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1、 第第篇篇 材料力学材料力学 材料力学是研究杆件在载荷作用下能否正常工作。所材料力学是研究杆件在载荷作用下能否正常工作。所谓正常工作是指它有足够的强度、刚度和稳定性。谓正常工作是指它有足够的强度、刚度和稳定性。第四章第四章 杆件内力杆件内力基本要求：基本要求：1 1、掌握拉伸、剪切胡克定律；、掌握拉伸、剪切胡克定律；2 2、掌握四种基本变形的受力、变形特点、内力类型以及、掌握四种基本变形的受力、变形特点、内力类型以及内力正负号规定等；内力正负号规定等；3 3、会用截面法求内力；、会用截面法求内力；4 4、会列内力方程、画内力图；、会列内力方程、画内力图；5 5、掌握剪力、弯矩和载荷集度的微分关
2、系。、掌握剪力、弯矩和载荷集度的微分关系。4.1材料力学的基本概念和基本假定材料力学的基本概念和基本假定一、三个假定：一、三个假定：1、1）.连续性假设：认为整个物体所占空间连续性假设：认为整个物体所占空间内到处无空隙地充满物质。内到处无空隙地充满物质。2）.均匀性假设：认为物体内的任何部分，均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。其力学性能相同。3）.各向同性假设各向同性假设:认为物体内在各个不认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同同方向上的力学性能相同2、材料是线弹性、材料是线弹性3、杆件小变形、杆件小变形二、基本概念二、基本概念：1、内力、内力：由于构件变形，其内部各部分材料
3、：由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是内力的变化量，也就是“附加内力附加内力”，它与，它与构件的强度、刚度密切相关。构件的强度、刚度密切相关。内力在本质上是材料抵抗变形的能力内力在本质上是材料抵抗变形的能力。2应力应力P：正应力正应力、剪应力剪应力P称为称为m点处的（全）应力。通点
4、处的（全）应力。通常把应力常把应力P分解成垂直于截面的分解成垂直于截面的分量分量和切于截面的分量和切于截面的分量，称称为正应力，为正应力，称为剪应力称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表应力即单位面积上的内力，表示某微截面积示某微截面积A0处处m点内力点内力的密集程度。的密集程度。=N N/A A =Q/A3、应变应变：线应变线应变、剪应变剪应变定义：定义：=L/L L/L L LNLNL/A A L L=NLNL/EA EA L L/L L=N N/EAEA=/E E =E E拉伸胡克定律拉伸胡克定律 同理同理=G剪切剪切胡克定律胡克定律应力的国际单位为应力的国际单位为N/m2，且且1N/m
5、2=1Pa（帕斯帕斯卡），卡），1GPa=1GN/m2=109Pa，1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa。在工程上，也在工程上，也用用kg(f)/cm2为应力单位，它与国际单位的换算关为应力单位，它与国际单位的换算关系为系为1kg(f)/cm2=0.1MPa。三、剪应力互等定理三、剪应力互等定理受载杆件内一点的任意两个相互垂直的截受载杆件内一点的任意两个相互垂直的截面上，若在一截面上存在剪应力，则在另一面上，若在一截面上存在剪应力，则在另一截面上必存在等值的剪应力，其方向或指向截面上必存在等值的剪应力，其方向或指向或离开这两个相互垂直截面的交线。或离开这两个相互垂直截面的交线。4
6、.2截面法截面法内力分量内力分量内力在物理本质上是内力在物理本质上是材料抵抗变形的能力，材料抵抗变形的能力，内力不但与变形间存在内力不但与变形间存在着确定的关系着确定的关系,还与杆件还与杆件的强度有关。的强度有关。4.2.1截面法截面法截面法是求内力的一截面法是求内力的一种方法，就是用一截面种方法，就是用一截面截开受载荷的物体，以截开受载荷的物体，以显示截面上的分布内力显示截面上的分布内力系。系。（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。相平衡。用截
7、面法求内力可归纳为四个字：用截面法求内力可归纳为四个字：1).截截：欲求某一横截面的内力，沿该截面将构件：欲求某一横截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。假想地截成两部分。2).取取：取其中任意部分为研究对象，而去掉另一：取其中任意部分为研究对象，而去掉另一部分。部分。3).代代：用作用于截面上的内力，代替去掉部分对：用作用于截面上的内力，代替去掉部分对留下部分的作用力。留下部分的作用力。4).平平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。知的内力。4.2.2内力分量内力分量杆件截面上存在什么类型的内力是与杆件所杆件截面上存在什么类型的内力是与
8、杆件所收的载荷状况有关。轴力收的载荷状况有关。轴力FN、剪力剪力Fs、扭矩扭矩T和和弯矩弯矩W，四种内力分别使物体发生以下四种基本四种内力分别使物体发生以下四种基本变形。变形。1.拉伸和拉伸和压缩：受力特点受力特点：由大小相等、方向相反、作用线与由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力所引起。杆件轴线重合的一对力所引起。变形特点变形特点：表现为杆件长度的伸长或缩短。如：表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形。托架的拉杆和压杆受力后的变形。如图所示，受轴向拉力如图所示，受轴向拉力P的杆的杆件上作任一横截面件上作任一横截面m-m，取取左段部分，并以内力的合力左段部分，
9、并以内力的合力代替右段对左段的作用力。代替右段对左段的作用力。由平衡条件由平衡条件，得，得。由于由于（拉力），则（拉力），则所设合力所设合力的方向正确。因而当外力沿着杆件的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表表示。示。内力类型内力类型符号规定符号规定：材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由所设坐标或内力方向决定的。定，而不是由所设坐标或内力方向决定的。习惯上将轴力习惯上将轴力N的正负号规
10、定为：拉伸时，轴的正负号规定为：拉伸时，轴力力N为正；压缩时，轴力为正；压缩时，轴力N为负。为负。【例例】求如图所示杆件的内力，并作轴力图。求如图所示杆件的内力，并作轴力图。【解解】（1）计算各段内力计算各段内力AC段：作截面段：作截面1-1，取左段部分（图，取左段部分（图b）。）。由由得得kN（拉力）拉力）CB段：作截面段：作截面2-2，取左段部分（图，取左段部分（图c），），并假设并假设方向如图所示。由方向如图所示。由得得则则kN（压力）压力）的实际方向应与图中所示方向相反。的实际方向应与图中所示方向相反。（2）绘制轴力图绘制轴力图为表达截面位置选为表达截面位置选x轴为横坐标，相应截面上的
11、轴为横坐标，相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出轴力图。轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出轴力图。由轴力图可知：由轴力图可知：CB段的轴力值最大，即段的轴力值最大，即kN。注意两个问题注意两个问题：1）求内力时，外力不能沿作用线随意移求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如动（如P2沿轴线移动）。因为材料力学研究沿轴线移动）。因为材料力学研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如截面不能刚好截在外力作用点处（如通过通过C点），因为工程实际上并不存在几何点），因为工程实际上并不存
12、在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内一定微小面积内2.剪切剪切：受力特点受力特点：构件两侧：构件两侧作用有大小相等，方向作用有大小相等，方向相反，作用线相距很近相反，作用线相距很近的外力。的外力。变形特点变形特点：表现为两：表现为两外力作用线间截面发生外力作用线间截面发生相对错动，由矩形变为相对错动，由矩形变为平行四边形。平行四边形。内力类型：内力类型：当这两个力相互平行错动并保持间距不变地当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一横截面上只有剪力横截面上
13、只有剪力(Fs、Q)作用。作用。符号规定符号规定：使杆微段的左截面向上，右截面向使杆微段的左截面向上，右截面向下错动的剪力规定为正；或使杆微段绕其内一下错动的剪力规定为正；或使杆微段绕其内一点产生顺时针转动的剪力为正，反之为负。点产生顺时针转动的剪力为正，反之为负。3.扭扭转：受力特点受力特点：在杆件两端受垂直于杆轴线：在杆件两端受垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，转向相反的的平面内作用一对大小相等，转向相反的外力偶外力偶-扭转力偶的作用。扭转力偶的作用。变形特点变形特点：表现为杆件的任意两个横截：表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传面发生绕轴线的相对转动。如机器中
14、的传动轴受力后的变形，动轴受力后的变形，内力类型内力类型：用截面法求扭转内力用截面法求扭转内力-扭矩。如图所示圆轴，扭矩。如图所示圆轴，由由，从而可得，从而可得A-A截面上扭矩截面上扭矩TT称为截面称为截面A-A上的扭矩。上的扭矩。符号规定符号规定：扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法，扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法，T矢量矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。外法线方向一致为正，反之为负。【例】传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A、从动轮从动轮B、C、D力偶矩分别为：力偶矩分别为：1170N.m、351N
15、.m、351N.m、468N.m，试，试求求1-1、2-2、3-3截面的内力，并画出截面的内力，并画出轴的扭矩图。轴的扭矩图。【解解】：用截面法，：用截面法，根据平衡方程计算各根据平衡方程计算各段内的扭矩。段内的扭矩。在在BC段内，以段内，以T1表表示截面示截面I-I上的扭矩，上的扭矩，并把并把T1的方向假设为的方向假设为如图所示的方向。由如图所示的方向。由平衡方程平衡方程，有，有468N.m(d)同理可得同理可得T2=702N.mT3=468N.m扭矩图如图扭矩图如图c所示。所示。4.弯曲弯曲：受力特点受力特点：由垂直于杆件轴线的横向力，由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面
16、内的一对大或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶所引起。小相等、方向相反的力偶所引起。变形特点变形特点：表现为杆件轴线由直线变为受：表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形。的变形。内力类型内力类型：由截面法可由截面法可得，弯曲梁的横得，弯曲梁的横截面上具有剪力截面上具有剪力和弯矩两种内力。和弯矩两种内力。剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负，；使梁的下部产生动的剪力规定为正，反之为负，；使梁的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，
17、反之为负。拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负。符号规定符号规定：静定梁的基本形式有：简支梁简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁如图所示。悬臂梁悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如图所示。外伸梁：外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图所示。连续梁（多跨梁）连续梁（多跨梁）超静定梁超静定梁内力分量的符号规定如下：内力分量的符号规定如下：1 1、轴力、轴力F FN N使杆件拉伸变形的轴力规定为正，使杆件拉伸变形的轴力规定为正，反之为负。反之为负。2 2、剪力剪力F FS S使杆微段的左截面向上，右截面使杆微段的左截面向上，右截面向下错动的剪力规定为正或使杆微段
18、绕其内一向下错动的剪力规定为正或使杆微段绕其内一点产生顺时针转动的剪力为正，反之为负。点产生顺时针转动的剪力为正，反之为负。3 3、扭矩扭矩T T杆件在扭转时，使杆件的纵向线段杆件在扭转时，使杆件的纵向线段变为右手螺旋线的扭矩规定为正，反之为负变为右手螺旋线的扭矩规定为正，反之为负。4 4、弯矩弯矩M M使杆件微段产生凹口向上的弯曲变使杆件微段产生凹口向上的弯曲变形时，截面上的弯矩规定为正，反之为负。形时，截面上的弯矩规定为正，反之为负。C截面的弯矩和剪力（截面的弯矩和剪力（0 xa)4.3内力方程内力方程内力图内力图内力与截面的位置有关。描述内力随截面内力与截面的位置有关。描述内力随截面位置
19、变化的解析式称为位置变化的解析式称为内力方程内力方程。相应的有轴。相应的有轴力方程、剪力方程、扭矩方程和弯矩方程。内力方程、剪力方程、扭矩方程和弯矩方程。内力随截面位置的变化可以用图线表示，这样的力随截面位置的变化可以用图线表示，这样的图线称为图线称为内力图内力图。相应的有轴力图、剪力图、。相应的有轴力图、剪力图、扭矩图和弯矩图。扭矩图和弯矩图。注意注意：表示截面位置的：表示截面位置的x轴习惯上是平行于杆件轴习惯上是平行于杆件轴线的。轴线的。方程法画剪力图和弯矩图方程法画剪力图和弯矩图：若以横坐标若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表
20、示为则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，的函数，即即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。【例例】如图所示的简支梁承受集度为如图所示的简支梁承受集度为q的均布载荷。的均布载荷。试写出该梁的剪力方程与弯矩方程，并作剪力图试写出该梁的剪力方程与弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。与弯矩图。【解解】(1)求支座反力求支座反力根据平衡条件可求根据平衡条件可求(2）建立剪力方程与弯建立剪力方程与弯矩方程矩方程【例例】简支梁跨中受集中力简支梁跨中受集中力P作用如图所示。
21、试写出梁的作用如图所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。【解解】1）求支座反力求支座反力2）建立剪力方程与弯矩方程建立剪力方程与弯矩方程3)作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图4)求求和和【解解】在在C处作用一集中力处作用一集中力P，要分段写轴力方程，要分段写轴力方程当当xa时：时：【例例】如图所示之简支梁在点受集中力偶如图所示之简支梁在点受集中力偶m作作用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力用。试建立梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。图和弯矩图。【解解】(1)求支座反力求支座反力(2)建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩
22、方程(3)作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图【例例】传动轴如图传动轴如图4-5a所所示，主动轮示，主动轮A输入功率输入功率马力，从动轮马力，从动轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为马力，马力，马力，马力，轴的转速轴的转速。试画。试画出轴的扭矩图。出轴的扭矩图。【解解】外力偶矩计算公式外力偶矩计算公式按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩：【例例4.8】曲杆曲杆ABC，在，在C端作用铅直向下的载荷端作用铅直向下的载荷P,试写出试写出AB杆的内力方程，并作杆的内力方程，并作AB杆的内力图。杆的内力图。【例例4.9】作出如图所示刚架结构的弯矩图作出如图所示刚架结构
23、的弯矩图。【解解】4.4 4.4 剪力剪力F FS S、弯矩弯矩M M和载荷集度和载荷集度q q间的微分关系间的微分关系剪力剪力F FS S、弯矩弯矩M M和载荷集度和载荷集度q q间的关系：间的关系：从微分关系可得如下结论从微分关系可得如下结论:1、q(x)=0q(x)=0时，时，F Fs s(x)(x)是一常量是一常量,剪力图呈一水平直线；剪力图呈一水平直线；而而M M（x x）是）是线性函数，弯矩图上呈现为倾斜的直线性函数，弯矩图上呈现为倾斜的直线。如果无载荷作用的梁段，剪力线。如果无载荷作用的梁段，剪力F Fs s(x)(x)恒等于零，恒等于零，则弯矩图上呈现为一水平直线则弯矩图上呈现
24、为一水平直线。2、q(x)=q(x)=常量时，常量时，F Fs s(x)(x)是线性函数，剪力图是线性函数，剪力图呈现为倾斜的直线；呈现为倾斜的直线；q(x)q(x)0 0，直线左高右直线左高右低；低；q(x)q(x)0 0，直线左低右高。而直线左低右高。而M M（x x）是是二次函数，弯矩图是一条二次抛物线，二次函数，弯矩图是一条二次抛物线，如果如果q(x)q(x)0 0，开口向下；开口向下；q(x)q(x)0 0，开口向上。开口向上。3、梁上集中力作用处，剪力图有突变，、梁上集中力作用处，剪力图有突变，其中突变量等于集中力的数值。因而弯其中突变量等于集中力的数值。因而弯矩图的斜率也发生变化
25、，弯矩图上有尖矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。角。4、梁上集中力偶作用处，剪力图无变化；、梁上集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，其中突变量等于集中力弯矩图有突变，其中突变量等于集中力偶的数值。偶的数值。5、剪力等于零的截面，弯矩取极值。、剪力等于零的截面，弯矩取极值。F Fs s(x(x-)0 0，且，且F Fs s(x(x+)0 0，则弯矩取极大值；反，则弯矩取极大值；反之取极小值。之取极小值。6、最大弯矩的绝对值，可能在、最大弯矩的绝对值，可能在F Fs s(x(x)=0)=0的的截面上，也可能在集中力或集中力偶的截面上，也可能在集中力或集中力偶的作用处。作用处。利用以上各
26、点，除可以校核已作出的利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程。建立剪力方程和弯矩方程。其步骤如下：其步骤如下：1.求支座反力；求支座反力；2.分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3.求控制截面内力，根据微分关系绘剪求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；力图和弯矩图；例例4-10画出该梁的剪力图和弯矩图画出该梁的剪力图和弯矩图例例4-11画出该梁的剪力图和弯矩图，并确画出该梁的剪力图和弯矩图，并确定剪力和弯
27、矩的最大值。定剪力和弯矩的最大值。例例4-12画出该梁的剪力图和弯矩图，并画出该梁的剪力图和弯矩图，并确定剪力和弯矩的最大值确定剪力和弯矩的最大值结构几何、（材料）及约结构几何、（材料）及约束相对于某面（或轴）对束相对于某面（或轴）对称，称为称，称为对称结构对称结构弯矩、轴力及扭矩为弯矩、轴力及扭矩为对称内对称内力力，剪力为，剪力为反对称内力。反对称内力。对称结构在对称荷载作用下，对称结构在对称荷载作用下，弯矩、轴力及扭矩图对称；弯矩、轴力及扭矩图对称；剪力图反对称。剪力图反对称。正对称性与反对称性的应用对称结构在反对称荷对称结构在反对称荷载作用下，弯矩、轴载作用下，弯矩、轴力及扭矩图反对称；力及扭矩图反对称；剪力图对称。剪力图对称。