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1、 数学归纳法数学归纳法 (1)数学归纳法的概念：数学归纳法的概念：先证明当先证明当n取第一值取第一值n0(例如可取例如可取n01)时命题成立，时命题成立，然后假设当然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当时命题成立，证明当 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法 (2)数学归纳法适用范围：数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与数学归纳法的适用范围仅限于与 的数的数学命题的证明学命题的证明nk1正整数有关正整数有关 (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：证明当证明当n取取 (如取如取n01
2、或或2等等)时命题时命题正确；正确；假设当假设当nk(kN，kn0)时结论正确，证明当时结论正确，证明当 时命题也正确时命题也正确 由此可以断定，对于任意由此可以断定，对于任意 的正整数的正整数n，命题都正确命题都正确第一个第一个值值n0nk1不小于不小于n0 利用数学利用数学归纳归纳法法证证明代数恒等式明代数恒等式时时要注意两点：一要注意两点：一是要准确表述是要准确表述nn0时时命命题题的形式，二是要准确把握由的形式，二是要准确把握由nk到到nk1时时，命，命题结题结构的构的变变化特点并且一定要化特点并且一定要记记住：在住：在证证明明nk1成立成立时时，必，必须须使用使用归纳归纳假假设设 例
3、例2求求证证：x2ny2n(nN)能被能被xy整除整除 思路点思路点拨拨本本题题是与正整数有关的命是与正整数有关的命题题，直接分解，直接分解出因式出因式(xy)有困有困难难，故可考，故可考虑虑用数学用数学归纳归纳法法证证明明 证明证明(1)当当n1时，时，x2y2(xy)(xy)能被能被xy整除整除 (2)假设假设nk(k1，kN)时，时，x2ky2k能被能被xy整除，整除，那么当那么当nk1时，时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与与x2y2都能被都能被xy整除，整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被能被xy
4、整除整除即即nk1时，时，x2k2y2k2能被能被xy整除整除由由(1)(2)可知，对任意正整数可知，对任意正整数n命题均成立命题均成立 利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项添项”与与“减项减项”“因式分解因式分解”等变形技巧，凑出等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被能被9整除整除证明：证明：当当n1时，时，47127能被能被9整除命题成立整除命
5、题成立假设假设nk时命题成立，即时命题成立，即(3k1)7k1能被能被9整除，整除，当当nk1时，时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由由归纳归纳假假设设(3k1)7k1能被能被9整除，又因整除，又因为为 18k7k277k也能被也能被9整除，所以整除，所以3(k1)17k11能被能被9整除，整除，即即nk1时时命命题题成立成立则则可知可知对对所有正整数所有正整数n命命题题成立成立4用数学用数学归纳归纳法法证证明：明：当当n为为正奇数正奇数时时，xnyn能被能被xy整除整除证证明：明：(1
6、)当当n1时时，xy能被能被xy整除整除(2)假假设设n2k1时时，x2k1y2k1能被能被xy整除，当整除，当n2k1时时，x2k1y2k1x2k1y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(xy)(xy)，根据根据归纳归纳假假设设x2k1y2k1能被能被xy整除，另一整除，另一项项有因有因式式xy，因此也能被因此也能被xy整除，整除，所以，当所以，当n2k1时时，命，命题题仍然成立仍然成立根据根据(1)(2)可知当可知当n为为正奇数正奇数时时，xnyn能被能被xy整除整除.用数学用数学归纳归纳法法证证明几何明几何问题时问题时，一定要清楚从，一定要清楚从nk到到nk1时
7、时，新增加的量是多少一般地，新增加的量是多少一般地，证证明第二步明第二步时时，常用的方法是加，常用的方法是加1法，即在原来法，即在原来k的的基基础础上，再增加一个，当然我上，再增加一个，当然我们们也可以从也可以从k1个中个中分出分出1个来，剩下的个来，剩下的k个利用假个利用假设设6求求证证：平面内有：平面内有n(n2)条直条直线线，其中任意两条直，其中任意两条直线线不不平行，任意三条直平行，任意三条直线线不不过过同一点，求同一点，求证证它它们们彼此互相彼此互相分割成分割成n2条条线线段段(或射或射线线)证证明：明：(1)当当n2时时，两条直，两条直线线不平行，彼此互相分割不平行，彼此互相分割成
8、成4条射条射线线，命，命题题成立。成立。(2)假假设设当当nk时时，命，命题题成立，即成立，即k条条满满足条件的直足条件的直线线彼彼此互相分割成此互相分割成k2条条线线段段(或射或射线线)那么那么nk1时时，取，取出其中一条直出其中一条直线为线为l，其余，其余k条直条直线线彼此互相分割成彼此互相分割成k2条条线线段段(或射或射线线)直直线线l把把这这k条直条直线线又一分又一分为为二，多出二，多出k条条线线段段(或射或射线线)；l又又被被这这k条直条直线线分成分成k1部分，所以部分，所以这这k1条直条直线线彼此互相分彼此互相分割成割成k2kk1(k1)2条条线线段段(或射或射线线)，即，即nk1时时，命命题题成立成立由由(1)，(2)知，命知，命题题成立成立点击下图进入创新演练点击下图进入创新演练