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1、离散型随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值课程标准理解离散型随机变量的数字特征.随机变量的均值 一般地，随机变量X的概率分布如表所示，XXX2 Xu概率 PlP2.Pn其中P之0/=l,2,.,”,pi+p2+.+p=l我们将pg+p2X2+.+p访称为随机变量X的 均值或数学期望，记为仇为或小.(2022.无锡高二检测)若离散型随机变量X的概率分布如表厕E(X)=()X012345尸11711196189618A. B.ic. D. 189209【解析】选D.由题意得E(X)=0xg+lx$2x5+3xg+4x%5x3=徂 y o io y o io v.某篮球运动员每次投篮未投中
2、的概率为().3,投中2分球的概率为().4,投中3分 球的概率为03则该运动员投篮一次得分的数学期望为()【解析】选 C.由已知得 E(X)=OxO.3+2xO.4+3xO.3= 1.7.3,若离散型随机变量X的分布列为X 01a a2P -22则X的数学期望E(X)=()【解析】选C.因为分布列中概率和为1,2所以衿=1,即 +小2=0,解得 =-2(舍去)或所以 (X)=0x|+lx|=|.4.同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语 的概率是04同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜不对得0分，则 这两个同学各猜1次彳导分之和X(单位:分)的数学
3、期望为08.某届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡 丹公园.若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园很U共有多少种 不同的分配方案？(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设X,y分别表示5名学生分配到王 城公园和牡丹公园的人数，记乒IX*求随机变量。的分布列和数学期望E(f).【解析】依题意知，甲、乙、丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有 22种,故共有2x22=8种不同的分配方案.设5名学生中恰有i名被分到王城公园的事件为= 0,1,2,345),。的所有 可能取值是1,3,5.-Clct1)=尸。221|=5253)=P(4C其匕
4、525 2s 16 PG = 5)=PQ4o 二仁二12525-16，+ A3)=P(A2)+P(A3)+ 44)=P(4i)+PQ44)+ &)=PQ4o)+PG45)则随机变量的分布列为J1355511 81616故随机变量4的数学期望E()=lx-3x+5x-=-.81616 8关闭Word文档返回原板块【解析】选A.依题意得，得分之和X的可能取值分别是0,1,2,且 P(X=0)=(l -0.4)( 1 -0.5)=0.3,P(X= l)=o.4x(l -0.5)+(l-0.4)x0.5=0.5,P(X=2)=0.4x0.5=0. 2,所以得分之和X的分布列为X oil 2P 0.3
5、0.5 0.2所以 E(X)=0x0.3+lx0.5+2x0.2=0.9.5.设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X必尸必+且X的数学期望E(X)=3, 则 a+b=O1A. B.OioC.- D.i 105【解析】选A.依题意可得X的概率分布为X 1234P a+b 2a+b 3a+b 4+b-b + 2a + b + 3a + b + 4a + b = 1,+ b) + 2(2a + b) + 3(3a + b) + 4(4a + b) = 3,解得卜=此故lb = 0,10.设 (X)=10,则 E(3X+5)=.【解析】E(3X+5)=3E(X)+5=3x 10+5=35
6、.答案：35.盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池.若无放回地每次取一节 电池检验,直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望.【解析】由题意,X可取的值为1,2,3JI!JP(X=1)W，P(X=2)W4W，55 4 102 11P(X=3)令 R 4.抽取次数X的分布列为31X123P331510ToE(X)= 1 x-+2x+3x= 1.5.一、选择题.若随机变量X的分布列为x -1 T o1则 E(X)=QA.OB.-l C.-i D.-i 62【解析】选 C.E(X)=(-1)x90x%1x；=J. 乙 b 3 b.(2022.南京高二检测)已知随机变量X的分布列如表
7、，设y=2X+l,则y的数学期望e(y)的值是()X -101【解析】选C.由题意，根据分布列的性质，可得;+2+4=1,解得Z oo所以随机变量X的期望为E(X)=-1 x$ox$ 1 xi=-i l o 3 b又由 y=2x+i,所以随机变量丫的期望为E(Y)=2E(X)+l=2x(-沙1苔.设0pi,随机变量X,y的分布列分别为当x的数学期望取得最大值时,y的数学期望为1627322【解析】选 D.因为 E(X)=p2+2(i_p)+3(p_p2)=_2p2+p+2=-2(p-? +?所以当 p=： 时,E(X)取得最大值.此时E(Y)=-2p3+p2+2=H.1 .某城市有甲、乙、丙3
8、个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 ().4,0.506,且此人是否游览哪个景点互不影响，设4表示客人离开该城市时游览 的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.则石等于()D.1【解析】选A.随机变量4的取值有1,3两种情况，勺3表示三个景点都游览了或都 没有游览所以 P=3)=0.4x0.5x0.6+0.6x0.5x0.4=0.24/(门)=1-0.24=0.76,所以随 机变量4的分布列为413P 0.76 0.24后=1x0.76+3x0.24=1.48.2 .甲、乙两台自动车床生产同种标准件忑表示甲车床生产1 000件产品中的次品 数月表示乙车床生产1 000件产品中的次品
9、数，经一段时间考察,占的分布列分别 是：0123P0.70.10.10.1/0123P0.50.30.20据此判定()A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定【解析】选A.=0x0.7+1 x0.1+2x0.14-3x0.1 =0.6,(z/)=0x0.5+1 x0.3+2x0.2+3x0=07 因为反)所以甲比乙质量好.3 .射手用手枪进行射击，击中目标就停止,否则继续射击.若某人射中目标的概率 是0.8,且枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是()C.1【解析】选D.记射击次数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3,P(X=l)=0.8,P(X=2)=0.2x0
10、.8=0.16,P(X=3)=0.2x0.2x0.8+0.2x0.2x0.2=0.04, 所以 E(X)= 1 x0.8+2x0.16+3x0.04= 1.24.4 .(多选题)下列说法不正确的是()A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化5 .随机变量的均值反映样本的平均水平C.若随机变量X的数学期望凤X)=2,则(2X)=4D.随机变量X的均值E(X)=1+X2+ -+Xn【解析】选ABD.A错误,随机变量的数学期望(X)是个常量，是随机变量X本身 固有的一个数字特征.B错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正 确，由均值的性质可知.D错误，因为E(X)Fp
11、i+X22+.+x加8.(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与 该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期 均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌甲乙首次出现故l2 Q2将频率视为概率，则()A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的 概率为gB.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X,则 E(Xi)=2.86(万元)C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E(X2)=2.99(万元)D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量
12、相当，由于资金限制，只能生产其中一种 品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车【解析】选BD.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=.V 7 50 10XiXi233950 10依题意得,X的分布列为25139 143E(X1)=I x-+2x-+3x-=2.86(75te)；X2的分布列为X2 1.8 2.9p 1 210 1019E(X2)=1.8x-+2.9x=2.79(7jte).因为石(XDE(X2),所以应生产甲品牌轿车.二、填空题9.已知某离散型随机变量c的数学期望E幺的分布列如表: O401231 1Pa-b36贝！J a=.解析】E=：
13、=0xa+1 x1+2x$3b=Z?=;, 6366又 P(勺0)+尸(勺 1 )+p(勺2)+P(勺3)= 11 =旧.3bbd答案卷1().节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量氢束)的统计(如表), 若进这种鲜花500束在今年节日期间销售厕利润的均值是元己 200 300 400 500P |().20 ().35 ().3() 0.15 【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为反。=200x0.20+300x0.35+400x0.30+500x0.15=340(束).设利润为 小则1.6x(500
14、O-500xZ5=3.42450,所以 E(/)=3.4E(O-450=3.4x340-450=706(7L). 答案：706 三、解答题11.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加，使用 不同版本教材的教师人数如表所示：仁.人教A人教B 版本版版苏教 版北师大 版人数 2015510从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X,求随 机变量X的分布列和数学期望.【解析】从5()名教师中随机选出2名的方法数为匾=1 225,选出2人使用版 本相同的方法数为第o+C%+C,+C至=350,故2
15、人使用版本相同的概率为JL 乙 Q /(2)X的所有可能取值为0,l,2.P(X=0)=|j*P(X= 1 )=耍喘 P(X=2)噜喘JLJLVJLJLV所以X的分布列为p 360 3817 119 119r*( I I 八八 3 . 60 c 38 136 8所以 E(X)=0x+1 x+2x=一.717119119 119 7一、选择题1.随机变量C的分布列如表所示，则E(6)的最大值是()0 a1 1 ,一+。 b2 4A.- B.- C.- D.- 864464【解析】选B.根据随机变量分布列的性质，所有的概率之和为1,且每个概率都介 于。和1之间得到b-a=0b.242根据随机变量数
16、学期望公式得双)=(-1必+。-匕)二方中一二-(/)高当公泄R9取得最大值经检验符合题意. o042.(2022.广州高二检测)已知随机变量X的分布列是X123八11P-a23则 E(2X + a)=()A.-B.-C.-D.- 3326【解析】选C.由分布列的性质可得名+斫1得所以RX)=lx$2x93x衿.Z 3oZ 3 o 3因此，石(2X + a)=E(2X +3=2E(X)+=2xg+冷3 .在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次,一旦命中目标，则停止射击，否则 一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为p(0p 1),射击次数为 X,若X的数学期望E(X)，,则p的取
17、值范围是()A-G4) B.&3C.(0,3 D.g,l)【解析】选c.依题意得X的可能取值为1,2,3,P(X= 1 )=p,P(X=2)=( 1 -p)p,P(X=3)=( 1 -pF所以 ：(%)=p+2(l-p)p+3(l-p)2=p2-3p+3，,且 0pl,解得 0p；.4 .(多选题)已知随机变量X的取值为不大于( e N*)的非负整数，它的概率分布列 为X 0123P P() P P2 3. Pn其中pM=O,1,2,3,霜)满足pO,l,且po+pi+p2+.+p,尸1.定义由X生成的函数 心)二0+a+封2+3/+.+1+.+炉田(幻为函数人幻的导函数,E(X)为随机变量X
18、 的期望.现有一枚质地均匀的正四面体形骰子，四个面分别标有123,4个点数，这 枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X,此时由X生成的函数为力(幻,则下列结论 正确的是()15A.E(X)=g(2) B/i(2)=y225C.E(X)=g(l) D./(2)【解 析】 选 CD.因 为 J(X)=po+pX+p2X2+p3X3+. .+/2+. .+p,则 g(x)=/(x)=p 1+2p3+3P*+社？+.+p W lE(X)=p 1 +2P2+33+办+明， 令a- 1时,E(X)=pi+2P2+33+.+力升.+W=仪1),故选项A错误，选项C正确； 连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X,则
19、X的分布列为XI2345678 pl234321 16 16 16 16 16 16 16f(x)=-+X4+x6+x7+A8,二、填空题.已知随机变量X的分布列如表：x-1To1n11P-m35若勺X+3,且E=5,则4的值为.【解析】由随机变量分布列的性质，得*+% 1,解得 m=5.E(X)= (-1 )x；+Ox：+1 x5二W因为 E=EmX+3)=aE(X)+3=：Q+3=5,所以 67=15. JL O答案：155 .马老师从课本上抄录一个随机变量 ;的概率分布列如表： t 123尸(勺。?!?请小牛同学计算C的数学期望，尽管处完全无法看清，且两个“?”处字迹模糊, 但能肯定这两
20、个?”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E=.【解析】设?”处为工,”处为乂则由分布列的性质得2x+y=l,所以期望 E= 1 xP01 ）+2x 尸（勺 2）+3+P（勺 3）=4x+2y=2.答案：2三、解答题6 .（2022.全国甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目,每个项目胜 方得10分,负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为05040.8,各项目的比赛结果相互 独立.求甲学校获得冠军的概率；用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【解析】甲学校在三个项目中获胜的概率分别为05（）40.8,可以得
21、到两个学校 每场比赛获胜的概率如下表：第一第二场比场比场比().50.4().50.40.50.6甲学校获 胜概率 乙学校获 胜概率甲学校要获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场，甲学校3场全学概率为E=0.5x0.4x0.8=(M6,甲学校 3 场获胜 2 场败 1 场，概率 为:02=0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为:尸=丹+尸2=0.6;乙学校的总得分X的可能取值为:0,10,20,30,其概率分别 为:P(X=0)=0.5x0.4x().8=0.16,P(X=10)=0.5x().4x().2+0.5x0.6x().8+0.5x0.4x0.8=0.44 ,P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06, 则X的分布列为：X 01() 20 3()P 0.16 0.44 0.34 0.06X 的期望 E(X)=0x0.16+10x().44+20x0.34+30x0.06= 13.