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1、2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的隐函数与参数方程所确定的函数的导数函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义1.隐函数的定义隐函数的定义的形式给出，则称这种形式所确的形式给出，则称这种形式所确的形式称为的形式称为显函数显函数.如果函数如果函数y与自变量与自变量x之间的关系由二元方程之间的关系由二元方程定的函数为定的函数为隐函数隐函数.隐函数的显化隐函数的显化.2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数多数情况下隐函数不能显化多数情况下隐函数不
2、能显化.例如，例如，隐函数不易显化或不能显化时如何求导隐函数不易显化或不能显化时如何求导?2.隐函数的求导法则隐函数的求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.问题问题 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出来即可从中解出来即可.方程中方程中y的函数是的函数是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例1解解，代入方程，代入方程,将此
3、等式两边同时对将此等式两边同时对x求导求导,得得用复合函数求导法用复合函数求导法,设方程设方程)(xyy=可确定函数为可确定函数为2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例2解解将上面方程两边再对将上面方程两边再对2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例3求求椭圆椭圆的切的切线线斜率斜率.在点（在点（3，4）处）处解解 根据导数的几何意义，所求切线斜率就根据导数的几何意义，所求切线斜率就是椭圆方程确定的隐函数在（是椭圆方程确定的隐函数在（3 3，4 4）点）点处的导数值处的导数值.2.4 2.4 隐函
4、数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数3.对数求导法对数求导法(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.有些函数虽然是显函数，但直接求导比较困有些函数虽然是显函数，但直接求导比较困难难，可以利用对数性质使函数的求导变得更，可以利用对数性质使函数的求导变得更为简单为简单.例如形式例如形式对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后然后利用隐函数的求导法求出导数利用隐函数的求导法求出导数.2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例4解解等式两边取对数得等式两边取对数得2.4 2.
5、4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数解解例例5.,yyxxy=求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例6设设 ，求，求 .解解等式两边取对数得等式两边取对数得2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 在研究植物生长情况时，有时需要考察相在研究植物生长情况时，有时需要考察相关变量如植物质量、植物高度、土壤水分等关变量如植物质量、植物高度、土壤水分等之间的关系，而这些变
6、量都是随着时间变化之间的关系，而这些变量都是随着时间变化的，可以看作时间的函数，因此，我们就可的，可以看作时间的函数，因此，我们就可以通过时间变量来分析这些变量之间的关系以通过时间变量来分析这些变量之间的关系.2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数一般地，变量一般地，变量x、y的关系由参数方程的关系由参数方程确定，确定，为由为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.例如例如消去参数消去参数消参困难如何求导？消参困难如何求导？问题问题称由此关系所确定的函数称由此关系所确定的函数2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确
7、定的函数的导数则则单调连续的单调连续的反函数反函数利用复合函数及反函数的求导法得利用复合函数及反函数的求导法得具有具有若函数若函数)(txj j=,)(),(都可导都可导再若函数再若函数tytxy yj j=或或2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数)()(二二若函数若函数 =tytxy yj j阶可导，则阶可导，则不必记公式，重点理解求导过程！不必记公式，重点理解求导过程！2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例7 求椭圆参数方程求椭圆参数方程 所确定所确定的函数的一、二阶导数，并求曲线在的函数的一
8、、二阶导数，并求曲线在处的切线方程与法线方程处的切线方程与法线方程.解解2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数处的切线斜率处的切线斜率故所求的切线方程为故所求的切线方程为法线方程为法线方程为即即即即2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数例例8 已知抛射物体的初始运已知抛射物体的初始运动动速度速度与水平与水平夹夹角角为为 ，的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向.求物体在任意时刻求物体在任意时刻t时时解解运动方程为运动方程为轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿物体在物体在yxt,2.4 2.
9、4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数所以在时刻所以在时刻 t 物体的运动速度大小为物体的运动速度大小为物体的运动方向就是物体的运动轨迹的切线方向物体的运动方向就是物体的运动轨迹的切线方向.由导数的几何意义可知，倾角由导数的几何意义可知，倾角 可用切线斜率反映，可用切线斜率反映，2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数物体运动达到最高点时，物体运动达到最高点时，坠落地面时，坠落地面时，y=0，得得得得又又此时，此时，2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数内容小结内容小结1
10、.隐函数的求导法则隐函数的求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导;2.对数求导法对数求导法实质上是利用复合函数及反函数的求导法则实质上是利用复合函数及反函数的求导法则.对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导;3.参数方程求导参数方程求导2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数思考练习思考练习2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数下列求导过程正确吗？下列求导过程正确吗？解答解答不正确不正确思考练习思考练习2.4 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数隐函数与参数方程所确定的函数的导数