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1、3.3 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用与抗震设计反应谱一、单自由度体系的水平地震作用一、单自由度体系的水平地震作用 对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。1 1、水平地震作用基本公式、水平地震作用基本公式（2 2）作用在质点上的惯性力等于质量作用在质点上的惯性力等于质量m乘以它的绝对加速乘以它的绝对加速度（即地面加速度和质点相对加速度）度（即地面加速度和质点相对加速度）若将上式代入（若将上式代入（2）并考虑到
2、）并考虑到 远小于远小于 而忽略不计，则得：而忽略不计，则得：X(t)X(t)Xg(t)Xg(t)即即即即为杆件柔度系数，某点在单位力下的侧向位移。上式等号左边为杆件柔度系数，某点在单位力下的侧向位移。上式等号左边为地震作用时质点产生的相对位移，等号右侧为该瞬时惯性为地震作用时质点产生的相对位移，等号右侧为该瞬时惯性力使质点产生的相对位移。因此，可以认为，在某瞬时地震力使质点产生的相对位移。因此，可以认为，在某瞬时地震作用使结构产生的相对位移是该瞬时的惯性力引起的。作用使结构产生的相对位移是该瞬时的惯性力引起的。将解微分方程所得的相对位移的解书将解微分方程所得的相对位移的解书P35式式3-32
3、代入上式得代入上式得由上式可见，水平地震作用是时间由上式可见，水平地震作用是时间t的函数的函数它的大小随时间而变化它的大小随时间而变化在抗震设计中，不需要求出每一时刻的地震作用数值，只在抗震设计中，不需要求出每一时刻的地震作用数值，只需要求出最大绝对值即可。则取上式的最大绝对值需要求出最大绝对值即可。则取上式的最大绝对值F设设令令（3）代入式（代入式（3）并以）并以 代替代替F，则得：，则得：质质点点加加速速度度最最大大值值地地震震动动峰峰值值加加速速度度地地震震系系数数动力系数动力系数水平地震作用标准值水平地震作用标准值水平地震作用标准值水平地震作用标准值建筑的重力荷载代表值建筑的重力荷载代
4、表值建筑的重力荷载代表值建筑的重力荷载代表值2 2、各系数的求解、各系数的求解、各系数的求解、各系数的求解a a、地震系数、地震系数、地震系数、地震系数 k k是地震动峰值加速度与重力加速度之比是地震动峰值加速度与重力加速度之比是地震动峰值加速度与重力加速度之比是地震动峰值加速度与重力加速度之比峰值加速度峰值加速度 即地震时在某处所记录下来的加速度最大即地震时在某处所记录下来的加速度最大值。很显然，与地震烈度有因果关系的影响，地面加速度越值。很显然，与地震烈度有因果关系的影响，地面加速度越大，地震烈度一般越大。不同的大，地震烈度一般越大。不同的 对应不同的地震烈度，对应不同的地震烈度，即有不同
5、即有不同 对应不同烈度，从而根据对应不同烈度，从而根据中国地震动参数区划中国地震动参数区划图图所规定的地震动峰值加速度取值（与设计基本加速度取值所规定的地震动峰值加速度取值（与设计基本加速度取值相当）相当），可得到抗震设防烈度与地震系数的对应关系参见书，可得到抗震设防烈度与地震系数的对应关系参见书P38表表3-1 b、动力系数、动力系数 是地震作用下最大反应加速度与地面最大是地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比加速度之比单质点体系的最大加速度（绝单质点体系的最大加速度（绝对加速度）对加速度）地面最大加速度地面最大加速度所以所以所以所以因为因为因为因为所以所以所以所以由上式可知，动力系数
6、由上式可知，动力系数由上式可知，动力系数由上式可知，动力系数 是与地面运动加速度记录的是与地面运动加速度记录的是与地面运动加速度记录的是与地面运动加速度记录的 和结构自振周期和结构自振周期和结构自振周期和结构自振周期T T，还有阻尼比，还有阻尼比，还有阻尼比，还有阻尼比 有关。当地面加速度记有关。当地面加速度记有关。当地面加速度记有关。当地面加速度记录录录录 和阻尼比和阻尼比和阻尼比和阻尼比 给定时，就可根据不同的给定时，就可根据不同的给定时，就可根据不同的给定时，就可根据不同的T T 值算出动值算出动值算出动值算出动力系数力系数力系数力系数 。不同的不同的不同的不同的T T对应不同的对应不同
7、的对应不同的对应不同的 从而得到一条从而得到一条从而得到一条从而得到一条 曲线。称为动曲线。称为动曲线。称为动曲线。称为动力系数反应谱曲线。从力系数反应谱曲线。从力系数反应谱曲线。从力系数反应谱曲线。从 定义不难看出，动力系数曲定义不难看出，动力系数曲定义不难看出，动力系数曲定义不难看出，动力系数曲线实质上是一种加速度反应谱曲线。（动力系数等于质线实质上是一种加速度反应谱曲线。（动力系数等于质线实质上是一种加速度反应谱曲线。（动力系数等于质线实质上是一种加速度反应谱曲线。（动力系数等于质点最大加速度与地面运动加速度之比）点最大加速度与地面运动加速度之比）点最大加速度与地面运动加速度之比）点最大
8、加速度与地面运动加速度之比）下图为地震时，地面加速度记录下图为地震时，地面加速度记录下图为地震时，地面加速度记录下图为地震时，地面加速度记录 和阻尼比和阻尼比和阻尼比和阻尼比 分分分分别为别为别为别为0.050.05、0.010.01、0.020.02、0.100.10时绘制的动力系数反应谱时绘制的动力系数反应谱时绘制的动力系数反应谱时绘制的动力系数反应谱曲线。曲线。曲线。曲线。分析表明，虽然在每次地分析表明，虽然在每次地分析表明，虽然在每次地分析表明，虽然在每次地震中测得的地面加速度震中测得的地面加速度震中测得的地面加速度震中测得的地面加速度曲线不同，但根据他们曲线不同，但根据他们曲线不同，
9、但根据他们曲线不同，但根据他们绘制的动力系数反应谱绘制的动力系数反应谱绘制的动力系数反应谱绘制的动力系数反应谱曲线却有共同的特征，曲线却有共同的特征，曲线却有共同的特征，曲线却有共同的特征，这就给应用反应谱曲线这就给应用反应谱曲线这就给应用反应谱曲线这就给应用反应谱曲线确定地震作用提供了可确定地震作用提供了可确定地震作用提供了可确定地震作用提供了可能性，从而根据结构自能性，从而根据结构自能性，从而根据结构自能性，从而根据结构自振周期振周期振周期振周期T T，就可以方便，就可以方便，就可以方便，就可以方便地求出动力系数值。地求出动力系数值。地求出动力系数值。地求出动力系数值。当结构自振周期小于某
10、一数值时，反应谱曲线随当结构自振周期小于某一数值时，反应谱曲线随当结构自振周期小于某一数值时，反应谱曲线随当结构自振周期小于某一数值时，反应谱曲线随T T增加而急剧增加而急剧增加而急剧增加而急剧上升；当上升；当上升；当上升；当T T到达某一数值时，动力系数达到最大值；当到达某一数值时，动力系数达到最大值；当到达某一数值时，动力系数达到最大值；当到达某一数值时，动力系数达到最大值；当T T大大大大于某一数值时，曲线波动下降。这一数值与场地的振动卓于某一数值时，曲线波动下降。这一数值与场地的振动卓于某一数值时，曲线波动下降。这一数值与场地的振动卓于某一数值时，曲线波动下降。这一数值与场地的振动卓越
11、周期相符。所以，当结构自振周期与场地卓越周期相等越周期相符。所以，当结构自振周期与场地卓越周期相等越周期相符。所以，当结构自振周期与场地卓越周期相等越周期相符。所以，当结构自振周期与场地卓越周期相等或相近时，地震反应最大。类似于结构在动力荷载作用下或相近时，地震反应最大。类似于结构在动力荷载作用下或相近时，地震反应最大。类似于结构在动力荷载作用下或相近时，地震反应最大。类似于结构在动力荷载作用下的共振现象，所以结构自振周期应远离场地卓越周期。的共振现象，所以结构自振周期应远离场地卓越周期。的共振现象，所以结构自振周期应远离场地卓越周期。的共振现象，所以结构自振周期应远离场地卓越周期。不同的地震
12、加速度记录对应不同的反应谱曲线，虽然这些曲不同的地震加速度记录对应不同的反应谱曲线，虽然这些曲不同的地震加速度记录对应不同的反应谱曲线，虽然这些曲不同的地震加速度记录对应不同的反应谱曲线，虽然这些曲线有共同的特征，但仍有差别。在结构抗震设计中，只采线有共同的特征，但仍有差别。在结构抗震设计中，只采线有共同的特征，但仍有差别。在结构抗震设计中，只采线有共同的特征，但仍有差别。在结构抗震设计中，只采用按某一次地震记录加速度绘制的反应谱曲线作为设计依用按某一次地震记录加速度绘制的反应谱曲线作为设计依用按某一次地震记录加速度绘制的反应谱曲线作为设计依用按某一次地震记录加速度绘制的反应谱曲线作为设计依据
13、显然是不合理的。据显然是不合理的。据显然是不合理的。据显然是不合理的。根据不同的地面运动记录的统计分析表明：场地的特性、震根据不同的地面运动记录的统计分析表明：场地的特性、震根据不同的地面运动记录的统计分析表明：场地的特性、震根据不同的地面运动记录的统计分析表明：场地的特性、震中距的远近，对反应谱曲线有明显的影响。所以，按场地中距的远近，对反应谱曲线有明显的影响。所以，按场地中距的远近，对反应谱曲线有明显的影响。所以，按场地中距的远近，对反应谱曲线有明显的影响。所以，按场地类别、近震、远震，分别绘制出反应谱曲线，然后统计分类别、近震、远震，分别绘制出反应谱曲线，然后统计分类别、近震、远震，分别
14、绘制出反应谱曲线，然后统计分类别、近震、远震，分别绘制出反应谱曲线，然后统计分析，找出每种场地、近震、远震有代表性的平均反应谱曲析，找出每种场地、近震、远震有代表性的平均反应谱曲析，找出每种场地、近震、远震有代表性的平均反应谱曲析，找出每种场地、近震、远震有代表性的平均反应谱曲线，作为设计用的标准反应谱曲线。线，作为设计用的标准反应谱曲线。线，作为设计用的标准反应谱曲线。线，作为设计用的标准反应谱曲线。c c、地震影响系数、地震影响系数、地震影响系数、地震影响系数为了简化计算，将上述地震系数为了简化计算，将上述地震系数为了简化计算，将上述地震系数为了简化计算，将上述地震系数 和动力系数和动力系
15、数和动力系数和动力系数 的乘积用的乘积用的乘积用的乘积用 表示，称为地震影响系数。表示，称为地震影响系数。表示，称为地震影响系数。表示，称为地震影响系数。由上式可知，地震影响系数即为单质点弹性体系在地震时最大由上式可知，地震影响系数即为单质点弹性体系在地震时最大由上式可知，地震影响系数即为单质点弹性体系在地震时最大由上式可知，地震影响系数即为单质点弹性体系在地震时最大反应加速度与重力加速度的比值。另外由下式反应加速度与重力加速度的比值。另外由下式反应加速度与重力加速度的比值。另外由下式反应加速度与重力加速度的比值。另外由下式可知：可知：可知：可知：单质点体系的最大加速度（绝对加速度 ）抗震规范
16、抗震规范抗震规范抗震规范是以地震影响系数作为抗震设计依据的。是以地震影响系数作为抗震设计依据的。是以地震影响系数作为抗震设计依据的。是以地震影响系数作为抗震设计依据的。其数值应根据地震烈度、场地类别、设计地震分组和结构自其数值应根据地震烈度、场地类别、设计地震分组和结构自其数值应根据地震烈度、场地类别、设计地震分组和结构自其数值应根据地震烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。振周期以及阻尼比确定。振周期以及阻尼比确定。振周期以及阻尼比确定。若没有专门规定，建筑结构阻尼比一般取若没有专门规定，建筑结构阻尼比一般取若没有专门规定，建筑结构阻尼比一般取若没有专门规定，建筑结构阻尼
17、比一般取0.050.05，则地震影响，则地震影响，则地震影响，则地震影响系数值可按下图采用。系数值可按下图采用。系数值可按下图采用。系数值可按下图采用。(参见书参见书参见书参见书P40P40图图图图3-123-12适用于周期小于适用于周期小于适用于周期小于适用于周期小于6s6s的结构）的结构）的结构）的结构）现将曲线的特征及相关系数取值情况说明如下：现将曲线的特征及相关系数取值情况说明如下：现将曲线的特征及相关系数取值情况说明如下：现将曲线的特征及相关系数取值情况说明如下：*周期周期周期周期 区段：区段：区段：区段：时，时，时，时，区段：这一段取水平线，数值均为区段：这一段取水平线，数值均为区
18、段：这一段取水平线，数值均为区段：这一段取水平线，数值均为 其中，其中，其中，其中，称为设计特征周期：即设计所用的地震影响系数特称为设计特征周期：即设计所用的地震影响系数特称为设计特征周期：即设计所用的地震影响系数特称为设计特征周期：即设计所用的地震影响系数特征周期。征周期。征周期。征周期。近年来，地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震近年来，地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震近年来，地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震近年来，地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小
19、震级近震中距级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况严重的多，理论分析也发现，震中距不同时，反应谱的情况严重的多，理论分析也发现，震中距不同时，反应谱的情况严重的多，理论分析也发现，震中距不同时，反应谱的情况严重的多，理论分析也发现，震中距不同时，反应谱特征不同。抗震设计中，对同样场地条件、同样烈度地震，特征不同。抗震设计中，对同样场地条件、同样烈度地震，特征不同。抗震设计中，对同样场地条件、同样烈度地震，特征不同。抗震设计中，对同样场地条件、同样烈度地震，按震源机制、震级大小和震中距远近区别对待是有必要的。按震源机制、震级
20、大小和震中距远近区别对待是有必要的。按震源机制、震级大小和震中距远近区别对待是有必要的。按震源机制、震级大小和震中距远近区别对待是有必要的。所以，所以，所以，所以，8989规范规定，设计特征周期取值根据近、远震和场地类规范规定，设计特征周期取值根据近、远震和场地类规范规定，设计特征周期取值根据近、远震和场地类规范规定，设计特征周期取值根据近、远震和场地类别来确定。我国绝大多数地区只考虑设计近震，需要考虑设别来确定。我国绝大多数地区只考虑设计近震，需要考虑设别来确定。我国绝大多数地区只考虑设计近震，需要考虑设别来确定。我国绝大多数地区只考虑设计近震，需要考虑设计远震的地区很少（约占县级城镇的计远
21、震的地区很少（约占县级城镇的计远震的地区很少（约占县级城镇的计远震的地区很少（约占县级城镇的8%8%）新规范，将设计近震、远震改称为设计地震分组，可更好地新规范，将设计近震、远震改称为设计地震分组，可更好地新规范，将设计近震、远震改称为设计地震分组，可更好地新规范，将设计近震、远震改称为设计地震分组，可更好地体现震级和震中距的影响，建筑工程的设计地震分为三组。体现震级和震中距的影响，建筑工程的设计地震分为三组。体现震级和震中距的影响，建筑工程的设计地震分为三组。体现震级和震中距的影响，建筑工程的设计地震分为三组。根据设计地震分组和场地类别书根据设计地震分组和场地类别书根据设计地震分组和场地类别
22、书根据设计地震分组和场地类别书P39P39给出了特征周期数值给出了特征周期数值给出了特征周期数值给出了特征周期数值表表表表3-23-2区段：曲线呈双曲线，且缓慢下降区段：曲线呈双曲线，且缓慢下降区段：曲线呈双曲线，且缓慢下降区段：曲线呈双曲线，且缓慢下降区段：直线下降段区段：直线下降段区段：直线下降段区段：直线下降段说明：说明：说明：说明：关于关于关于关于T T的计算：的计算：的计算：的计算：质点重力荷载代表值质点重力荷载代表值质点重力荷载代表值质点重力荷载代表值作用在质点上单位水平集中力作用在质点上单位水平集中力作用在质点上单位水平集中力作用在质点上单位水平集中力在自由端产生的侧移在自由端产
23、生的侧移在自由端产生的侧移在自由端产生的侧移当当当当T=0T=0时，因为时，因为时，因为时，因为 由于由于由于由于T=0T=0所以为刚性体系，即所以为刚性体系，即所以为刚性体系，即所以为刚性体系，即质点本身最大反应加速度即为地面最大反应加速度，质点本身最大反应加速度即为地面最大反应加速度，质点本身最大反应加速度即为地面最大反应加速度，质点本身最大反应加速度即为地面最大反应加速度，不放大，所以不放大，所以不放大，所以不放大，所以 而而而而 即即即即 由此，由此，由此，由此，规范中取规范中取规范中取规范中取2.252.25原因下面说明原因下面说明原因下面说明原因下面说明关于关于关于关于 的取值：地
24、震资料统计结果表明，的取值：地震资料统计结果表明，的取值：地震资料统计结果表明，的取值：地震资料统计结果表明，受地震受地震受地震受地震烈度、地震环境等影响较大。烈度、地震环境等影响较大。烈度、地震环境等影响较大。烈度、地震环境等影响较大。，而动力系数最而动力系数最而动力系数最而动力系数最大值大值大值大值 受地震烈度、地震环境影响不大受地震烈度、地震环境影响不大受地震烈度、地震环境影响不大受地震烈度、地震环境影响不大抗震规范抗震规范抗震规范抗震规范取取取取 将将将将 与不同的与不同的与不同的与不同的 值相乘，便可以得到值相乘，便可以得到值相乘，便可以得到值相乘，便可以得到不同设防烈度下的不同设防
25、烈度下的不同设防烈度下的不同设防烈度下的 值。值。值。值。参见书参见书参见书参见书P40P40表表表表3-3 3-3 当建筑阻尼比不等于当建筑阻尼比不等于当建筑阻尼比不等于当建筑阻尼比不等于0.050.05时，计算参见教材时，计算参见教材时，计算参见教材时，计算参见教材P40P40（二）计（二）计（二）计（二）计算原理同上，公式不同，注意形状参数和阻尼调整系数的确定算原理同上，公式不同，注意形状参数和阻尼调整系数的确定算原理同上，公式不同，注意形状参数和阻尼调整系数的确定算原理同上，公式不同，注意形状参数和阻尼调整系数的确定-特征周期；特征周期；地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的
26、特征周期值（s s）0.900.90 0.650.65 0.450.45 0.35 0.35第三组第三组第三组第三组0.750.75 0.550.55 0.400.40 0.30 0.30第二组第二组第二组第二组0.650.65 0.45 0.45 0.35 0.35 0.25 0.25第一组第一组第一组第一组 场地类别场地类别场地类别场地类别-曲线下降段的衰减指数；曲线下降段的衰减指数；-直线下降段的斜率调整直线下降段的斜率调整系数；系数；-阻尼调整系数，小于阻尼调整系数，小于 0.550.55时，应取时，应取0.550.55。-地震影响系数；地震影响系数；-地震影响系数最地震影响系数最 大
27、值；大值；地震影响系数最大值地震影响系数最大值 1.401.400.90(1.200.90(1.20)0.50(0.720.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震罕遇地震罕遇地震0.320.320.16(0.240.16(0.24)0.08(0.120.08(0.12)0.040.04多遇地震多遇地震多遇地震多遇地震 9 9 8 8 7 7 6 6地震影响地震影响烈度烈度 括号数字分别对应于设计基本加速度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g0.15g和和0.30g0.30g地区的地震影响系数地区的地震影响系数-结构周期；结构周期；回顾抗震设计原则：回顾抗震设计原则：回顾抗震设计原则：回顾抗震
28、设计原则：三水准：（小震不坏、中震可修、大震不倒）三水准：（小震不坏、中震可修、大震不倒）三水准：（小震不坏、中震可修、大震不倒）三水准：（小震不坏、中震可修、大震不倒）两阶段：第一阶段设计：按小震（两阶段：第一阶段设计：按小震（两阶段：第一阶段设计：按小震（两阶段：第一阶段设计：按小震（5050年设计基准期，超越概年设计基准期，超越概年设计基准期，超越概年设计基准期，超越概率为率为率为率为63%63%的地震）作用效应和其他荷载效应的基本组合演的地震）作用效应和其他荷载效应的基本组合演的地震）作用效应和其他荷载效应的基本组合演的地震）作用效应和其他荷载效应的基本组合演算结构构件的承载能力，以及
29、在小震作用下验算结构的弹算结构构件的承载能力，以及在小震作用下验算结构的弹算结构构件的承载能力，以及在小震作用下验算结构的弹算结构构件的承载能力，以及在小震作用下验算结构的弹性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。性变形，以满足第一水准抗震设防目标的要求。第二阶段设计：在大震（第二阶段设计：在大震（第二阶段设计：在大震（第二阶段设计：在大震（5050年设计基准期，超越概率为年设计基准期，超越概率为年设计基准期，超越概率为年设计基准期，超越概率为2%-3%2%-3%的地震）作用下验算结构的弹塑性变形，以满足的地
30、震）作用下验算结构的弹塑性变形，以满足的地震）作用下验算结构的弹塑性变形，以满足的地震）作用下验算结构的弹塑性变形，以满足第三水准抗震设防目标的要求。第三水准抗震设防目标的要求。第三水准抗震设防目标的要求。第三水准抗震设防目标的要求。第二水准，不进行计算，用构造措施满足中震（第二水准，不进行计算，用构造措施满足中震（第二水准，不进行计算，用构造措施满足中震（第二水准，不进行计算，用构造措施满足中震（5050年设计基年设计基年设计基年设计基准期，超越概率为准期，超越概率为准期，超越概率为准期，超越概率为10%10%的地震，即基本设计烈度也通常作的地震，即基本设计烈度也通常作的地震，即基本设计烈度
31、也通常作的地震，即基本设计烈度也通常作为国家的抗震设防烈度）为国家的抗震设防烈度）为国家的抗震设防烈度）为国家的抗震设防烈度）解：解：（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数查表确定查表确定地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）1.401.400.90(1.200.90(1.20)0.50(0.720.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震罕遇地震罕遇地震0.320.320.16(0.240.16(0.24)0.08(0.120.08(0.12)0.040.04多遇地震多遇地震多遇地震多遇地震 9 9
32、8 8 7 7 6 6地震影响地震影响烈度烈度例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8 8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kNG=700kN，框架柱线刚度框架柱线刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.050.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。h=5mh=5m查表确定查表确定解：解：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处
33、。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8 8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kNG=700kN，框架柱线刚度框架柱线刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.050.05。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数h=5mh=5m查表确定查表确定地震特征周期分组的特征周期值（地震特征周期分组的特征周期值（s s）0.900.90 0.650.65 0.450.450.350.35第三组第三组第三组
34、第三组0.750.75 0.550.55 0.400.400.300.30第二组第二组第二组第二组0.650.65 0.45 0.45 0.35 0.35 0.25 0.25第一组第一组第一组第一组 场地类别场地类别场地类别场地类别解：解：例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为盖处。已知设防烈度为8 8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类类场地；屋盖处的重力荷载代表值场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kNG=700kN，框架柱线刚度框架柱线刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.050.05。试求该结构多遇地震
35、时的水平地震作用。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数h=5mh=5m（3 3）计算结构水平地震作用）计算结构水平地震作用周期计算周期计算F=1F=15m5m12m12mF=0.5F=0.5F=0.5F=0.5 F=0.5F=0.5 F=0.5F=0.5+二、重力荷载代表值的确定二、重力荷载代表值的确定 结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值值G Gk k加上各可变荷载组合值。加上各可变荷载组合值。-第第i i个可变荷载标准值；个可变荷载标准值
36、；-第第i i个可变荷载的组合值系数；个可变荷载的组合值系数；不考虑不考虑不考虑不考虑 软钩吊车软钩吊车软钩吊车软钩吊车 0.3 0.3 硬钩吊车硬钩吊车硬钩吊车硬钩吊车 0.5 0.5 其它民用建筑其它民用建筑其它民用建筑其它民用建筑 0.8 0.8 藏书库、档案库藏书库、档案库藏书库、档案库藏书库、档案库 1.0 1.0按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载按实际情况考虑的楼面活荷载 不考虑不考虑不考虑不考虑 屋面活荷载屋面活荷载屋面活荷载屋面活荷载 0.5 0.5屋面积灰荷载屋面积灰荷载屋面积灰荷载屋面积灰荷载 0.5 0.5 雪荷载雪荷载雪荷载雪
37、荷载组合值系数组合值系数组合值系数组合值系数可变荷载种类可变荷载种类可变荷载种类可变荷载种类按等效均布荷载考虑按等效均布荷载考虑的楼面活荷载的楼面活荷载吊车悬吊物重力吊车悬吊物重力组合值系数组合值系数 多自由度地震作用分析又称作振型分解反应谱法多自由度地震作用分析又称作振型分解反应谱法,顾名思义不难想到是利用振型分解反应谱来解决多自顾名思义不难想到是利用振型分解反应谱来解决多自由度体系的地震反应由度体系的地震反应.1 1、反应谱理论的适用条件、反应谱理论的适用条件实际上反应谱理论有如下三个假定实际上反应谱理论有如下三个假定:1)1)结构的地基是刚性盘体结构的地基是刚性盘体.这一假定对一般建筑物
38、由于其长度远小于地震波这一假定对一般建筑物由于其长度远小于地震波的波长的波长,可认为近似满足可认为近似满足.但对于大跨度桥梁和大型但对于大跨度桥梁和大型水坝等结构水坝等结构,这一假定是不合理的这一假定是不合理的.3.4 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析 振振型分解反应谱法型分解反应谱法3 3)地面运动过程可以用地震记录来表示地面运动过程可以用地震记录来表示.虽然地震仪在高频和低频部分有失真虽然地震仪在高频和低频部分有失真,但是除地但是除地震记录外震记录外,没有更可靠的资料能说明地震地面运没有更可靠的资料能说明地震地面运动的规律动的规律.2)2)结构是理想弹性
39、体结构是理想弹性体.在小震作用下在小震作用下,结构不破坏结构不破坏,可近似看作弹性可近似看作弹性体体.但在大震、罕遇地震作用下但在大震、罕遇地震作用下,我国抗震设我国抗震设计原则是计原则是“大震不倒大震不倒”,允许结构进入非弹性允许结构进入非弹性状态状态,此时反应谱理论不适用此时反应谱理论不适用.2 2、计算简图、计算简图对于多层框架结构，应按集中质量法将上下层之间的结构对于多层框架结构，应按集中质量法将上下层之间的结构重力荷载、楼面（或屋面）可变荷载集中于楼面（或屋重力荷载、楼面（或屋面）可变荷载集中于楼面（或屋面）标高处。设他们的质量为面）标高处。设他们的质量为m mi i 并假设这些质点
40、由无并假设这些质点由无重量的弹性直杆支承于地面上，即可将多层框架简化成重量的弹性直杆支承于地面上，即可将多层框架简化成多质点弹性体系。多质点弹性体系。ii+1m1m2mimn实际工程中，多层或高层工业与民用建筑可简化实际工程中，多层或高层工业与民用建筑可简化成多质点体系来计算。成多质点体系来计算。3 3、多质点体系的运动状态、多质点体系的运动状态2 2n n1 1i in-1n-1m m2 2m mn nm m1 1m mi im mn-1n-1X Xi i(t)(t)Xg(t)Xg(t)与单质点体系类似：其中与单质点体系类似：其中x xg g(t)(t)表示地面水平位移，是时间的函数，表示地
41、面水平位移，是时间的函数，它的变化规律可以由地震时地面运动实测记录求出；它的变化规律可以由地震时地面运动实测记录求出；x xi i(t)(t)表示表示质点对于地面的相对弹性位移，是求解的重点质点对于地面的相对弹性位移，是求解的重点每个质点的位移为每个质点的位移为 +X Xi i(t t)Xg(t)Xg(t)解解:例例.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型.已知已知:m1m21 11.6181.6181 10.6180.618（1 1）多自由度弹性体系动力分析回顾）多自由度弹性体系动力分析回顾显然，这一比值与时间显然，这一比值与时间t无关。体系按无关。体系按振动过程中，任一时刻各质点的位
42、移比值振动过程中，任一时刻各质点的位移比值 等于等于 即始终保持不变。同理取即始终保持不变。同理取 时时得到下面的式子：得到下面的式子：第一振型第二质点的振幅第一振型第二质点的振幅第一振型第一质点的振幅第一振型第一质点的振幅第二振型第二质点的振幅第二振型第二质点的振幅第二振型第一质点的振幅第二振型第一质点的振幅显然，这一比值也与时间无关，体系按显然，这一比值也与时间无关，体系按 振动过程中，任一振动过程中，任一时刻各质点的位移比值时刻各质点的位移比值 等于等于 ，也始终保持不，也始终保持不变。综上所述，对应于频率变。综上所述，对应于频率 和和 的运动方程的特解的运动方程的特解是相应于这样的两种
43、振动：前者各质点按是相应于这样的两种振动：前者各质点按 的比值作简谐的比值作简谐调振动；后者各质点按调振动；后者各质点按 的比值作简谐振动。他们在各的比值作简谐振动。他们在各自的振动过程中，振动形式保持不变，而只改变大小和方自的振动过程中，振动形式保持不变，而只改变大小和方向。向。上面两式非常重要，在后面计算振型参与系数上面两式非常重要，在后面计算振型参与系数 时会用时会用到。到。按振型振动时的运动规律按振型振动时的运动规律m1m2按按i i振型振动时，质点的位移为振型振动时，质点的位移为质点的加速度为质点的加速度为质点上的惯性力为质点上的惯性力为质点上的惯性力与位移同频同步。质点上的惯性力与
44、位移同频同步。振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。荷载所引起的静位移。（2 2）振型的正交性振型的正交性(证明见书证明见书P47)P47)i i振型振型i i振型上的惯性力振型上的惯性力j j振型振型i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作的虚功振型上作的虚功i i振型振型j j振型振型j j振型上的惯性力振型上的惯性力 i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作的虚功振型上作的虚功i i振型振型j j振型振型j j振型上的惯性力在振型上的惯性力在i i振型上作的虚功振型上作的虚功由虚功互等定理由虚功
45、互等定理振型正交性的应用振型正交性的应用检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。对耦联运动微分方程组作解对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等耦运算等等.主振型的正交性主振型的正交性:两个不同的主振型的对应位置上的质点两个不同的主振型的对应位置上的质点位移相乘位移相乘,再乘以该质点的质量再乘以该质点的质量,然后将各质点所求出的上然后将各质点所求出的上述乘积作代数和述乘积作代数和,其值等于零其值等于零.（3 3）求解多质点弹性体系）求解多质点弹性体系X Xi i(t)(t)X Xi i(t)(t)X X1 1(t)(t)X Xn n(t)(t)X X2 2(t)(t)设在振动过程中某瞬
46、时质点设在振动过程中某瞬时质点m m1 1,m,m2 2,m,mn n的位的位移分别是移分别是 ,则作用在质点则作用在质点m m1 1,m,m2 2,m,mn n上的惯性力分别为上的惯性力分别为 X X1 1(t(t)X X2 2(t)(t)X Xn n(t)(t)设不考虑阻尼影响，根据叠加原理，可写设不考虑阻尼影响，根据叠加原理，可写出质点出质点mi的位移表达式：的位移表达式：可以写成下面的形式可以写成下面的形式：单位力单位力F=1作用在质点作用在质点k上，质点上，质点i产生的水平位移，产生的水平位移，称为柔度系数。称为柔度系数。对于对于n个质点的体系，线性微分方程组的通解可写成：个质点的体
47、系，线性微分方程组的通解可写成：单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型。由单质点体系在谐波的作用下的振型称为基本振型。由上式可知，任一地震波都可以分解为若干谐波的叠上式可知，任一地震波都可以分解为若干谐波的叠加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可加，多质点体系按振型分解法计算地震作用时，可以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。以简化为具有基本振型的等效单质点体系进行分析。一个多质点体系会有多个振型。是不是所有振型都一个多质点体系会有多个振型。是不是所有振型都需要考虑呢？需要指出的是，实验结果表明，振型需要考虑呢？需要指出的是，实验结果表明，振型越高，阻尼作用所造成的衰减越快，
48、所以通常高振越高，阻尼作用所造成的衰减越快，所以通常高振型只在振动初始才比较明显，以后则逐渐衰减。型只在振动初始才比较明显，以后则逐渐衰减。第第j j振型第振型第i i质点的振幅质点的振幅一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高一般来说，低阶振型对结构振动的影响要大于高阶振型的影响。对一般较规则的建筑物，选择阶振型的影响。对一般较规则的建筑物，选择的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数的振型个数可以取其地震作用计算时的质点数（大多数情况下为楼层数），若质点数较多时，（大多数情况下为楼层数），若质点数较多时，根据计算结果可以只取前几个振型（即低阶振根据计算结果可以只取前几个振型（即低阶振型）
49、进行叠加。也即，在建筑抗震设计中，仅型）进行叠加。也即，在建筑抗震设计中，仅考虑较低的几个振型的影响。考虑较低的几个振型的影响。周期越大（也就是频率越小）质点作简谐振动周期越大（也就是频率越小）质点作简谐振动的振型越低，设计中，一般先取最大周期所对的振型越低，设计中，一般先取最大周期所对应的简谐振动的振型作为第一振型。应的简谐振动的振型作为第一振型。质点的受力分析质点的受力分析取隔离体第取隔离体第i i个质点个质点S Si iR Ri i其中，其中，弹性恢复力：弹性恢复力：阻尼力：阻尼力：k kriri:第第i i个质点产生单位位移，其余质点不动在第个质点产生单位位移，其余质点不动在第r r个
50、质点产生的弹性反力。个质点产生的弹性反力。4、多质点弹性体系的水平受力平衡方程、多质点弹性体系的水平受力平衡方程c criri:第第i i个质点产生单位速度，其余质点速度为个质点产生单位速度，其余质点速度为0 0，在第，在第r r个质点产生的阻尼力。个质点产生的阻尼力。多质点体系的运动方程多质点体系的运动方程根据力的平衡列出方程如下：根据力的平衡列出方程如下：其中，其中，k k、m m、c c均为矩阵形式。上式即为多质点均为矩阵形式。上式即为多质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程组。运弹性体系在地震作用下的运动微分方程组。运动方程的求解，详细过程参见书动方程的求解，详细过程参见书P50P50