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1、棱柱的体积上海市延安中学上海市延安中学吴瑾辉吴瑾辉内容纲要内容纲要课堂结构课堂结构 背景分析背景分析 教学目标教学目标教学过程教学过程教学媒体教学媒体教学评价教学评价背景分析背景分析 平面平面空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系多面体多面体多面体的概念多面体的概念多面体的直观图多面体的直观图棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积的体积及表面积空间图形空间图形上海中小学课程教材改革委员会上海中小学课程教材改革委员会高中二年级第二学期（试验本）高中二年级第二学期（试验本）1 1理解祖暅原理的含义；理解祖暅原理的含义；理解利用祖暅原理计算几理解利用祖暅原理计算几 何体体积
2、的方法何体体积的方法教学目标教学目标2.2.在探究祖暅原理的过程中，体会从在探究祖暅原理的过程中，体会从“平面平面”到到“空空间间”的类比、猜想的数学思想方法；体会祖暅原理的类比、猜想的数学思想方法；体会祖暅原理中由中由“面积都相等面积都相等”推出推出“体积相等体积相等”的辩证思想；的辩证思想；教学目标教学目标3.3.在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊 到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法之一；掌握棱柱的法是学习数学概念的基本方法之一；掌握棱柱的体积公式，并会利用棱柱的体积公式解
3、决问题；体积公式，并会利用棱柱的体积公式解决问题；4.4.通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣高学生学习数学的兴趣.重点：重点：祖暅原理的含义理解和棱柱体积公式的祖暅原理的含义理解和棱柱体积公式的推导推导难点：难点：祖暅原理的含义理解祖暅原理的含义理解教学重点、难点教学重点、难点课堂结构课堂结构1.1.创设情境创设情境,提出问题提出问题2.2.主动探究主动探究,解决问题解决问题3.3.联系实际联系实际,巩固应用巩固应用引例：引例：引例：引例：青藏铁
4、路是西部大开发标志性工程，全长青藏铁路是西部大开发标志性工程，全长青藏铁路是西部大开发标志性工程，全长青藏铁路是西部大开发标志性工程，全长1142114211421142公公公公里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最长的高原铁路。针对不同情况的多年冻土，有不同的长的高原铁路。针对不同情况的多年冻土，有不同的长的高原铁路。针对不同情况的多年冻土，有不同的长的高原铁路。针对不同情况的多年冻土，有不同的解决办法与技术。比如解决办法与技术。比如解决办法与技术
5、。比如解决办法与技术。比如埋设热棒或通风管埋设热棒或通风管埋设热棒或通风管埋设热棒或通风管，可以有效，可以有效，可以有效，可以有效降低路基温度；也可以采用降低路基温度；也可以采用降低路基温度；也可以采用降低路基温度；也可以采用抛石路基抛石路基抛石路基抛石路基，即用碎块石填，即用碎块石填，即用碎块石填，即用碎块石填筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下筑路基，利用填石路基的通风透气性，隔阻热空气下移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极移，同时吸
6、入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土地段修建不稳定冻土地段修建不稳定冻土地段修建不稳定冻土地段修建低架旱桥低架旱桥低架旱桥低架旱桥，工程效果有保证，但，工程效果有保证，但，工程效果有保证，但，工程效果有保证，但造价高。造价高。造价高。造价高。1.1.创设情境创设情境创设情境创设情境,提出问题提出问题提出问题提出问题-实际问题引入，说明实际问题引入，说明实际问题引入，说明实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性教学过程教学过程教学过程教学过程1.1.创设情境创设情境创设情境创设情境,
7、提出问题提出问题提出问题提出问题-实际问题引入，说明实际问题引入，说明实际问题引入，说明实际问题引入，说明研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性研究棱柱体积的必要性 假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建问每修建1 1千米铁路需要碎石多少立方米？千米铁路需要碎石多少立方米？2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式（1 1）特殊棱柱体积公式的推导）特殊
8、棱柱体积公式的推导（2 2）一般棱柱体积公式的探索）一般棱柱体积公式的探索（3 3）我国古代数学家和西方数学家对几何体体积）我国古代数学家和西方数学家对几何体体积 的研究的研究教学过程教学过程体积的概念体积的概念2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式 （1 1）特殊棱柱体积公式的推导）特殊棱柱体积公式的推导体积的度量体积的度量长度的度量长度的度量长度的度量长度的度量面积的度量面积的度量面积的度量面积的度量长度单位长度单位长度单位长度单位面积单位面积单位面积单位面积单位体积单位体积单位正方体的体
9、积公式正方体的体积公式长方体的体积公式长方体的体积公式类比类比设计思路：设计思路：设计思路：设计思路：从已知到未知，从特殊到一般从已知到未知，从特殊到一般从已知到未知，从特殊到一般从已知到未知，从特殊到一般教学过程教学过程一般棱柱的体积公式一般棱柱的体积公式（2 2）一般棱柱的体积公式的探索）一般棱柱的体积公式的探索2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式I.I.学生自主探索，发表意见学生自主探索，发表意见 一般棱柱割补成长方体一般棱柱割补成长方体类比类比面积度量面积度量教学过程教学过程（2 2
10、）一般棱柱的体积公式的探索）一般棱柱的体积公式的探索2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式I.I.学生自主探索，发表意见学生自主探索，发表意见 教学过程教学过程II.II.祖暅原理的发现、归纳和验证祖暅原理的发现、归纳和验证利利用几何画板动态演示，启发思考两个平面图用几何画板动态演示，启发思考两个平面图形面积相等的条件形面积相等的条件类比猜想两个空间图形体积相等的条件类比猜想两个空间图形体积相等的条件利用实物试验验证猜想利用实物试验验证猜想祖暅原理含义的理解祖暅原理含义的理解 夹在两条平行直线
11、之间的两个平面图形，被夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积相等相等利利用几何画板动态演示，启发思考两个用几何画板动态演示，启发思考两个平面图形面积相等的条件平面图形面积相等的条件观察演示，发现规律：观察演示，发现规律：用平行于底面的任意平面截两个空间用平行于底面的任意平面截两个空间图形得到的截面面积总相等，则这两个空图形得到的截面面积总相等，则这两个空间图形的体积相等。间图形的体积相等。类比猜想两个空间图形体积相等的条件类比猜
12、想两个空间图形体积相等的条件学生讨论，归纳猜想：学生讨论，归纳猜想：I.I.用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体 利用实物试验验证猜想利用实物试验验证猜想I.I.用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体 推移前后什么不变？推移前后什么不变？利用实物试验验证猜想利用实物试验验证猜想启发思考：启发思考：体积、高度、书中每页纸的面积和顺序体积、高度、书中每页纸的面积和顺序I.用一摞大小相同的书，由长方体推移成平行六面体 利用实物试验验证猜想利用实物试验验证猜想II.II.用一摞大小不同的书，推移成各种
13、形状用一摞大小不同的书，推移成各种形状 ,不一定是棱不一定是棱柱柱I.I.内容解释：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平内容解释：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平内容解释：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平内容解释：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个空间图形的体积必然相等对应相等，则两个空间图形的体积必然相等对应相等，则两个空间图形的体积必然相等对应相等，则两个空间图形的体
14、积必然相等II.II.祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数祖暅原理实际上是一个定理，但证明它需要用到高等数学的相关知识，中学阶段不能证明学的相关知识，中学阶段不能证明学的相关知识，中学阶段不能证明学的相关知识，中学阶段不能证明III.III.它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一几何体的体积
15、要想完成求体积的任务，还必须已知一几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一几何体的体积要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为基础个几何体的体积作为基础个几何体的体积作为基础个几何体的体积作为基础祖暅原理含义的理解祖暅原理含义的理解:“夫叠棊成立积，缘幂势既同，夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异则积不容异”（2 2）一般棱柱的体积公式的探索）一般棱柱的体积公式的探索2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式I.I.学生自主探索，发表意见学生自主探索，发表意见 教学过程教学过程I
16、I.II.祖暅原理的发现、归纳和验证祖暅原理的发现、归纳和验证用几何画板动态演示线形成面的过程，启发思用几何画板动态演示线形成面的过程，启发思考两个平面图形面积相等的条件考两个平面图形面积相等的条件类比猜想两个空间图形体积相等的条件类比猜想两个空间图形体积相等的条件利用实物试验验证猜想利用实物试验验证猜想祖暅原理含义的理解祖暅原理含义的理解 III.III.利用祖暅原理推导棱柱体积公式利用祖暅原理推导棱柱体积公式构造一个几何体：构造一个几何体：计算公式已知计算公式已知计算公式已知计算公式已知符合祖暅原理的条件符合祖暅原理的条件符合祖暅原理的条件符合祖暅原理的条件III.III.利用祖暅原理推导
17、棱柱体积公式利用祖暅原理推导棱柱体积公式刘徽刘徽 祖冲之祖冲之 祖暅祖暅 九章算术九章算术 缀术缀术 圆周率、约率圆周率、约率和密率和密率 球的体积公式球的体积公式 卡瓦列里卡瓦列里 16351635年年 祖暅原理祖暅原理卡瓦列里原理卡瓦列里原理代代表表人人物物教学过程教学过程2.2.主动探究主动探究主动探究主动探究,解决问题解决问题解决问题解决问题-探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式探究棱柱体积公式（3 3）我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究例例1 1已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问已知路基的形状尺寸如图所示（单位
18、：米），问 每修建每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？千米铁路需要碎石多少立方米？设计思路：设计思路：设计思路：设计思路：应用公式时回到解决本课开头的实际问题，应用公式时回到解决本课开头的实际问题，应用公式时回到解决本课开头的实际问题，应用公式时回到解决本课开头的实际问题，这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积。这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积。这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积。这是一个底面是梯形的直四棱柱的体积。3.3.联系实际联系实际联系实际联系实际,巩固应用巩固应用巩固应用巩固应用 教学过程教学过程例例2.2.已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边A
19、C 和和BC的长分别为的长分别为4cm和和3cm，侧棱的长为，侧棱的长为10cm，求满足下列条件的三棱柱的体积：求满足下列条件的三棱柱的体积：（1 1）侧棱垂直于底面；）侧棱垂直于底面；（2 2）侧棱与底面所成的角为）侧棱与底面所成的角为 设计思路：设计思路：设计思路：设计思路：比较直棱柱和斜比较直棱柱和斜比较直棱柱和斜比较直棱柱和斜棱柱的体积中高的确定棱柱的体积中高的确定棱柱的体积中高的确定棱柱的体积中高的确定有何不同有何不同有何不同有何不同3.3.联系实际联系实际联系实际联系实际,巩固应用巩固应用巩固应用巩固应用 教学过程教学过程课堂练习：一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图课堂练习：一
20、个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到立方米）立方米混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到立方米）设计思路：设计思路：设计思路：设计思路：这个预制件可以这个预制件可以这个预制件可以这个预制件可以看成由一个长方体挖去一看成由一个长方体挖去一看成由一个长方体挖去一看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四个底面为等腰梯形的直四个底面为等腰梯形的直四个底面为等腰梯形的直四棱柱所得到的直八棱柱。棱柱所得到的直八棱柱。棱柱所得到的直八棱柱。棱柱所得到的直八棱柱。3.3.联系实际
21、联系实际联系实际联系实际,巩固应用巩固应用巩固应用巩固应用 教学过程教学过程用用用用PowerpointPowerpointPowerpointPowerpoint演示文稿展示数学史资料演示文稿展示数学史资料演示文稿展示数学史资料演示文稿展示数学史资料.教学媒体教学媒体祖冲之祖冲之卡瓦列里卡瓦列里刘徽刘徽祖暅祖暅用几何画板动态演示用几何画板动态演示用几何画板动态演示用几何画板动态演示“线叠加形成面线叠加形成面线叠加形成面线叠加形成面”的过的过的过的过程和程和程和程和“任意一个直线截两个平面图形所得截任意一个直线截两个平面图形所得截任意一个直线截两个平面图形所得截任意一个直线截两个平面图形所得截
22、线的各种位置线的各种位置线的各种位置线的各种位置”.教学媒体教学媒体用几何画板动态演示用几何画板动态演示用几何画板动态演示用几何画板动态演示“面叠加形成立体面叠加形成立体面叠加形成立体面叠加形成立体”的过的过的过的过程和程和程和程和“任意一个平面截两个几何体所得截面的任意一个平面截两个几何体所得截面的任意一个平面截两个几何体所得截面的任意一个平面截两个几何体所得截面的各种位置各种位置各种位置各种位置”.教学媒体教学媒体用一摞书作为验证祖暅原理的实物教具用一摞书作为验证祖暅原理的实物教具用一摞书作为验证祖暅原理的实物教具用一摞书作为验证祖暅原理的实物教具.教学媒体教学媒体教学教学评价评价在探究一
23、般棱柱体积公式之前，留给学生在探究一般棱柱体积公式之前，留给学生 一定的时间，让学生充分讨论一定的时间，让学生充分讨论,各抒己见。各抒己见。教学教学评价评价作业的设计体现了分层次的要求作业的设计体现了分层次的要求必做题：必做题：必做题：必做题：（1 1 1 1）已知一个正六棱柱的所有棱长都是）已知一个正六棱柱的所有棱长都是）已知一个正六棱柱的所有棱长都是）已知一个正六棱柱的所有棱长都是 ，求它的体积求它的体积求它的体积求它的体积（2 2 2 2）已知长方体中不同的三个面的面积分别为）已知长方体中不同的三个面的面积分别为）已知长方体中不同的三个面的面积分别为）已知长方体中不同的三个面的面积分别为 、，求它的体积。，求它的体积。，求它的体积。，求它的体积。选做题：选做题：选做题：选做题：（1 1 1 1）研究性学习研究性学习研究性学习研究性学习任意棱柱割补成长方体任意棱柱割补成长方体任意棱柱割补成长方体任意棱柱割补成长方体.（2 2 2 2）课后了解）课后了解）课后了解）课后了解数学史上求几何体体积的发展过程数学史上求几何体体积的发展过程数学史上求几何体体积的发展过程数学史上求几何体体积的发展过程.教学教学评价评价作业的设计体现了分层次的要求作业的设计体现了分层次的要求恳请各位专家、老师批评指正！