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1、专题10I维曲线大题解题模板一、判断直线与圆锥曲线的位置关系:1、寻找主直线:主直线有两个要求:所给的直线条件中:有必过点(或者求证是否有必过点),给斜率或倾斜角(或者与斜率、倾斜角有关的条 件);所给的直线与圆锥曲线有两个交点。2、从代数角度看,可通过将表示直线的方程,代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断,但要注意的是: 对于椭圆方程来讲,所得一元方程必是一元二次方程,而对双曲线方程来讲未必。22例如:将 y = Ax + m代入二 一 二 = 1(。,b 0)中整理得:(廿-a2k2)x2 -2a2hwc-a2b2 = 0 : ab当2 =时,该方程为一次方程,此时直线)=丘+机与双曲
2、线的渐近线平行;ah当k+-时,该方程为二次方程,这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 a3、从几何角度看,可分为三类:无大众点,仅有一个大众点及两个相异的大众点,具体如下:直线与圆锥曲线的相离关系,常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决; 直线与圆锥曲线仅有一个大众点,对于椭圆,表示直线与其相切;对于双曲线,表示与其相切或与双曲线的 渐近线平行,对于抛物线,表示直线与其相切或直线与其对称轴平行;直线与圆锥曲线有两个相异的大众点,表示直线与圆锥曲线相割,此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆 锥曲线的弦。二、掌握基本知识1、与一元二次方程a?+bx+c = o(QW
3、。)相关的知识(三个“二次”问题):判别式: = 4。;(2)韦达定理:若此方程有两个不同的根X、4,则为+=,Xj - =; aa求根公式:若此方程有两个不同的根耳、则、一而。22、与直线相关知识:(1)直线方程的五种形式:一般式:Ar+3y + C = ();点斜式:y-y()=k(x-x();斜截式:y =依十人或x = 2y + a ; 两点式: ; 截距式:+ = 1 o 乃一必 一的a b与直线相关的内容:倾斜角与斜率攵=tan a, aw 0,兀);点到直线的距离d=+“2 + -【解析】设抛物线的焦点为方(0上),则直线/: y = x + ,22Py x 90由, 2,得 x
4、 -2px-=0,; 2 += 2p,,y +% =3,X2 =2 pye* I MN |= y + % + P = 4p = 16 ,,p = 4 ,抛物线 C 的方程为 Y = 8y ;(2)设动圆圆心P(和 %),4再,0)、5(孙0),则4=8%,且圆 P:(九一.)2+(工一)2 =君+(%4)2,当天=0时,当厮。0时,:。+ 4)2 + 16 X 石 + 8xq + 32 X %; + 8x0 + 32da=1,dbDA_ 116.、门-1, /(), Xq +2 oy/ 2 ,令 y = 0,整理得:x2 -2x()x + x: -16 = 0,解得:xl =面 一4 ,巧=瓦
5、 + 4,I DAI l(xn-4)2+16|京-8321x + 4|大0十丫 /DB V 8V2+8丝的最小值为Ji1。 DB例4-3.已知椭圆。的两个焦点是(0,-6)和(0,7恰好是椭圆C的右顶点产。求椭圆c和抛物线E的标准方程;过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线4、求AG3的最小值。-8闻= V2-1,V V2-1 0),=1,2 = 4,抛物线E的标准方程为y2=4x;(2)设/的方程:y = Z(x I)/的方程 ) =,(X 1),k4(孙必)、B(xv %)、6(X3,%)、Hg, %),y = kx-Y)、, 一 、)4由,消去 y 得:42%2 _q42+4)x+42
6、=0,.X +尤2 =2 + r,X工2 =1,y = 4xk- 4,当加=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4 o夹角公式:tan a =| |。1 +(3)弦长公式:直线y =丘+ 上任意两点4不)4),3(%2,%),则:I A3 1= J(%1 -)2 + ()一%)2 = J1 + k2 I X - %2 1= J1 + 左2 , J(X + 工2)2 - 4$%2 = J + I % - % 两条直线外丁 =匕工+伪(倾斜角为。)和/2: y = &x +与(倾斜角为B)的位置关系:TF 4 JL 4 o h b = 一1 o I a - p |=; 6 /2。4 =&且伪。
7、2 o a = P ; 4与,2关于与兀(丁)轴平行或垂直的直线对称,则匕+%2=,。+。=兀。(5)中点坐标公式:已知A(xp必)、B(x2, y2)两点,M(x, y)是线段AB的中点,则有x=X +%23、圆锥曲线方程的形式:椭圆(焦点在x轴上):定义方程:J(x + c) + y2 + J(x c)? _|_ y2 = 2a ;标准方程:标准方程:22X VHy = l(6Z/70);CT b-一般方程:nx + ny = 1 (20, 0 艮根 w );参数方程:X = QCOS。7 .八(。为参数)。 y = 0sind(2)双曲线(焦点在X轴上):定义方程:I J(X + C)2
8、+y2 _J(%_0)2+y2 |=2;22标准方程:三一二=1(,0, b0);a h一般方程:mx抛物线方程的形式(焦点在x轴正半轴上):标准方程:y1 =2px(p 0);参数方程:二 2加为参数)。 y = 2pt4、圆锥曲线的重要性质:通径:椭圆工,双曲线且,抛物线2p;焦点三角形公式:尸在椭圆上时:8ss最大)=1 , |尸用|尸后1=2b21 + COS 0M1尸耳11尸石区 ,s=廿t3n 一,一片工丽,而工火2b2n尸在双曲线上时| P耳| PF) |=, S” =b2cot- o1 - cos 01 22三、直线与圆锥曲线解题模板1、没有寻找到主直线,就设交点坐标,通过运算
9、寻找等量关系,消元,最后获得结果。2、有主直线:(1)根据题意讨论直线倾角a是否可取,当a =二时设直线方程为 =%,当a w二时设直线方程为222y-yQ=k(x-x()或y =履+ / ;或直线倾角a是否可取0 ,当a = 0时设直线方程为y = %,当a = 0时设直 线方程为x-x。=机-%)或x =+ 其中加为斜率的导数;(2)联立直线与圆锥曲线的方程形成关于x或y的一元二次方程:pd +/+z =。或py1 +gy+z = 0,注意 验证A 0 ;,h(3)设而不求:设两交点坐标4(如)、B(x2, %),则玉+=一一、百,电=一; aa(4)根据题意进一步求解。模板一、圆锥曲线与
10、直线222_例1-1.椭圆G:二+产=1,椭圆g:二+匚=1(。人。)的一个焦点坐标为(后,0),斜率为1的直线/ 2- cT b与椭圆G相交于A、B两点,线段的中点H的坐标为(2,-1) o求椭圆G的方程;(2)设P为椭圆G上一点,点M、N在椭圆G OP = OM + 2ON,则直线与直线ON的斜率之积是 否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。审题路线图:通过。、b、c、e和必过点的相关关系及中点弦公式求出。、b、cf写出方程;寻找主 直线(没有)一设点利用等量关系消元求出定值。规范解答:22【解析】椭圆C,:二+工=1(。匕。)的一个焦点坐标为(后0),则。=有,即有=5, a
11、b2222设乃),则v +yv = 1, + 2 = 1,a b a b两式相减:724+)+(%-%)?+%)=0 a广.A = 2,2lA = t,则如 = =当=1 ,22%! x2 cr由解得, = 6则椭圆G的方程为小? = 1;(2)设P(如 y0),M(%3, %),N(%4, 乂),则,+2必=10,后+2=2,立+2犬=2,由而=苏+ 2苏可得:(%, %) = (&,0)+ 2(工4,为),1=为十 ”, 、% = % + 2%,x;+2y:=(与+2)2+2(%+2m)2 =君+4%4+4x:+2y;+8为为+84=(君 + 2y;) + 4(吃 + 2% 乂)+ 4(后
12、 + 24)=10 + 4(电 4 + 2% , 乂)= 1。, 13 . %4 + 2y3 , 丁4 = 0, % = 一彳,即 kM k。N = , %3 , %22直线OM与直线ON的斜率之积为定值,且定值为- 2构建答题模板:第一步:寻找主直线,没有主直线的情况下设点、找等量关系、消元。第二步:通过计算(主要的方法有消元法、点差法、换元法)解出定值。第三步:反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。例12 已知定点C(-1,0)及椭圆一+3/=5,过点C的动直线与椭圆相交于A、8两点。若线段中点的横坐标是-L求直线的方程; 2(2)在x轴上是否存在点使忘标为常数?若存在,求出点/的坐标;
13、若不存在,请说明理由。审题路线图:设直线的方程y = Z(x + l)f待定系数法求上一写出方程;设以存在即为(m,0) 一求MAMB .在为常数的条件下求2。规范解答:【解析】依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y = Z(x +1),将 y = k(x +1)代入 %2 +3/=5,消去 y 整理得(3尸 + 1)X2 + 6k2x + 3廿5 = 0,A = 36k4 - 4(3产 +1)(3妤 一 5) 0,6攵2设 Axv y)、B(xv %),则玉 + =-32 + 1,由线段,中点的横坐标是4,得8=-1r彳,解得:士(可取), ,直线的方程为x + gy + l=0或
14、x V5y + l = 0;(2)假设在x轴上存在点为常数。当直线A3与x轴不垂直时,由(1)知为+它二6k23k2-5MA , MB (x m)(%2 m)+ 凶 % =(X 一 机乂一机)+ 左2(为 +1)( +1)=*2 + 1)百 X2 + 也2 -根)(西 + )+ 22 + m2 , 将玉+与西尤2代入整理得:TT7 Wn (6加一1)上一一5 2MA MB =zF m3k2+1(2m-)(3Z:2+l)-2m-1(1/f3322 cl6m+ 14;+ m =m + 2m3廿+13 3(3/+1)* 7 , 4注意到是与攵无关的常数,从而有6机+ 14 =。,m=,此时一版43
15、= ?, 39当直线与x轴垂直时,此时点A、B的坐标分别为(-1,7* 4当相=时,也有M4MB = ,39综上,在x轴上存在定点M(-。),使MAMB为常数。构建答题模板:第一步:寻找主直线,根据模板进行解题。第二步:假设结论存在,以存在为条件,进行推理求解。第三步:明确规范表述结论。若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确;若推出矛盾,即否定假设。第四步:反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。如本题中第问容易忽略()这一隐含条件。第(2) 问容易忽略直线与x轴垂直的情况。模板二、弦长与三角形面积相关例21已知椭圆0: 5+=1(。”0)的离心率为手,且经过点(U。求椭圆。的方程。(2)过
16、点尸(0,2)的直线交椭圆C于A、3两点,求AAOB (0为原点)面积的最大值。审题路线图:设椭圆标准方程-根据。、b、c、e的关系列方程组解方程组写出方椭圆程;设直线点 斜式方程一代入椭圆的标准方程-根据根与系数关系求%+%2与一根据图象求出关于5乂。8的等式 并用|为I表示根据均值不等式求最值。规范解答:【解析】(1)由02=七贵=1得2 =正,aa 3 a 3+1 ,联立,解得-=1, a =百,椭圆C的方程是工+ 2 = 1 ;(2)由题意可知直线A3一定存在斜率,设其方程为y = a + 2 ,y = kx + 2联立,f 消去 y 得:(1+3/)%2+12依+ 9 = 0,+ y
17、 = 13则 A = 144Z:236(1 + 3左2)0,得上21,设4% Y)、b(xv %),12k1 + 3左 2 SaAOB H SOB SOA 1= 5 X 2x I X 1=1 X I, /2 /2 a /12k 23636(% 1)、几 7 2 1/ 八 .(%-)=(而+)-4寸(-77F=(i+3/)2 设/ 一),z 、236?则(玉-x2) =?+ 4产36,3639/ + y + 24 2J% X , +24 当且仅当以 =,即r = 士时等号成立,此时攵2 = 2 i,可取, t 33此时AOB面积取得最大值立。2构建答题模板:第一步:根据过定点和。、b. c. e
18、的关系求圆锥曲线方程。第二步:设直线方程并与曲线方程联立,根据根与系数关系求与万。第三步:根据图象分析所求图形的等量关系,并用均值不等式求最值。第四步:反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。如本题中第问如不知道焦点位置应设圆锥曲线的一般方程。第(2)问应用换元可是计算更加简便,但要注意新元的范围。练习2-1.已知椭圆二十二二I的一个焦点为尸(2,0),且离心率为国oCT b23(I)求椭圆方程。过点M(3,0)且斜率为攵的直线与椭圆交于两点,点A A关于1轴的对称点为C ,求AM3c面积的最大值。【解析】依题意有。= 2,e = = Y6,可得=6/2=2,故椭圆方程为三+二=1;a 362
19、(2)直线/的方程为y = Z(x 3),代入椭圆方程消去y得:(3k2 + l)x2-l+ 21k2-6 = 0设 A(X, M)、B(x2, 0y2),则“i + 尤2 =设 A(X, M)、B(x2, 0y2),则“i + 尤2 =18人227/2一63/ + ,为. 3攵2+1不妨设X1 CD=0nX尤2 + 凹. % =。;(2)ZABC = 9(f AB C = 0xi x2 + y1 y2=0;NABC为钝角nZA3C90 丽0 0西+乂% 。;(4)/ABC为锐角=ZABCv900M丽0 =为+凹为/70)的左右顶点分别为A、4,上下顶点分别为片、4,四 a b边形4片&%的面
20、积为4,周长为4正。直线/: 丁 =依+行与椭圆交于不同的两点P和。(1)求椭圆的方程;(2)若OP _L OQ ,求k的值。(3)若/POQ为锐角,求左的取值范围。【解析】四边形454层的面积为2皿=4,周长为4J +弟=475 ,又ab 0,解得。=2 ,b = 1,故椭圆的方程为一 + 丁 = 1 ;4(2)将y = kx + 4i,代入椭圆方程,整理得(1 + 4/谬+ 8che + 4 = 0,A = 128 4 2 16(4 左 2 +1) = 16(4 左 2-1)0,解得 k2设P(X, y)、Q(xv %),由方程,得玉+/2 =1“8折:,乂 y % =(依1 + V2)(
21、Ax2 + V2)=/毛. + 叵kQ、+ )+ 2 ,OP_L OQ = OP-OQ = 0 = X 9 + y % = 0,mi /11 24 式6 Ak即(1 + &2) + 7) + 2 =5=0,1 + 4 左 21 + 451 + 4 女 2解得左2 = 3,显然左2 _满足,故卜=土旦; 242*1 *6 4k2(3)由(2)知,/P。为锐角=80。0 = %9+弘%0,即r0,1 + 4k解得二_1%2%+凹%=。很容易得出计算分步目标: 直线和椭圆联立,根据韦达定理求玉和玉+的表达式;(2)计算A 。得到一个攵的范围;(3)百=0,通过y =+后的关系式求出M,为,计算女的值
22、,并验证。第四步:反思回顾,查看关键点,易错点及解题规范。22万练习3-1.已知椭圆C:二+匕=1(百)的离心率为匚。cr 32求椭圆C的方程;若直线/经过。的左焦点片且与。相交于3、。两点,以线段为直径的圆经过椭圆C的右焦点为,求 /的方程。万22【解析】由题意得力=6,=注,/=/+,,解得。=后,椭圆。方程为二十二二1;a 263(2)由题目可知I不是直线y = 0,且片(&0)、/s(V3,0),设直线/的方程为x =VL点B(卬y)、。(,),代入椭圆方程,整理得:(m2 + 2)y2 2y3my 3 = 0,.*. % + 为=/个,M % = ,加 + 2相” + 2由 %=纱一
23、有,2 =my2 得: +-_4产,% x? = ,m +2机 + 2:蔗 =y),9=(6, %),由题意知一追(石+)+ X % + 3 = 0,将代入上式并整理得而=7 ,:.因此,直线/的方程为x J7y + g = 0或x + J7y + 6 = 0。模板四、抛物线大题模板 例4-L在直角坐标系x0y中,直线/: y = f。0)交x轴于点/,交抛物线C : 丁 = 2px( p 0)于点P,点M关于点P的对称点为N。连。N并延长交C于。求助的值; OM除H以外,直线MH与C是否有其他大众点?说明理由。【解析】根据题意,设M(0,。,92当y = f代入抛物线方程丁 = 2Px中,解
24、得x = ,/.P(, /), 2P2P2N(L, %),,直线。N的方程为y = x,与抛物线联立P y = x y t得:y2 =2 pxy2= 2px y,解得 y = 2t ,x =工PP.口* 9 OH p OM二2;(2)直线的方程为:y = xt,即,2? 2tpP2/、x (y f)与抛物线联立P 得:y 48 + 4/ =0,解得y = % = 2,y2 =2 px、即直线与C只有“一个大众点。例4-2.已知抛物线C:=2知(0),过其焦点作斜率为1的直线/交。了加、N两点,且|MN|二16。(1)求抛物线C的方程;已知动圆尸的圆心在抛物线。上,且过定点。(0,4),若动圆尸与x轴交于A、B两点,且|。4|。回,求| D4 | 3 曰/士的取小值。DB