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1、一、选择题一、选择题1ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC 的周长为（）A42B32C42 或 32D37 或 332如图，在等边ABC 中，AB15，BD6，BE3，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连结 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点F 运动的路径长是（）A8B10C4 3D123如图，在ABC 中，C90，AD 是ABC 的一条角平分线若AC6，AB10，则点D 到 AB 边的距离为（）A2B2.5C3Bd2S dD2D44直角三角形的面积为S，斜边上的中线为d，则这个三角形周长为（）A
2、d2S 2dC2 d2S dd2S d5如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点 B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）AcmBcmCcmD9cm6如图，2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图（也称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，2直角三角形的短直角边为a，较长直角边为 b，那么的值为（）（a b）A13B19C25D1697如
3、图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A12cmB14cmC20cmD24cm8如图，直角三角形两直角边的长分别为3 和 4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A6B32C2D129如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（）A245B5C6D810已知一个直角三角形的
4、两边长分别为3 和 5，则第三边长是()A5B4C34D4 或34二、填空题二、填空题11如图，MON90，ABC 的顶点 A、B 分别在 OM、ON 上，当 A 点从 O 点出发沿着 OM 向右运动时，同时点 B 在 ON 上运动，连接 OC若 AC4，BC3，AB5，则 OC的长度的最大值是_12如图，四边形 ABDC 中，ABD120，ABAC，BDCD，AB4，CD43，则该四边形的面积是_13在 ABC 中，若a b 25,a b 7，c 5，则最长边上的高为_14如图，在 RtABC 中，ACB90，AB7.5cm，AC4.5cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/
5、s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_222215在ABC 中，AB6，AC5，BC 边上的高 AD4，则ABC 的周长为_.16如图是由边长为 1 的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE 的端点均在格点上，线段 AB 和 DE 交于点 F，则 DF 的长度为_17如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A20,0，C0,8，点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为_.18如图，在锐角ABC中，AB 2，BAC 60，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM MN的最
6、小值是_.19四边形 ABCD 中 AB8，BC6，B90，ADCD5 2，四边形 ABCD 的面积是_20如图的实线部分是由RtABC经过两次折叠得到的.首先将RtABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B处，再沿CM折叠，使点A落在CB的延长线上的点A处.若图中ACB90，BC 15cm，AC 20cm，则MB的长为_.三、解答题三、解答题21如图，ABC 和 ADE 都是等腰三角形，其中ABAC，ADAE，且 BAC DAE（1）如图，连接 BE、CD，求证：BECD；（2）如图，连接 BE、CD，若 BAC DAE60，CDAE，AD3，CD4，求 BD 的长；（3）如图，若 BAC
7、DAE90，且 C 点恰好落在 DE 上，试探究 CD2、CE2和 BC2之间的数量关系，并加以说明22如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为 CD 边上一点，将ADE 沿 AE 折叠，使点D 落在 BC 边上的点 F 处（1）求 BF 的长；（2）求 CE 的长23如图，已知ABC中，B 90，AB 8cm，BC 6cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当t 2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB是等腰三角形？（3）若
8、Q沿B C A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间24在等腰ABC 与等腰ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点 D、E、C 三点在同一条直线上，连接 BD（1）如图 1，求证：ADBAEC（2）如图 2，当BACDAE90时，试猜想线段 AD，BD，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当BACDAE120时，请直接写出线段AD，BD，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）25定义：如图 1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点（1）已
9、知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM 2，MN 3，求BN的长；（2）如图 2，在RtABC中，AC BC，点M、N在斜边AB上，MCN 45，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点（提示：把ACM绕点C逆时针旋转90）；（3）在（2）的问题中，ACM 15，AM 1，求BM的长26RtABC中，CAB 90，AC 4，AB8，M、N分别是边AB和CB上的动点，在图中画出AN MN值最小时的图形，并直接写出AN MN的最小值为 .27如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题
10、：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，AC b，BC a，如图 1，若ACB90，b a，b 6，求a的值.如图 2，若c b a，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC120，BC 4，求ABC的面积.28如图，点 A 是射线 OE：yx（x0）上的一个动点，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为B，过点 B 作 OA 的平行线交AOB 的平分线于点 C（1）若 OA52，求点 B 的坐标；（2）如图 2，过点 C 作 CGAB 于点 G，CHOE 于点 H，求证：CGCH（3）若点 A 的坐标为（2，2），射线 OC 与
11、 AB 交于点 D，在射线 BC 上是否存在一点 P使得ACP 与BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由在（3）的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），请你判断也满足ACP 与BDC 全等的点是（写出你认为正确的点）29如图 1,ABC 和CDE 均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ACCD,ACB=DCE=a，且点A、D、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证:AD=BE.(2)如图 2,若 a=90，CMAE 于 E.若 CM=7,BE=10,试求 AB 的长.(3)如图 3,若 a=120,CMAE 于 E,BNAE
12、于 N,BN=a,CM=b,直接写出 AE 的值(用 a,b 的代数式表示).30如图,在ABC 中,D 是边 AB 的中点,E 是边 AC 上一动点,连结 DE,过点 D 作 DFDE 交边BC 于点 F(点 F 与点 B、C 不重合),延长 FD 到点 G,使 DG=DF,连结 EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:ADGBDF；(2)请你连结 EG,并求证:EF=EG；(3)设 AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段 EF 长度的最小值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1C解析：C【分析】存在 2
13、 种情况，ABC 是锐角三角形和钝角三角形时，高AD 分别在ABC 的内部和外部【详解】情况一：如下图，ABC 是锐角三角形AD 是高，ADBCAB=15，AD=12在 RtABD 中，BD=9AC=13，AD=12在 RtACD 中，DC=5ABC 的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，ABC是钝角三角形在 RtADC 中，AD=12，AC=13，DC=5在 RtABD 中，AD=12，AB=15，DB=9BC=4ABC 的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.2D解析：D【分析】首先利用等
14、边三角形的性质和含30直角三角形的运用，判定DPEFDH，DF2QADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F 运动的路径长.【详解】ABC 为等边三角形，B=60，过 D 点作 DEAB，过点 F 作 FHBC 于 H，如图所示：则 BE=1BD=3，2点 E与点 E 重合，BDE=30，DE=3BE=33，DPF 为等边三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90HDF+DFH=90，EDP=DFH，PED DHF 90在DPE 和FDH 中，EDP DFH，DP FDDPEFDH（AAS），FH=DE=33，点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段
15、到BC 的距离为 33，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF1，BDF1=30+60=90，则 DF1BC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则四边形 DF1F2Q 是矩形，BDE=30，ADF2=60，ADE+F2DQ=1803060=90，ADE+DAE=90，F2DQ=DAE，F2QD DEA 90DF QADE在2和中，F2DQ DAE，DF AD2DF2QADE（AAS），DQ=AE=ABBE=153=12，F1F2=DQ=12，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 12，故选：D【点睛】此题主要考查等边三角形的性
16、质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.3C解析：C【分析】作 DEAB 于 E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作 DEAB 于 E，如图，在 Rt ABC 中，BC102628，AD 是 ABC 的一条角平分线，DCAC，DEAB，DEDC，设 DEDCx，SABD11DEABACBD，22即 10 x6（8x），解得 x3，即点 D 到 AB 边的距离为 3故答案为 C【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关
17、键.4D解析：D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为x、y，斜边上的中线为 d，斜边长为 2d，由勾股定理得，x2+y2=4d2，直角三角形的面积为 S，S 1xy,则 2xy=4S，即（x+y）2=4d2+4S，2x y 2 d2S这个三角形周长为：2【点睛】d2S d，故选：D.本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2.5C解析：C【解析】【分析】本题中蚂蚁要跑的路径有三种情况，知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短蚂蚁爬的是一个长方形的
18、对角线展开成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解【详解】解：如图 1，当爬的长方形的长是(4+6)=10，宽是 3 时，需要爬行的路径的长=cm；如图 2，当爬的长方形的长是(3+6)=9，宽是 4时，需要爬行的路径的长=cm；如图 3，爬的长方形的长是(3+4)=7时，宽是 6 时，需要爬行的路径的长=cm.所以要爬行的最短路径的长故选 C.【点睛】cm.本题考查平面展开路径问题，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线.6C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：c2 a2 b2=13，41ab=131=12，即 2ab=12，则2(ab)2=a2
19、2abb2=13+12=25，故选 C考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形7D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A 关于 EG 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知AB 的长度即为所求【详解】解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作 A 关于 E 的对称点 A，连接 AB 交 EG 于 F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即 AF+BF=AB=20cm，延长 BG，过 A作 ADBG 于 D，AE=AE=DG=4cm，BD=16cm，RtADB 中，由勾股定理得：AD=20216212cm则该圆柱底面周长为24cm故选：D【点睛】本
20、题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力8A解析：A【分析】分别求出以 AB、AC、BC 为直径的半圆及ABC 的面积，再根据 S阴影=S1+S2+S ABC-S3即可得出结论【详解】解：如图所示：BAC=90，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，以 AB 为直径的半圆的面积 S1=2（cm2）；以 AC 为直径的半圆的面积 S2=以 BC 为直径的半圆的面积S3=SABC=6（cm2）；9（cm2）；825（cm2）；8S阴影=S1+S2+SABC-S3=6（cm2）；故选 A【点睛】本题考查的是勾股定
21、理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键9A解析：A【分析】过 C 作 CMAB 于 M，交 AD 于 P，过 P 作 PQAC 于 Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，为 CM 的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM 的长即可解答【详解】过 C 作 CMAB 于 M，交 AD 于 P，过 P 作 PQAC 于 Q，AD 是 BAC 的平分线，PQ=PM，则 PC+PQ=PC+PM=CM，即 PC+PQ 有最小值，为 CM 的长，在 Rt ABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，又S
22、ABCCM 11AB CM AC BC，226824，10524，5PC+PQ 的最小值为故选：A【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决10D解析：D【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3 和 5，当 5 是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=5232=4；当 5 是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=52
23、32=34故选：D二、填空题二、填空题115【解析】试题分析：取 AB 中点 E，连接 OE、CE，在直角三角形 AOB 中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得ACB 是直角三角形，所以 CE=AB，利用 OE+CEOC，所以 OC 的最大值为OE+CE，即 OC 的最大值=AB=5考点：勾股定理的逆定理，1216 3【分析】延长CA、DB交于点E，则C 60，E 30，在RtABE中，利用含30角的直角三角形的性质求出BE2AB8，根据勾股定理求出AE 4 3同理，在RtDEC中求出CE 2CD 8 3，DE CE2CD212，然后根据S四边形ABDC SCDE SABE，计算即可求解【详
24、解】解：如图，延长CA、DB交于点E，四边形ABDC中，ABD120，AB AC，BDCD，C 60，E 30，在RtABE中，AB 4，E 30，BE2AB8，AE BE2 AB2 4 3在RtDEC中，E 30，CD 4 3，CE 2CD 8 3，DE CE2CD212，1SABE44 3 8 3，21SCDE4 312 24 3，2S四边形ABDC SCDE SABE 24 3 8 3=16 3故答案为：16 3【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键131252222【分析】解方程a b 25,a b 7可求得 a=4
25、，b=3，故三角形 ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：a b 25,a b 7，将两个方程相加得：2a232，a0，a=4代入得：42b2 25，b0，b=3，a=3，b=4，c=5 满足勾股定理逆定理，ABC 是直角三角形，2222如下图，ACB=90，CDAB，SABC11ACBC ABCD，221134 5CD，2212解得：CD=，512故答案为：.5【点睛】即：本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.1475 或 6 或【分析】当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：当ABB
26、P 时；当 ABAP 时；当 BPAP时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值【详解】在 RtABC 中，BC2AB2AC27.524.5236，BC6（cm）；当 ABBP7.5cm 时，如图 1，t947.53.75（秒）；2当 ABAP7.5cm 时，如图 2，BP2BC12cm，t6（秒）；当 BPAP 时，如图 3，APBP2tcm，CP（4.52t）cm，AC4.5cm，在 RtACP 中，AP2AC2+CP2，所以 4t24.52+（4.52t）2，解得：t9，4综上所述：当ABP 为等腰三角形时，t3.75 或 t6 或 t故答案为：3.75 或 6 或9494【点睛】此
27、题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.15142 5或82 5【分析】分两种情况考虑：如图1 所示，此时 ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出BD 与 DC 的长，由 BD+DC 求出 BC 的长，即可求出周长；如图 2 所示，此时 ABC 为钝角三角形，同理由BD-CD 求出 BC 的长，即可求出周长【详解】解：分两种情况考虑：如图 1 所示，此时ABC 为锐角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=BC=2 5 3，AB2
28、AD26242 2 5，AC2 AD252423，ABC 的周长为：652 5 3142 5；如图 2 所示，此时ABC 为钝角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=BC=2 5 3，AB2 AD26242 2 5，AC2 AD252423，ABC 的周长为：65 2 5 382 5；综合上述，ABC 的周长为：142 5或82 5；故答案为：142 5或82 5.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键162【分析】连接 AD、CD，由勾股定理得：AB DE 42325，BD4222 2 5，222
29、CD AD 12225，得出 ABDEBC，BD AD AB，由此可得ABD 为直角三角形，同理可得BCD 为直角三角用形，继而得出A、D、C 三点共线.再证明ABCDEB，得出BACEDB，得出 DFAB，BD 平分ABC，再由角平分线的性得出 DFDG2 即可的解.【详解】连接 AD、CD，如图所示：由勾股定理可得，AB DE 42325，BD4222 2 5，CD AD 12225，BE=BC=5，AB=DEABBC，BD2 AD2 AB2，ABD 是直角三角形，ADB90，同理可得：BCD 是直角三角形，BDC90，ADC180，点 A、D、C 三点共线，AC 2AD 2 5 BD，在
30、ABC 和DEB 中，AB DEBCEB，ABCDEB(SSS)，BACEDB，AC BDEDB+ADF90，BAD+ADF90，BFD90，DFAB，AB=BC，BDAC，BD 平分ABC，DGBC，DFDG2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.174,8或6,8或16,8【分析】当ODP是以OD为腰的等腰三角形时，分为两种情况点O 是顶角顶点时，D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP，PM 即可【详解】解：OD 是等腰三角形的一条腰时：若点 O 是顶角顶点时，P 点就是以点 O 为圆心，以 10 为半径的弧与 CB
31、 的交点，在直角OPC 中，CP=OP2OC210282 6，则 P 的坐标是（6，8）若 D 是顶角顶点时，P 点就是以点 D 为圆心，以 10 为半径的弧与 CB 的交点，过 D 作 DMBC 于点 M，在直角PDM 中，PM=PD2 DM210282 6，当 P 在 M 的左边时，CP=10-6=4，则 P 的坐标是（4，8）；当 P 在 M 的右侧时，CP=10+6=16，则 P 的坐标是（16，8）故 P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可
32、能情况是解题的关键183【分析】作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，根据轴对称确定最短路线问题，BN 的长度即为 BM+MN 的最小值，根据BAC=60判断出ABB是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可【详解】如图，作点 B 关于 AD 的对称点 B，由垂线段最短，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，BN 最短，由轴对称性质，BM=BM，BM+MN=BM+MN=BN，由轴对称的性质，AD 垂直平分 BB，AB=AB，BAC=60，ABB是等边三角形，AB=2，BN=23=3，2即 BM+MN 的最小值是3故答案为3【点睛】本题考
33、查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观1949【解析】连接 AC，在 RtABC 中，AB=8，BC=6，B=90，AC=AB2BC2=10在ADC 中，AD=CD=5 2，AD2+CD2=（5 2）2+（5 2）2=100AC2=102=100，AD2+CD2=AC2，ADC=90，S四边形ABCD=SABC+SACD=1111ABBC+ADDC=86+5 25 2=24+25=492222点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键203【分析】根
34、据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知ACM ACM,BCH BCH,BC 15cm，AC 20cm，BC BC 15cm,AC AC 20cm,AB 20155cm，ACB90，AM AB(等量替换)，CH AB（三线合一），AB 25cm,利用勾股定理假设MB的长为 m，AM AM 257m，则有m2(25 7m)2 52，解得m 3，所以MB的长为 3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.三、解答题三、解答题21（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2
35、BC2，证明见解析【分析】（1）先判断出BAE=CAD，进而得出 ACDABE，即可得出结论（2）先求出CDA=1ADE=30，进而求出BED=90，最后用勾股定理即可得出结论2（3）方法 1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出 CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出 CD2+CE2=2AC2即可得出结论【详解】解：BACDAE，BAC+CAEDAE+CAE，即BAECAD又ABAC，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE（2）如图 2，连结 BE，ADAE，DAE60，ADE 是等边三角形，DEAD3，ADEAED60，CDAE，CDA11ADE6030，22由（1）得
36、ACDABE，BECD4，BEACDA30，BEDBEA+AED30+6090，即 BEDE，BDBE2 DE232425（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2BC2，理由如下：解法一：如图 3，连结 BEADAE，DAE90，DAED45，由（1）得ACDABE，BECD，BEACDA45，BECBEA+AED45+4590，即 BEDE，在 RtBEC 中，由勾股定理可知：BC2BE2+CE2BC2CD2+CE2解法二：如图 4，过点 A 作 APDE 于点 PADE 为等腰直角三角形，APDE，APEPDPCD2（CP+PD）2（CP+AP）2CP2+2CPAP+A
37、P2，CE2（EPCP）2（APCP）2AP22APCP+CP2，CD2+CE22AP2+2CP22（AP2+CP2），在 RtAPC 中，由勾股定理可知：AC2AP2+CP2，CD2+CE22AC2ABC 为等腰直角三角形，由勾股定理可知：AB2+AC2BC2，即 2AC2BC2，CD2+CE2BC2【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出BAE=CAD，解（2）（3）的关键是判断出 BEDE，是一道中等难度的中考常考题22（1）BF 长为 6；（2）CE 长为 3，详细过程见解析【分
38、析】（1）由矩形的性质及翻折可知，B=90，AF=AD=10，且 AB=8，在RtABF 中，可由勾股定理求出 BF 的长；（2）设 CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知 BF=6，则 CF=4，在RtCEF 中，可由勾股定理求出 CE 的长【详解】解：（1）四边形 ABCD 为矩形，B=90，且 AD=BC=10，又AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的，AF=AD=10，又AB=8，在RtABF 中，由勾股定理得：BF=AF2-AB2=102-82=6，故 BF 的长为 6（2）设 CE=x，四边形 ABCD 为矩形，CD=AB=8，C=90，DE=CD-CE=8-x
39、，又AFE 是由ADE 沿 AE 翻折得到的，FE=DE=8-x，由（1）知：BF=6，故 CF=BC-BF=10-6=4，在RtCEF 中，由勾股定理得：CF2+CE2=EF2，42+x2=(8-x)2，解得：x=3，故 CE 的长为 3【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键823（1）2 13；（2）；（3）5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒3【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ BP，即2t 8t，解方程即可；（3）当
40、点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当CQ BQ时（图1)，则C CBQ，可证明AABQ，则BQ AQ，则CQ AQ，从而求得t；当CQ BC时（图2)，则BCCQ12，易求得t；当BC BQ时（图3)，过B点作BE AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t【详解】（1）解：（1）BQ 22 4cm，BP AB AP 8216cm，B 90，PQ BQ2 BP24262 2 13(cm)；（2）解：根据题意得：BQ BP，即2t 8t，解得：t 8；383即出发时间为秒时，PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：当CQ BQ时，如图 1 所示：则C CBQ，A
41、BC 90，CBQ ABQ 90，AC 90，A ABQBQ AQ，CQ AQ 5，BC CQ 11，t 112 5.5秒当CQ BC时，如图 2 所示：则BCCQ12t 122 6秒当BC BQ时，如图 3 所示：过B点作BE AC于点E，则BE AB BC68 4.8(cm)AC10CE BC2 BE2 3.6cm，CQ 2CE 7.2cm，BC CQ 13.2cm，t 13.22 6.6秒由上可知，当t为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用24（1）见解析；（2
42、）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3AD+BD【分析】（1）由“SAS”可证ADBAEC；（2）由“SAS”可证ADBAEC，可得 BDCE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由DABEAC，可知 BDCE，由勾股定理可求 DH3AD，由 ADAE，2AHDE，推出 DHHE，由 CDDE+EC2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）BACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：BACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；BDCE，BAC90，ADAE，DE2
43、AD，CDDE+CE，CD2AD+BD；（3）作 AHCD 于 HBACDAE，BADCAE，又ABAC，ADAE，ADBAEC（SAS）；BDCE，DAE120，ADAE，ADH30，AHDH1AD，2AD2 AH23AD，2ADAE，AHDE，DHHE，CDDE+EC2DH+BD3AD+BD，故答案为：CD3AD+BD【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.25（1）5或13；（2）见解析；（3）23【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点 A 作 ADAB，且 AD=BN只要证明ADC
44、BNC，推出 CD=CN，ACD=BCN，再证明MDCMNC，可得 MD=MN，由此即可解决问题；（3）过点 B 作 BPAB，使得 BP=AM=1，根据题意可得CPBCMA，CMNCPN，利用全等性质推出BNP=30，从而得到 NB 和 NP 的长，即得 BM.【详解】解：（1）当 MN 最长时，BN=MN2 AM25，当 BN 最长时，BN=AM2 MN2 13；（2）证明：如图，过点 A 作 ADAB，且 AD=BN，在ADC 和BNC 中，AD BNDAC B，AC BCADCBNC（SAS），CD=CN，ACD=BCN，MCN=45，DCA+ACM=ACM+BCN=45，MCD=MC
45、N，在MDC 和MNC 中，CD CNMCD MCN，CM CMMDCMNC（SAS），MD=MN在 RtMDA 中，AD2+AM2=DM2，BN2+AM2=MN2，点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点；（3）过点 B 作 BPAB，使得 BP=AM=1，根据（2）中过程可得：CPBCMA，CMNCPN，AMC=BPC=120，AM=PB=1，CMN=CPN=A+ACM=45+15=60，BPN=120-60=60，BNP=30，NP=2BP=2=MN，BN=22 123，BM=MN+BN=23.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添
46、加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型26作图见解析，【分析】作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点N，此时 AN+MN 最小，连接 AN，首先用等积法求出 AH 的长，易证ACHANH，可得AN=AC=4，然后设 NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，AM 的长即为 AN+MN 的最小值【详解】如图，作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点 N，此时 AN+MN 最小，最小值为 AM 的长325连接 AN，在 RtABC 中，AC=4，
47、AB=8，BC=AB2 AC2=82 42=4 511ABAC=BCAH22AH=848 5=54 5CAAB，AMAB，CAAMC=ANH，由对称的性质可得 AH=AH，AHC=AHN=90，AN=AN在ACH 和ANH 中，C=ANH，AHC=AHN，AH=AH，ACHANH（AAS）AN=AC=4=AN，设 NM=x，在 RtAMN 中，AM2=AN2-NM2=42 x216 x2在 RtAAM 中，AA=2AH=16 5，AM=AN+NM=4+x5216 52 4 xAM2=AA2-AM2=516 52 4 x=16 x252解得x 1251232=55此时AN MN的最小值=AM=A
48、N+NM=4+【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键27（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）a 的值为9；k 的取值范围为21k 3；（3）ABC的面积为【分析】20 312 3或35（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出a,b,c的等式，然后求解即可；类似分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下a,b,c之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB 的长及ABC面积的表达式，
49、再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出 x 的值，即可得出ABC的面积【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为 2a，恰好是第三边 a 的 2 倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为 1故该命题是真命题；（2）ACB 90,b 6c a2b2a236根据优三角形的定义，分以下三种情况：当ab 2c时，a6 2 a236，整理得a24a 36 0，此方程没有实数根当ac 2b时，aa236 12，解得a 92当bc 2a时，6a236 2a，解得a 86，不符题意，舍去9
50、；2由题意得：a,b,c均为正数综上，a 的值为根据优三角形的定义，分以下三种情况：（c b a）当ab 2c时，则k b1a由三角形的三边关系定理得ba c ab则ba abb ab，解得b3a，即k 32ac1a故此时 k 的取值范围为1k 3当ac 2b时，则k 由三角形的三边关系定理得ca b ac则ca acc ac，解得c 3a，即k 32ac1b故此时 k 的取值范围为1k 3当bc 2a时，则k 由三角形的三边关系定理得cb a bc则cb bcc bc，解得c 3b，即k 32b故此时 k 的取值范围为1k 3综上，k 的取值范围为1k 3；（3）如图，过点 A 作ADBC，