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1、 第四章 定积分4.3.1 平面图形的面积定积分的几何意义定积分的几何意义（1 1）当）当f(xf(x)0)0时，时，表示的是表示的是y=y=f(xf(x)与与x=a,x=bx=a,x=b和和x x轴所围曲边梯形的面积。轴所围曲边梯形的面积。（2 2）当）当f(xf(x)0 0时，时，y=y=f(xf(x)与与x=a,y=bx=a,y=b和和x x轴轴所围曲边梯形的面积为所围曲边梯形的面积为复习回顾复习回顾-1-1yxo例例1.求如图所示阴影部分图形的面积。求如图所示阴影部分图形的面积。分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；一部分是一部分是x轴上方
2、的图形的面轴上方的图形的面积（记为积（记为s1）;另一部分是另一部分是x轴下方图形的面轴下方图形的面积（记为积（记为s2）.根据图像的性质：根据图像的性质：s1=s2.所以，所求阴影部分的面积是所以，所求阴影部分的面积是4.例题分析例题分析y=sin xyxo思考：思考：求如下图形中阴影部分面积y=sin x例例2.求抛物线求抛物线y=x 与直线与直线y=2x所围成平面所围成平面图形的面积。图形的面积。2o2x4y求出曲线求出曲线y=与直线与直线y=2x的交点为（的交点为（0，0）和（）和（2，4）。）。设所求图形的面积为设所求图形的面积为S，根据图像可以看，根据图像可以看出出S等于直线等于直
3、线y=2x，x=2以及以及x轴所围成轴所围成平面图形的面积（设为平面图形的面积（设为S1）减去抛物线）减去抛物线y=，直线，直线x=2以及以及x轴所围成的图形轴所围成的图形的面积（设为的面积（设为S2）。）。解解 :画出抛物线画出抛物线y=与直线与直线y=2x所围成的平面图形，所围成的平面图形，如图所示。如图所示。小结：小结：求平面图形的面积的一般步骤求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形；）根据题意画出图形；（2）找出范围，确定积分上、下限；）找出范围，确定积分上、下限；（3）确定被积函数；）确定被积函数；（4）写出相应的定积分表达式；）写出相应的定积分表达式；（5）用微积分基本
4、定理计算定积分，求出结果。）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。抽象概括：抽象概括：一般地，设由曲线一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线以及直线x=a，y=b所围成所围成的平面图形（如图的平面图形（如图1）的面积）的面积S，则，则yxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：想一想：上图中（上图中（2）、（）、（3）满足上面的公式吗？）满足上面的公式吗？例例3.求曲线求曲线x=和直线和直线y=x-2所围成的图形所围成的图形的面积。的面积。x=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=解：阴影
5、部分面积解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1围成：S2由y=，y=x-2 ，x=1围成：解解两曲线的交点两曲线的交点oxy解解:求两曲线的交点求两曲线的交点:于是所求面积于是所求面积说明：说明：注意各积分区间上被积函数的形式注意各积分区间上被积函数的形式求在直角坐标系下平面图形的面积步骤求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象作图象;2.求交点的横坐标求交点的横坐标,定出积分上、下限定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿莱布尼茨公式求定积分用牛顿莱布尼茨公式求定积分.