（。1）的左右焦点分别是片，尸2,右顶点和上顶点分别为A, B,的面积为:-夜.（1）求椭圆C的标准方程； （2）以此椭圆的上顶点3为直角顶点作椭圆的内接等腰直角3MN,这样的直角三角形是否存在?若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.5.（江西省宜春市2022届高三上学期期末质量检测）已知椭圆C：=1（。0）的离心率为;，且过点（61）,与，鸟分别为椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆。的方程;(2)过”的直线交椭圆。于4夕两点，。为坐标原点，以。，4 6三点为顶点作平行四边形以出, 是否存
6、在直线力，使得点在椭圆。上？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.6.(山西省临汾市2022届高三高考考前适应性训练)如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球。2, 使得它们分别与圆锥的侧面和平面。相切，两个球分别与平面相切于点耳，入，丹德林(GDandelbn) 利用这个模型证明了平面x与圆锥侧面的交线为椭圆，A，尸2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 为加心双球.若平面。截圆锥得的是焦点在x轴上,且离心率为;的椭圆，圆锥的顶点【/到椭圆顶点A的 距离为盛，圆锥的母线丫4与椭圆的长轴A4垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为30。.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点。的坐标为(1,0),过右焦
7、点6的直线与椭圆交于4夕两点，直线力与直线/： X = 4交 于点反 试问直线必是否垂直于直线/?若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.7.(广东省六校2022届高三上学期第三次联考)在平面直角坐标系X。中，已知圆A： (x + 21 + y2=8,3(2,0),动圆P经过点3且与圆A相外切，记动圆的圆点P的轨迹为(1)求C的方程；(2)试问，在x轴上是否存在点“，使得过点M的动直线/交。于E,尸两点时，恒有/E4 = NE4M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.8.(上海市松江区2022届高三一模)22万已知双曲线:二-3=1(。 040)的焦距为26,渐近线方程为y = x.
8、 a b2(1)求双曲线的方程；(2)若对任意的相直线 = +机与双曲线总有公共点，求实数攵的取值范围；(3)若过点(1,0)的直线/与双曲线交于、N两点，问在X轴上是否存在定点P,使得丽.而为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.9.（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考）已知抛物线G /=20y （00）的焦点为凡P为。上的动点，。为，在动直线（方0）上的投影.当少为等边三角形时，其面积为（1）求。的方程；22（2）设。为原点，过点P的直线/与。相切，且与椭圆 +乙=1交于4 8两点，直线OQ与线段42仍交于点试问：是否存在3使得Q%和&,监面积相等恒
9、成立？若存在，求方的值；若不存在，请 说明理由.10 .（黑龙江省2021-2022学年高三下学期校际联合考试1）圆石 + / = l（abO）的离心率为日， 且过点1，弓）,点A3分别为椭圆石的左顶点和右顶点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在定点M&0）（-。，。），对任意过点A7的直线。（C。在椭圆。上且异于A3两点），都有。=32ac.若存在，则求出/的值；若不存在，请说明理由.11 .（安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月第二次联考）已知点4 3是抛物线/二2（夕为常数且p0）上不同于坐标原点。的两个点，且砺.砺=0.（1）求证：直线4?过定点； （2）过点45分别作抛
10、物线的切线，两切线相交于点机 记。物、以反监的面积分别为S、22二 + 与=1 (abQ) a2 b222二 + 与=1 (abQ) a2 b2乐S3；是否存在定值4使得G/ISS3?若存在，求出几值；若不存在，请说明理由.12 .（天津市滨海新区七所重点学校2022届高三下学期毕业班联考）已知椭圆C：的焦距为26,且经过点40,-1）,过点A的直线/与椭圆交于点心（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M为线段48的中点，。为原点，所在的直线与椭圆。交于P,。两点（点Q在x轴上方）, 问是否存在直线/使得AM2的面积是8WO面积的6倍？若存在，求直线/的方程，并求此时四边形 AP8Q的面积，若不存在，请说明理由.22.（四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期专家联测卷）已知椭圆。：二+ = = 1（。匕0）的 一个焦点为（逐,0）,离心率为好，点为圆M：f + V=13上任意一点，。为坐标原点.3（1）记线段。与椭圆。的交点为0,求|。|的取值范围；（2）设直线/经过点R且与椭圆。相切，与圆相交于另一点4点/关于原点的对称点为夕，试判断直线期与椭圆。的位置关系，并证明你的结论.