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1、第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.2.1 2.2.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。喷泉的纵截面都是抛物线。我们在哪些地方见过或研究过抛物线？我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；知识回顾知识回顾生活中的抛物
2、线生活中的抛物线生活中的抛物线生活中的抛物线在纸一侧固定直尺在纸一侧固定直尺将直角三角板的一条直角边紧贴直将直角三角板的一条直角边紧贴直尺尺取长等于另一直角边长的绳子取长等于另一直角边长的绳子固定绳子一端在直尺外一点固定绳子一端在直尺外一点F固定绳子另一端在三角板点固定绳子另一端在三角板点A上上用笔将绳子拉紧用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角并使绳子紧贴三角板的直角边板的直角边上下移动三角板上下移动三角板,用笔画出轨迹用笔画出轨迹按下列步骤作出一条曲线按下列步骤作出一条曲线J亲身体验亲身体验FACJ 信息技术信息技术 获知一获知一 抛物线的定义抛物线的定义在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F
3、和一条定直线和一条定直线l(l不经不经过点过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.即即:若若 ,则点的轨迹是抛物线则点的轨迹是抛物线.d 为为 M 到到 l 的距离的距离点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l叫抛物线的叫抛物线的准线准线想一想：在平面内想一想：在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直和一条定直线线l(l经过点经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹是什的点的轨迹是什么么？经过经过F且与且与l 垂直的直线垂直的直线MFl准准线线焦点焦点MlF代数关系式代数关系式几何关系式几何关系式解析法解析法解析法解析法求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤
4、是怎样的？是怎样的？2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程lFMN建系建系列式列式化简化简证明证明设点设点解法一：以解法一：以l为为y y 轴，过点轴，过点F F 垂直于垂直于 l 的直线为的直线为X X轴建立直角坐标系（如下图所示）轴建立直角坐标系（如下图所示）,记记|FK|FK|p,p,则定点则定点F(p,0),F(p,0),设动点设动点M(x,yM(x,y)，由抛物线定义得：，由抛物线定义得：化简得化简得：xoylFM(X,y)K 二、探究抛物线的标准方程 二、探究抛物线的标准方程解法二解法二:以定点以定点F F为原点为原点,过点过点F F垂直于垂直于l的直线为的直线为X X轴轴建立直角坐
5、标系建立直角坐标系(如下图所示如下图所示),),记记|FK|=P,|FK|=P,则定点则定点F(0,0),F(0,0),l的方程为的方程为X=X=-P P设动点设动点 ，由抛物线定义得，由抛物线定义得：化简得化简得：KFM(x,y)xy 二、探究抛物线标准方程解法三：以过解法三：以过F且垂直于且垂直于 l 的直线为的直线为x轴轴,垂足为垂足为K.以以F,K的中点的中点O为坐标原点建立直角坐标系为坐标原点建立直角坐标系xoy.依题意得依题意得两边平方两边平方,整理得整理得KFM(x,y)yoxFM(x,y)KxoyKFM(x,y)xyKFM(x,y)yox比较探究结果：比较探究结果：方程最简洁抛
6、物线的标准方程抛物线的标准方程方程方程 y2=2px（p0）表示抛物表示抛物线，其焦点线，其焦点F F位于位于x轴的正半轴上，轴的正半轴上，其准线交于其准线交于x轴的负半轴轴的负半轴 获知二获知二 抛物线的标准方程抛物线的标准方程P的几何意义是的几何意义是:焦点到准线的距离焦点到准线的距离(焦准距焦准距)，故此故此p 为正常数为正常数yxo.Fp即即焦点焦点F (,0)准线准线l：x=抛物线的标准抛物线的标准方程还有哪些方程还有哪些形式形式?三、探究抛物线的标准方程的其它成员三、探究抛物线的标准方程的其它成员其它形式的抛物其它形式的抛物线的焦点与准线线的焦点与准线呢？呢？xyloFxyolFx
7、yloFxyloF方方案案三三方方案案二二 方方案案一一方方案案四四yxo.Fyxo.Fyxo.Fyxo.F类比类比分析分析（-x）2 22py2py(0,)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yly y2 2=2px=2px(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)P的意义的意义:抛物抛物线的焦点到准线的焦点到准线的距离线的距离方程的特点方程的特点:(1)左边左边是二次是二次式式
8、,(2)右边右边是一次是一次式式;决定了决定了焦点焦点的位置的位置.四、四种抛四、四种抛四、四种抛四、四种抛物线的特征：物线的特征：物线的特征：物线的特征：五.例题讲解 例例1：根据下列条件求抛物线的标准方程：根据下列条件求抛物线的标准方程：已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F(2,0);已知抛物线的准线方程是已知抛物线的准线方程是y=3;题号焦点坐标准线方程Cy2=8xCx2=-12y求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：y2=6x y=6x2小结小结:求抛物求抛物线的焦点线的焦点一定要先一定要先把抛物线把抛物线化为标准化为标准形式后定形式后定焦点焦点
9、、开开口及准线口及准线思考与交流初中学习的二次函数与现在研究的抛物线方程有什么样的关系yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2抛物线的标抛物线的标准方程准方程抛物线的非抛物线的非标准方程标准方程五.例题讲解例例2：已知抛物线焦点在：已知抛物线焦点在X轴上轴上,焦准距为焦准距为2,求它的标准方程求它的标准方程 C y2=4x变式训练变式训练 已知抛物线的焦准距为已知抛物线的焦准距为2，求它，求它的标准方程的标准方程C y2=4x,x2=4y注意：注意：注意：注意：p p 为为正常数，正常数，它是指焦它是指焦点到准线点到准线的距离的距离(焦准距焦准距),不能确不能确定开口方定开口方向向例
10、例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为深度为0.5m。建立建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。分析分析:0.54.8m解：如图，在接收天线的轴截面所在平解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。顶
11、点（即抛物线的顶点）与原点重合。设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 y2=2px (p0)，由已知条件可得，点由已知条件可得，点A的坐的坐标是标是(0.5,2.4)，代入方程，得，代入方程，得2.42=2p0.5,p=5.76.所求抛物所求抛物线的标准方程是线的标准方程是 y2=11.56 x，焦点，焦点的坐标是的坐标是(2.88,0)4.8m(0.5,2.4)0.5小结与概括小结与概括:1 1、抛物线的定义和标准方程的推导；、抛物线的定义和标准方程的推导；2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准线方程；线方程；3、数形结合的思想。、数形结合的思想。形（曲线位置特征）形（曲线位置特征）数（方程形式特征）数（方程形式特征）定位分析定位分析定量分析定量分析抛物线抛物线标准方程标准方程几何性质几何性质定义定义y2=2pxx2=2pyy2=-2pxx2=-2py知识结构知识结构？