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1、第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制本章主要内容：q 5.1 线性二次型问题q 5.2 状态调节器q 5.3 输出调节器q 5.4 跟踪器线性二次型问题的特点 （1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）第5章 线性二次型的最优控制5.1 线性二次型问题线性二次性问题的提法：设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为正定二次型 半正定二次型实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值0（=0)。加权矩阵总可化为对称形式。求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小
2、。第5章 线性二次型的最优控制性能指标的物理含义：加权矩阵的意义：（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如：Q(t)可开始取值小，而后取值大第5章 线性二次型的最优控制线性二次型问题的本质：用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。线性二次型问题的三种重要情形：第5章 线性二次型的最优控制5.2 状态调节器问题 设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1 有限时间状态调节器问题物理意义：以较小的控制能量为
3、代价，使状态保持在零值附近。第5章 线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式因控制不受约束，故沿最优轨线有：（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）规范方程组：写成矩阵形式：其解为：下面思路：确定 与 的关系，带入（5-6）形成状态反馈第5章 线性二次型的最优控制横截条件给出了终端时刻二者的关系：即为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：（5-13）-（5-12）*F 可得第5章 线性二次型的最优控制可实现最优线性反馈控制下面思路：求解P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大第5章 线性二次型的最优控制（5-17）对时间求导2.应用其性质
4、求解p(t)（5-20）与（5-19）相等，可得黎卡提方程（Riccati)边界条件：第5章 线性二次型的最优控制还可进一步证明，最优性能指标为：黎卡提方程求解问题：（1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。（2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。第5章 线性二次型的最优控制（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R3.状态调节器的设计步骤（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)（4）求解最优轨线x*(t)（5）计算性能指标最优值第5章 线性二次型的最优控制例5-1已知一阶
5、系统的微分方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)为黎卡提方程的解最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）第5章 线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：dfun1.matfunction dy=dfun1(t,y)dy=zeros(1,1);%a column vectora=-1;q=1;r=1;dy(1)=-2*a*y(1)+y(1)2-q;第5章 线性二次型的最优控制利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解）文件名：cal_p.mat(主程序）options=odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,
6、1e-4);f=0;%initial valuesol=ode45(dfun1,1 0,f,options);x=linspace(1,0,100);y=deval(sol,x);plot(x,y);disp(y(100);%p(t0)=y(100)第5章 线性二次型的最优控制利用matlab进行最优控制系统仿真第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制 设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。5.2.1 无限时间状态调节器问题说明：1）要求系统完全能控。2）F=0,
7、人们所关心的总是系统在有限时间内的响应第5章 线性二次型的最优控制 最优轨线满足下列线性定常齐次方程：性能指标最优值 可以证明：P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程。可以证明：线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是渐近稳定的。第5章 线性二次型的最优控制例5-2已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性第5章 线性二次型的最优控制展开整理得到三个代数方程 P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控，且Q,R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一解之利用矩阵P正定的性质第5章 线性二次型的最优控制与给定条件 矛盾，故
8、假设 不成立 下面用反证法证明 不是所求的根最优控制为：利用矩阵P正定的性质第5章 线性二次型的最优控制 最优状态调节器闭环系统结构图 闭环系统传递函数 闭环极点为 a2,实根，过阻尼 a2,复根，衰减震荡第5章 线性二次型的最优控制 利用matlab计算和仿真A=0 1;0 0B=0;1a=2b=1Q=1 b;b aR=1K=lqr(A,B,Q,R,0)第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制5.3 输出调节器5.2.1 有限时间输出调节器问题 设线性时变系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使输出
9、保持在零值附近。根据系统能观条件，输出调节器问题可转化为状态调节器问题 第5章 线性二次型的最优控制 将（5-29）代入（5-30）若 是半正定的，则转化为状态调节器问题。最优控制为：可以证明，如果系统完全可观测，则 是半正定的。第5章 线性二次型的最优控制 有限时间最优输出调节器系统结构图。说明：（1）仍然是状态反馈，而不是输出反馈，说明构成最优控制系统需要全部信息。（2）从工程上讲，x(t)是通过y(t)观测出来的，所以控制的先决条件是，受控系统应是可观测的。第5章 线性二次型的最优控制5.2.2 无限时间输出调节器问题 设线性定常系统的状态方程为 假设控制向量 不受约束，求最优控制 ，使
10、下列二次型性能指标最小。与无限时间状态调节器问题类似，最优控制为：第5章 线性二次型的最优控制例5-3已知二阶系统的状态方程为求使性能指标为极小值时的最优控制。解：化为标准矩阵形式二次型性能指标为：验证系统能控性验证系统能观性第5章 线性二次型的最优控制展开整理得到三个代数方程 P满足下列黎卡提矩阵代数方程：系统完全能控且完全能观，故最优控制为：解之利用矩阵P正定的性质第5章 线性二次型的最优控制闭环传递函数为：最优控制系统的结构图：说明：加权系数r的取值，只影响闭环系统的增益，阻尼系数不变第5章 线性二次型的最优控制利用matlab计算和仿真A=0 1;0 0B=0;1C=1 0D=0sys
11、=ss(A,B,C,D)Q=1R=1K=lqry(sys,Q,R,0)第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制5.4 跟踪器设线性时变系统的状态方程为（系统完全可观测）假设控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为 求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。物理意义：以较小的控制能量为代价，使误差保持在零值附近。5.4.1 线性时变系统的跟踪问题第5章 线性二次型的最优控制解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式规范方程组：写成矩阵形式：因控制不受约束，故沿最优轨线有：为非齐次线性时变微分方程，其中右边第二项起着驱动函数的作用。第5章 线性二次型的最优控制横截条件给出了终
12、端时刻二者的关系：将（5-42）代入（5-41），并化简整理，可得：其解为：第5章 线性二次型的最优控制（5-43）对时间求导2.应用系统特性求解p(t)，g(t)（5-45）与（5-46）相等，可得第5章 线性二次型的最优控制边界条件：对所有 均成立，推出：第5章 线性二次型的最优控制综上所述，跟踪问题的最优控制规律如下：q q 最优跟踪系统反馈结构与最优输出调节器反馈结构完全相同，与预期输出无关。第5章 线性二次型的最优控制q 最优跟踪系统与最优输出调节器系统的本质差异，反映在 上。互为负的转置关系（伴随矩阵）q 由（5-54）可知，为了求得 ，必须在控制过程开始之前知道全部 的信息。与
13、有关，则最优控制的现时值也要依赖于预期输出 的全部未来值。关键在于掌握 变化规律的方法：预估，随机处理（平均最优）第5章 线性二次型的最优控制 最优跟踪系统结构图伴随矩阵第5章 线性二次型的最优控制设线性定常系统的状态方程为（系统完全可观、可控）控制向量 不受约束，用 表示期望输出，则误差向量为 求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。5.4.2 线性定常系统的跟踪问题第5章 线性二次型的最优控制当 足够大且为有限值时，可得出如下近似结果：线性定常最优跟踪系统结构图第5章 线性二次型的最优控制例5-4已知一阶系统的状态方程：求使性能指标为极小值时的最优控制。解：二次型性能指标为：其中p(t)，
14、g(t)为下列方程的解：第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 线性二次型的最优控制第5章 结束语q 研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。q 调节器问题：状态调节器、输出调节器q 跟踪问题q 与经典控制问题的关系q 线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题。q线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。q 在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。本章要点：状态调节器、输出调节器和跟踪问题的控制规律本章作业：秦寿康 教材，P144 习题1，2，3，4（仿真研究），6，9