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1、欢迎各位老师光临 听课指导黄花甸中学 杨成文二次函数的应用二次函数的应用制作:杨成文练习1：请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论。解（1）图象的开口方向:（2）顶点坐标：（3）对称轴：（4）图象与x轴的交点为：（5）图象与y轴的交点为：（6）图象与y轴的交点关于 对称轴的对称点坐标为：（7）最大值或最小值：（8）y的正负性：（9）图象的平移：（10）图象在x轴上截得的线段长向上向上（-2，-1）直线x=-2（-3，0），（-1，0）（0，3）（-4，3）当x=-2时，y最小值=-1；当x=-3或-1时，y=0；当-3x-1时y-1或x0抛物线y=x2向左平移
2、2个单位，再向下平移1个单位得到抛物线y=x2+4x+3 为2（11）对称抛物线：抛物线y=x2+4x+3关于x轴对称的抛物线为y=-（x+3）（x+1）next练习练习2、已知：用长为、已知：用长为12cm的铁丝围成一个矩形，一边长为的铁丝围成一个矩形，一边长为xcm.,面面积为积为ycm2,问何时矩形的面积最大？问何时矩形的面积最大？解：周长为12cm,一边长为xcm ,另一边为（6x）cm 解:由韦达定理得：x1x22k，x1x22k1=(x1x2)2 2 x1x24k22(2k1)4k24k2 4(k )21 当k 时，有最小值，最小值为 yx（6x）x26x （0 x6）(x3)29
3、 a10,y有最大值 当x3cm时，y最大值9 cm2，此时矩形的另一边也为3cm答：矩形的两边都是3cm，即为正方形时，矩形的面积最大。练习练习3、已知、已知x1、x2是一元二次方程是一元二次方程x22kx2k10的两根，求的两根，求 的最小值。的最小值。next例例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围
4、成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米 (3)墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米）Sx（244x）4x224 x （0 x6）0244x 6 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米例例2:如图，等腰如图，等腰RtABC的直角边的直角边AB，点，点P、Q分别从分别从A、C两两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿
5、射线沿射线AB运运动，点动，点Q沿边沿边BC的延长线运动，的延长线运动，PQ与直线相交于点与直线相交于点D。(1)设设 AP的长为的长为x，PCQ的面积为的面积为S，求出，求出S关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)当当AP的长为何值时，的长为何值时，SPCQ=SABC 解：（）P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等当P在线段AB上时 SPCQ CQPB=APPB=AP=CQ=x即即S (0 x2）(2)当当SPCQSABC时，有时，有 x1=1+,x2=1 (舍去)当AP长为1+时，SPCQSABC 此方程无解此方程无解练习练习4：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公：
6、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间（万元）与销售时间t（月）之间的关（月）之间的关系（即前系（即前t个月的利润总和个月的利润总和s与与t之间的关系）之间的关系）根据图象提供的信息，解答下列问题：根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利由已知图象上的三点坐标，求累积利 润润s（万元）与时间（万元）与时间t（月）之间的函（月）之间的函 数关系式；数关系式；(2)求截止到几月
7、末公司累积利润可达到求截止到几月末公司累积利润可达到 30万元；万元；(3)求第求第8个月公司所获利润是多少万元？个月公司所获利润是多少万元？lastlast解:（1）设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得 或 解得 s=lastlast(2)求截止到几月末公司累积利润可达到求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；万元；解:把s=30代入s=得30=解得t1=10，t2=-6（舍去）答：截止到10月末公司累积 利润可达到30万元 lastlast(3)求第求第8个月公司所获利润是多少万元？个月公司所获利润是多少万元？解:把t=7代入，得S=把t=8代入，得S=16-10.5=5
8、.5 答：第8个月公司获利润5.5万元 lastlast练习练习5:如图，已知半圆如图，已知半圆O的直径的直径AB=8，M是半圆的中点，是半圆的中点，P是弧是弧MB上的一个动点，上的一个动点，PC=PA,PC与与AB的延长线的延长线相交于点相交于点C，D是是AC的中点，连接的中点，连接PO、PD，设，设PA=x，BC=y；(1)求求y与与x之间的函数关系式，并指出定义域；之间的函数关系式，并指出定义域；(2)当当x为何值时，为何值时，PC与与 O相交？相交？解：(1)OA=OP,PA=PC A=APO,A=C,()APO=C,A=A AOPAPClastlast动画演示解:(2)PC与半圆O一定有公共点P，可能相切，可能相 交所以只要排除相切即可。如果PC与半圆O相切，OPPC,又 解得，y1=4,y2=-8（舍去）此时x=当当x=时，时，PC与圆与圆O相切相切 当 ,且x 时，PC与圆O相交 lastlast动画演示(1)二次函数与一元二次方程关系密切，解题的关键 是要善于进行转化，且注意根的判别式的取值。归纳总结:(2)二次函数的最值在实际问题中的运用广泛，求解时应注意自变量的取值范围。(3)二次函数在几何问题中的运用，在求解进应注 意图形位置的变化，注意运用分类讨论的思想 方法。