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1、线性代数解题的八种思维定势第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 例1（2000年）设矩阵A的伴随矩阵，且，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B分析 本题相当于解矩阵方程若先从求出及，再代入已知关系式求B，则计算量会相当大考虑到题设与有关，若先用化简，则方便得多解 由先右乘A，得，再左乘，并利用，得，即 | 再由，得 ，即 于是有， 故 评注 题设与有关时，一般均可考虑利用及其相关公式，结论先化简、再计算第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足 f
2、 (A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。例3已知为3阶方阵满足，（1）证明可逆，并求；（2）若，求矩阵 解：（1）由于，所以 ，即 于是 ， 故 可逆 且 （2）由于，所以 ， 于是 又由于 ，有于是 第四句话：若要证明一组向量线性无关，先考虑用定义再说。例4 设 阶矩阵的4个不同特征值为， 其对应的特征向量依次为，记， 求证： 线性无关解法1，从而无关，故的秩为4，故线性无关 解法2设存在一组数使 （1）由题设，利用特征向量的性质可得 （2）将（2）式一并代入（1）式可有整理得因分属不同的特征值，故线性无关，从而有视为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程
3、组，其系数行式为范德蒙德行列的转置 因互异，所以 这表明只有零解，即=0，从而线性无关第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。例5 已知3阶矩阵A的第一行是，其中不全为零，矩阵，（为常数），且，求线性方程组的通解解：由知，又则(1) 若，则必有，此时，方程组的通解为，（为任意常数）(2) 若，则，线性方程组可化为，且满足若，方程组的通解为，（为任意常数），若，方程组的通解为，（为任意常数）注：也可直接对和进行讨论第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。例6 已知向量组线性相关，求的值 解： ，所以 第七句话：若已知A的特征向量x0，则先
4、用定义Ax0=0x0处理一下再说。例7 已知二维非零向量X不是2阶方阵A的特征向量，() 证明线性无关；（）若满足，求A的全部特征值和特征向量，并由此判断A能否与对角矩阵相似，若能请写出该对角矩阵。解 () 设，则必有，否则，从而X是A的属于特征值的特征向量，与题设矛盾。由此有，因为，故，说明线性无关；（）由，得，因为线性无关，所以，即是A的特征值，A的属于特征值的特征向量为，其中为任意非零数，同理，2是A的特征值，A的属于特征值2的特征向量为，其中为任意非零数。由于A有两个相异特征值，从而有两个线性无关的特征向量，因此A可对角化，且A与对角矩阵相似。评注 本题综合考查了向量组的线性相关、矩阵分解、特征值和特征向量的概念与性质，矩阵相似对角化的判定等知识点第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。例8 设为正定阵，则仍为正定阵 证：因为是正定阵，故为实对称阵，且的特征值全大于零，易见全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故全是正定矩阵，为实对称阵 对，有 即 的正定矩阵