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1、知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1下列方程中，是一元二次方程是（）A2x+3y4Bx20Cx22x+10Dx+22下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A直角三角形B等腰三角形C平行四边形D菱形3下列由左到右变形，属于因式分解的是（）Ax+1x（1+）B（x+2）（x2）x24Cx2xx（x1）Dx22x+1x（x2）+14如图，在RtABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线若A25，则DCE的大小为（）A50B40C30D255能使分式的值为零的x的值是（）Ax1Bx1Cx
2、11，x21Dx10，x216若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A矩形B菱形C对角线互相垂直的四边形D对角线相等的四边形7不等式组的解集是（）A2x2Bx2Cx2D无解8如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，点E、点F分别在AD、BC上若四边形EBFD为菱形，则EF的长为（）A2B4C2D59在平面直角坐标系中，将函数y2x的图象向上平移m（m0）个单位长度，使其与直线yx+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（）A0m2B2m4Cm4Dm410如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（
3、）ABC5D二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11因式分解：x3y4xy3 12如图，已知正五边形ABCDE，连接BE，则CBE的大小为 13如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为 米14如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE1点P是AB边上的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90得到线段EQ若在正方形内还存在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为 三、解答题（共9小题，计58分解答应写出过程）15解方程：x246（x+2）1
4、6尺规作图：如图，已知ABC，在BC上求作一点D，使得ABD与ACD的面积比等于AB与AC的比（保留作图痕迹，不写作法）17先化简（），然后选一个你喜欢的x值代入求值18如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OB、OC上，OEOF求证：AEBF19已知关于x的一元二次方程x22mx+（m2+m）0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x24，求m的值20近期某地出现疫情某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与
5、用300元购买乙种物资的件数相同（1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？（2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共200件，为了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费已知甲种物资每件运费3元，乙种物资每件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？21如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ACAB，AOB60点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB3，求矩形AECF的面积22如图，直线l1：y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1关于坐标原点中心对称后得到直线
6、l2，l2与x轴交于点C，与y轴交于点D（1）求直线l2的表达式；（2）求证：四边形ABCD为菱形；（3）除菱形ABCD外，是否在直线l1上还存在点P，在直线l2上还存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P坐标，若不存在，说明理由23问题提出（1）如图，在RtABC中，BAC90，BC4若点M为BC的中点，则AM ；问题探究（2）如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，BD4，求AC的最大值；问题解决（3）如图，四边形ABCD是即将开发的休闲广场用地，要求这一块地必须临一条笔直的公路BC而建，同时考虑到后期的规划建设，还要求BAD60，ADC15
7、0，ABAD已知BC4km，那么这个四边形ABCD的对角线AC是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项是符合题意的）1下列方程中，是一元二次方程是（）A2x+3y4Bx20Cx22x+10Dx+2【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；C、含有不等号，不是一元二次方程；D、含有分
8、式，不是一元二次方程故选：B2下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A直角三角形B等腰三角形C平行四边形D菱形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形故此选项错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形故此选项正确故选：D3下列由左到右变形，属于因式分解的是（）Ax+1x（1+）B（x+2）（x2）x24Cx2xx（x1）Dx22x+1x（x2）+1【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可解：A、项多项式转化成几个
9、式子的积，存在分式，故本选项不合题意；B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意故选：C4如图，在RtABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线若A25，则DCE的大小为（）A50B40C30D25【分析】根据直角三角形的性质得到CDADAB，根据等腰三角形的性质得到DCAA25，由三角形外角的性质得到CDEA+DCA50，根据三角形的内角和即可得到结论解：在RtABC中，CD是斜边上的中线，CDADAB，DCAA25，CDEA+DCA50，CE是斜边上的高线
10、，CEAB，CED90，DCE905040，故选：B5能使分式的值为零的x的值是（）Ax1Bx1Cx11，x21Dx10，x21【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解：分式的值为零，解得，x的值是1，故选：A6若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A矩形B菱形C对角线互相垂直的四边形D对角线相等的四边形【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解解：已知：如右图，四边形EFGH是
11、矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EHFGBD，EFACHG；四边形EFGH是矩形，即EFFG，ACBD，故选：C7不等式组的解集是（）A2x2Bx2Cx2D无解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集解：解不等式3（x1）x7，得：x2，解不等式2x+23x，得：x2，则不等式组的解集为2x2，故选：A8如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，点E、点F分别在AD、BC上若
12、四边形EBFD为菱形，则EF的长为（）A2B4C2D5【分析】由矩形的性质可得A90，利用勾股定理计算BD的长，设BEx，根据勾股定理列方程可得x的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答解：连接BD，交EF于点O，四边形ABCD是矩形，A90，AB4，AD8，BD4，四边形EBFD为菱形，EFBD，BEDE，ODBD2，设BEx，则DEx，AE8x，在RtABE中，由勾股定理得：AB2+AE2BE2，42+（4x）2x2，解得：x5，DE5，RtEOD中，OE，四边形EBFD为菱形，EF2OE2故选：C9在平面直角坐标系中，将函数y2x的图象向上平移m（m0）个单位长度，使其与直线yx+4的交点位
13、于第二象限，则m的取值范围为（）A0m2B2m4Cm4Dm4【分析】将直线y2x的图象向上平移m个单位可得：y2x+m，求出直线y2x+m，与直线yx+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围解：将直线y2x的图象向上平移m个单位可得：y2x+m联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），交点在第二象限，解得：m4故选：D10如图，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）ABC5D【分析】连接AC交BD于O，过C作CPAB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，根据菱形的想知道的ACBD，BOBD4，根据勾股
14、定理得到AO3，求得AC6，根据菱形的面积公式即可得到结论解：连接AC交BD于O，过C作CPAB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，在菱形ABCD中，AB5，对角线BD8，ACBD，BOBD4，AO3，AC6，S菱形ABCDACBDABCP，CP，AQ+PQ的最小值为，故选：B二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11因式分解：x3y4xy3xy（x+2y）（x2y）【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解解：x3y4xy3，xy（x24y2），xy（x+2y）（x2y）故答案为：xy（x+2y）（x2y）12如图，已知正五边形ABCDE，连接
15、BE，则CBE的大小为72【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，即可求出ABE，进而求出CBE的度数解：五边形ABCDE是正五边形，EABABC，BABC，ABE36，CBEABCABE1083672，故答案为：7213如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为2米【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解解：设道路的宽为x米，由题意有（202x）（15x）208，解得x123（舍去），
16、x22答：道路的宽为2米故答案为：214如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在BC边上，且BE1点P是AB边上的动点，连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90得到线段EQ若在正方形内还存在一点M，则点M到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为2+3【分析】如图，过点Q作QKBC于K首先说明等Q的运动轨迹是直线l，将ADM绕点D顺时针旋转60得到NDP，连接AN，PN，PM，则ADN，DM都是等边三角形，推出MAPN，MDMP，推出MA+MQ+MDQM+MP+PN，过点N作NH直线l于H，根据垂线段最短可知，当N，P，M，Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小解：如图，过点Q作QKBC
17、于KBQKEPEQ90，PEB+QEK90，QEK+EQK90，PEBEQK，EPEQ，PBEEKQ（AAS），BEQK1，点Q在直线BC的上方到直线BC的距离为1的直线l上运动，将ADM绕点D顺时针旋转60得到NDP，连接AN，PN，PM，则ADN，DM都是等边三角形，MAPN，MDMP，MA+MQ+MDQM+MP+PN，过点N作NH直线l于H，根据垂线段最短可知，当N，P，M，Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小，最小值2+3，故答案为2+3三、解答题（共9小题，计58分解答应写出过程）15解方程：x246（x+2）【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得解：x246（x+2）整
18、理得x26x160，a1，b6，c16，3641（16）1000，x35，解得x12，x2816尺规作图：如图，已知ABC，在BC上求作一点D，使得ABD与ACD的面积比等于AB与AC的比（保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据ABD与ACD的面积比等于AB与AC的比可得，D到AB的距离等于D到AC的距离，即D在BAC的角平分线上解：如图所示：所以，D点为所求17先化简（），然后选一个你喜欢的x值代入求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得解：原式，x0且x1，取x2，则原式18如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在O
19、B、OC上，OEOF求证：AEBF【分析】根据正方形的性质得到OAOB，ACBD，证明AOEBOF，根据全等三角形的性质证明结论【解答】证明：四边形ABCD为正方形，OAOB，ACBD，在AOE和BOF中，AOEBOF（SAS）AEBF19已知关于x的一元二次方程x22mx+（m2+m）0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1x24，求m的值【分析】（1）根据判别式的意义得到4m24（m2+m）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x22m，x1x2m2+m，则2m+m2+m4，然后解关于m的方程，再利用m的范围确定m的值
20、解：（1）根据题意得4m24（m2+m）0，解得m0；（2）根据题意得x1+x22m，x1x2m2+m，x1+x2+x1x24，2m+m2+m4，整理得m2+3m40，解得m14，m21，m0，m的值为420近期某地出现疫情某爱心人士紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种医疗物资送往抗疫一线，已知每件甲种物资的价格比每件乙种物资的价格贵10元，用350元购买甲种物资的件数恰好与用300元购买乙种物资的件数相同（1）求甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元？（2）该爱心人士计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资共200件，为了尽快送到抗疫一线，需要承担一定的运费已知甲种物资每件运费3元，乙
21、种物资每件运费5元，那么他将如何购买才能使得运费最低？最低运费多少元？【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以计算出甲、乙两种物资每件的价格分别为多少元；（2）根据题意，可以得到运费与甲种物资件数的函数关系式，再根据计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资，可以得到甲种物资件数的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可到最低运费，从而可以解答本题解：（1）设乙种物资的价格是x元/件，则甲种物资的价格为（x+10）元/件，解得，x60，经检验，x60是原分式方程的解，故x+1070，答：甲、乙两种物资每件的价格分别为70元、60元；（2）设购买了x件甲种物资，则购买了（
22、200x）件乙种物资，运费为w元，w3x+5（200x）2x+1000，计划用不超过12500元的资金购买甲、乙两种医疗物资，70x+60（200x）12500，解得，x50，当x50时，w取得最小值，此时w900，200x150，答：当购买甲种物资50件，乙种物资150件时，才能使得运费最低，最低运费是900元21如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ACAB，AOB60点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB3，求矩形AECF的面积【分析】（1）由平行四边形的性质得出OAOC，OBOD，证出OEOF，得出四边形AE
23、CF是平行四边形，再证ACEF，即可得出结论；（2）证OAE是等边三角形，OFAOAF30ABO，则AEOA，AFAB3，求出AEOAAB，即可得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，点E、点F分别是OB、OD的中点，OEOB，OFOD，OEOF，四边形AECF是平行四边形，ACAB，AOB60，ABO30，OAOBOE，ACEF，四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OAOEOCOF，AOB60，ABO30，OAE是等边三角形，OFAOAF30ABO，AEOA，AFAB3，ACAB，OAB90，AEOAAB，矩形AECF的面积AFAE322如图，直线
24、l1：y2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1关于坐标原点中心对称后得到直线l2，l2与x轴交于点C，与y轴交于点D（1）求直线l2的表达式；（2）求证：四边形ABCD为菱形；（3）除菱形ABCD外，是否在直线l1上还存在点P，在直线l2上还存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出符合条件的所有点P坐标，若不存在，说明理由【分析】（1）求出点C、D的坐标分别为（2，0）、（0，4），即可求解；（2）由点A、B、C、D的坐标知，AB2BCCDDA，即可求解；（3）分BC为边、BC是对角线两种情况，分别求解即可解：（1）直线l1：y2x+4与x轴交于点A，与y
25、轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4），将直线l1关于坐标原点中心对称后得到直线l2，则点C、D的坐标分别为（2，0）、（0，4），设直线CD的表达式为：ykx+b，则，解得，故直线l2的表达式为：y2x4；（2）由点A、B、C、D的坐标知，AB2BCCDDA，故四边形ABCD为菱形；（3）设点P、Q的坐标分别为（m，2m+4）、（n，2n4）；而点B、C的坐标分别为（0，4）、（2，0），则BC220；当BC为边时，则点B向右平移2个单位得到点C，同样点P（Q）向右平移2个单位得到点Q（P），故m+2n且BPBC或m2n且BCBQ，当m+2n且m2+（2m+44）220，解
26、得：m2或2（舍去1），故点P（2，8）；当m2n且n2+（2n8）220，解得：m4或，故点P（4，12）或（，）；当BC是对角线时，0+2m+n且BPBQ，BPBQ，则m2+（2m+44）2n2+（2n8）2，联立并解得：m，故点P（，）；综上，点P的坐标为（4，12）或（，）或（，）23问题提出（1）如图，在RtABC中，BAC90，BC4若点M为BC的中点，则AM2；问题探究（2）如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，BD4，求AC的最大值；问题解决（3）如图，四边形ABCD是即将开发的休闲广场用地，要求这一块地必须临一条笔直的公路BC而建，同时考虑到后期的规划建设，还要求BAD
27、60，ADC150，ABAD已知BC4km，那么这个四边形ABCD的对角线AC是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；（2）取BD中点E，连接AE，CE，由直角三角形的性质可得AEBD2CE，由三角形的三边关系可得AE+ECAC，则当点E在AC上时，AC有最大值为AE+EC4；（3）取BD中点N，BC中点H，连接AN，NH，过点C作CFNH，交NH的延长线于F，可证ABD是等边三角形，可得ABDADB60，BDC90，由等边三角形的性质可得ANBD，BNDN，DAN30，由中位线定理可得NHCD，通过证明四边形DCFN是矩形，可得NFC
28、Db，DNCF，F90，由勾股定理可求解解：（1）BAC90，BC4点M为BC的中点，AMBC2，故答案为：2；（2）如图，取BD中点E，连接AE，CE，BADBCD90，BD4，点E啊BD中点，AEBD2，CEBD2，在AEC中，AE+ECAC，当点E在AC上时，AC有最大值为AE+EC4，AC的最大值为4；（3）如图，取BD中点N，BC中点H，连接AN，NH，过点C作CFNH，交NH的延长线于F，BAD60，ABAD，ABD是等边三角形，ABDADB60，BDCADCADB90，设BDa，CDb，BD2+CD2BC2，a2+b216，（ab）20，ab，ABD是等边三角形，点N是BD中点，ANBD，BNDN，DAN30，ANa，点N是BD中点，点H是BC中点，NHCD，BNHBDC90，ANB+BNH180，点A，点N，点H三点共线，CFNF，BDCDNF90，四边形DCFN是矩形，NFCDb，DNCF，F90，AC2AF2+CF2（b+a）2+（）2b2+a2+ab16+ab16+AC2的最大值16+8（2+2）2，AC的最大值为2+222 / 22