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1、第二章 行列式第一节 行列式的定义第二节 行列式的性质及其计算第三节 矩阵的秩第四节 克莱姆法则1.行列式的定义行列式的定义回忆中学二元及三元方程组的求解.a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)若a110.+(2)得(1)(3)代入(1)得(4)此处同样，在求解三元线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3其解为此处(5)其中A11,A12，A13为的代数余子式.三阶行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原来次序组成的2阶行列式记为 Mij 称为 的二阶余子式.而
2、Aij=(1)i+j Mij 称为 的代数余子式由(5)知，三阶行列式可用其二级子式(的线性组合)表示.如果定义一阶行列式|a|=a,则且二阶行列式可表示为上述表明二阶，三阶行列式均可由其子式的组合表示.也即由低阶行列式的组合表示.对于一元线性方程 ax=b.其解 元素aij的余子式定义为：即去掉元素aij所在的行和所在的列后，剩下来的元素所构成的比原行列式小一阶的行列式。元素aij的代数余子式定义为：即在元素aij的余子式前面加上一个符号，该符号是由元素aij的下标决定的。定义定义2.1称为一个 n 阶行列式.它可由 n 个 n1 级行列式（线性）表示：其中Aij=(1)i+jMij,而Mi
3、j aij的余子式,称为行列式的递归定义。课堂练习课堂练习1.计算三阶行列式根据定义知,行列式的计算是按逐步降阶的方法,即将n阶行列式先化为n-1阶行列式,再化为n-2阶行列式.方阵是数表,而行列式是数值 课堂练习课堂练习2.计算三阶行列式解解：D=还可看出+0=8412=72=D,+36=24+60=72=D,+84=1224=72=D.以及定理定理2.1 行列式行列式定理2.2定理2.3定理2.4 的推论列初等变换证明:由定理2.3得定理2.1、定理2.2、定理2.3每一每一行元行元素和素和课堂练习课堂练习.计算三阶行列式练习练习1.计算解:法1(化上三角形法)计算方法:化上(下)三角形法
4、;降阶法.法2(降阶法)可直接用对角线法则计算三阶行列式练习练习2.计算解：解：x+1+nx+xx+xx+x练习练习3.计算解：解：练习练习4.计算行列式计算行列式(加边法加边法)解解 当当x0 或或y0时，显然时，显然D0，现假设，现假设x0，且，且y00，则有，则有 练习练习5.5.计算计算n阶行列式阶行列式(递推公式法递推公式法)解解 由行列式由行列式Dn可知可知 将将Dn按第按第1列展开列展开 这个式子对任何这个式子对任何n(n 2)都成立都成立,故有故有 本章作业 习题二 1，2(2)(4)(7)，3(1)(3)(4)(5)，4(2)，8(1)，9(1)(2)，10(2)，11，13。