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1、计数原理及其概率教学建议2014.03.28要点计数原理教材分析 分类计数原理和分步计数原理的本质是计数,即寻求完成一件事的方法数,能够区别它们的不同是正确进行分类和分步,进而解决问题的关键.同时也体现了我们解决具体问题时常用的两种方法:将问题分类还是分步解决.两个原理的不同点:分类计数原理中的n类办法是并行的,一步到位的,只要选中一类办法中的一个方法即可完成这件事;分步计数原理中的n个步骤是一个接着一个的,缺一不可,即只有完成每一个步骤才能完成这件事.计数原理教材分析 排列数与组合数都是计算从n个不同元素中任意取出m个不同元素的方法数,究竟使用哪个公式,关键是能区别它们的不同点:是否有序.教
2、学时要立足基础知识和基本方法,通过典型例题的分析,构建思维模式,造就思维依托,选择恰当的切入点,从不同的侧面,通过分类与分步,把原问题转化为几个小问题,达到解决排列组合应用题的目的.解题思路,可以概括为:审明题意,排组分清；合理分类,用准加乘；周密思考,防漏防重；直接间接,思路可循；元素位置,特殊先行；一题多解,检验真伪.计数原理教材分析123312231例1.将1,2,3填入的方格中,要求每 行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有()种.（A）6（B）12（C）24 （D）48 注:数学理论既来源于生活,又指导着我们的生活.很多实际问题,要敢于让学生根据生活的经验来完成
3、,敢于让学生体会理论的形成过程,使学生对数学有一种亲切感,进而使学生热爱数学.法一:自上而下,分三步:第一行,有 种方法;第二行只要确定了第一个位置,其它两个就确定了;第三行是唯一的.共有 种方法.计数原理教材分析123312231例1.将1,2,3填入的方格中,要求每 行、每列都没有重复数字,下面是一种填法,则不同的填写方法共有()种.（A）6（B）12（C）24 （D）48 注:排列组合题随着考虑问题的角度不同,可能有多种做法.要敢于让学生充分发表自己的观点和意见,不断培养学生独立思考的能力,提高自信心.法二:中心开花,分四步:先填中心格,有3种方法;第二行的另两个位置,有 种方法;第二列
4、的另两个位置有 种方法;剩下位置是唯一的.共有种方法.计数原理教材分析 本章的重点是分类加法计数原理、分步乘法计数原理,排列与组合的意义,排列数、组合数计算公式,二项式定理.但要注意数形结合、分类讨论、等价转化、整体思想、正难则反等数学思想的运用.本章的难点是如何运用计数原理和有关公式解决应用问题.在教学时应循序渐进,允许学生有一个适应过程,对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析,通过具体实例,让学生掌握一些基本原理进行计数的基本方法和技巧.计数原理教材分析例2.三封信投入到5个邮筒,有多少种投法?由a,b,c,d到e,f的映射共有多少个?解:种投法;个映射.注:“投信与映射”问题可重复,
5、直接分步例3.100件产品中,正品97件,次品3件,现从中取出5件检验,取出的5件全是正品的取法有多少种？取出的5件中恰好有2次品的取法有多少种？取出的5件中至少有2次品的取法有多少种？注:“含与不含”问题确定范围 第三问也可以采用间接法,但要不重不漏.解:种;种;种.产品的抽样检查和古典概型问题联系较紧密.计数原理教材分析例4.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种？2,5同色:则3,6或4,6也同色,有 种;3,5同色:则4,2或4,6也同色,有 种;2,4且3,6同色:种;注:“染色”
6、问题合理分类与分步解法一:由题意知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类:故不同的栽种方法有 种.计数原理教材分析例4.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种？由树状图可见:解法二:分步,先排1,2,3,有 种方法,再排其它部分.不妨设1,2,3已分别栽种 A,B,C,则4,5,6,栽种方法共5种.故不同的栽种方法有 种.456BCDBC456DBCCDD计数原理教材分析例5.把4人分成两组两组人数分别为1、3,有多少种分法?平均分成第一、第二两组,有多少种分法?平均分成两组,有多少种分法
7、?解:种;种;种.注:分组问题有序均分和无序均分例6.9名翻译中,6个懂英语,4个懂日语,从中安排5人参加5个不同的部门(每部门一人)从事外事活动,其中3个部门需要英语翻译,2个部门需要日语翻译,选派的方法有多少种？注:排组混合问题先选后排解:种.英5日 31计数原理教材分析注:至多至少问题正难则反例7.编号为1、2、3、4、5的五人入座编号也为1、2、3、4、5的五个座位,至多有2人对号的坐法有几种？问题的正面有三种情况：全不对号;有且仅有一个对号;有且仅有两个对号.这三种情况都较难处理.而反面只有两种情况：全对号(四人对号时一定全对号);有且仅有3个对号.解:有且仅有3人对号时,只要先从五
8、人中选出3 人(有 种),其余两人不对号(此时只有 1种情况)即可;而全对号只有1种情况.故坐法总数为:种.计数原理教材分析例8.3位男生,5位女生坐在一排照相,三位男生必须坐在一起,有多少种坐法?甲、乙相隔一人,有多少种坐法?三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法?注:“邻与不邻”问题捆绑与插空.解:有 种;先选一人与甲、乙作为一个整体,再排列.有 种;先把女生排列,再把男生插入(即插空).共有 种坐法.三位男生必须坐在一起,分两个步骤完成,即把三位男生排成一列,再把这个排列作为一个整体元素(即捆绑),与其他女生进行排列计数原理教材分析例8.3位男生,5位女生坐在一排照相,甲、乙两人必须在
9、两端,有多少种坐法?甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?甲、乙两人必须在两端,说明甲、乙两人有特殊要求,应优先考虑,即先甲、乙,再其他人解:共有 种坐法;同样优先考虑甲、乙.分两类:甲在排尾;甲不在排尾.甲不在排尾又分三步:先甲,再乙,然后其他人.也可应用集合的元素思想间接排除,即从总数中减去甲在排头乙在排尾的情况.共有 (或 )种坐法.注:“在与不在”的问题特殊优先.计数原理教材分析例8.3位男生,5位女生坐在一排照相,甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?甲、乙相邻且甲在乙的左边,有多少种坐法?甲、乙、丙三人顺序一定,可以先让这8人排成一列,再按要求调整甲、乙、丙三人顺序解:共有 种坐法;
10、甲、乙相邻且甲在乙的左边,可以把甲、乙作为一个整体和其他人进行排列.也可以把其他人进行排列,再把甲、乙作为一个整体插入.注:顺序一定问题先排后除(或先定后插)共有 (或 )种坐法.计数原理教材分析例9.5个老师分配到3个班搞活动,每班至少一 个,有几种不同的分法？解:共有 种分法.注:“同与不同”问题先分再排或档板分隔例10.10张参观公园的门票分给5个班,每班至少1张,有几种分法？各位老师是不同人,每班至少一个,要按3,1,1;2,2,1先分组,再分配到3个班级,即进行排列 注意到10张参观公园的门票是相同的,只要把这10张票分成5组,让5个班依次拿走即可.如果用分类的办法分组,情况较多.可
11、以相象用4个班档板插入中间,很自然就分成5组解:共有 种分法.计数原理教材分析例11.求 展开式的 常数项;项 的系数;写出所有的无理项;各项系数的和.二项式系数与系数的区别;注:重点是展开式的通项公式:解:展开式的通项公式:常数项为:240;项 的系数为:-192;无理项为:,.各项系数和为x=1的值.各项系数的和为:1.计数原理教材分析注:多项式函数 的系数特点例12.设 ,求值 ,.由 ,解:设 f(x)=得:常数项为f(0);各次项系数和为f(1);奇次项系数和为:f(1)-f(-1)/2;偶次项系数和为:f(1)+f(-1)/2.由通项公式:知奇次项系数为负,偶次项系数为正.从而则:
12、=f(0)=1,=f(1)=-512计数原理教材分析注:注意二项展开式的形成过程.例13.求 展开式中 的系数.法一:展开式的通项公式:展开式的通项公式:得 展开式中 的系数为 .法二:注意到展开式的每一项都是取自7 个括号中7 项的乘积(每一个括号恰取一项),所以展开式的一次项只能是某一个括号取一次项,其它括号取常数项,又由于个括号的一次项是不同的,依据分类计数原理,得所求系数为:概率教材分析 本章知识是在学生己学习了(数学3)统计与概率两章知识的基础上的进一步深入和扩展.教学的重点应放在,帮助学生正确理解随机变量的概念,以及如何用数学方法研究随机现象,用函数的观点理解离散型随机变量的概率分
13、布上,通过实例理解分布列的性质、期望(均值)与方差等概念与意义.教学中有必要回顾随机事件的基本事件空间的概念、古典概型、几何概型,特别是加法公式、贝努里概型与二项分布的关系,使学生对概率内容有一个比较完整的认识.概率教材分析 概率的基本知识和方法已经成为高中数学的重要组成部分,北京近年高考都有一道解答题,属于典型的中档题.由于概率与实际生活联系紧密,是研究随机现象的基础,因而考题往往以实际应用题出现.考查的重中之重是随机事件的独立性(贝努里概型,即二项分布就源于事件的独立性),而沟通实际问题和数学问题的桥梁往往是古典概型.教学时要把等可能事件的概率作为基础分清楚易混淆概念(如互斥、对立、独立等
14、)的区别与联系,把握好各类公式(等可能事件的概率、加法公式、乘法公式、贝努里概型)适用的条件,能够从不同的概率教材分析 实际问题抽象出数学的本质问题来套用模型化的公式,达到解决问题的目的.要知道随机变量是把随机事件数量化后的再认识；另外,要注意概率解答题书写的规范性、严谨性,计算、推理要有依据,不能成为小学数学只列一个算术式子来回答问题.总之,要让学生再次体会知识和方法的形成和建构过程,再次体会等价转化、分类讨论等思想方法,再次体会“随机”、“变化”、“个别”与“规律”、“静态”、“整体”的辩证统一,从偶然的表面现象揭示出随机现象的规律性.概率教材分析贝努里概型（独立重复试验序列）:一般地，在
15、n次独立重复试验中，如果事 件A在每次试验中发生的概率均为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：注:贝努里概型的特点:试验总次数是有限的,确定的;每次试验之间是相互独立的;每次试验中事件A发生的概率是一个确定的常数;n次试验中事件A发生了k次,但对在哪k次发生没有要求.概率教材分析-基本公式的运用注:通过合理的分类,恰当的分步,提高把复杂事件分解成简单事件的和或积的能力.例14.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在
16、每局中参赛者胜负的概率均为1/2,且各局胜负相互独立.求:()打满3局比赛还未停止的概率；()比赛停止时已打局数 的分布列与期望 .概率教材分析-基本公式的运用设 ,分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜,甲乙甲丙乙丙丙乙乙甲甲甲甲丙乙乙丙丙丙丙乙甲树状图开始则”打满3局比赛还未停止”且概率教材分析-基本公式的运用例15.已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到
17、能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（2）表示依方案乙所需化验次数,求 的期望概率教材分析-基本公式的运用分析:从所给题目中可知两个方案所需化验次数都不是确定的常数,必须清楚两个方案所需化验次数的取值及相应的概率,即概率分布.由此,第二问实际是在送分,关键是突破第一问.设方案甲的化验次数为 ，则它的取值为1,2,3,4.法一(古典概型)：法二(古典概型)：如果把五个动物依次化验,患病记做 ,未患病记做 ,则样本空间为:从而：概率教材分析-基本公式的运用法三：=“方案甲第i次的化验结果呈阳性”,设同理 =“方案乙
18、第i次的化验结果呈阳性”,i=1,2,3,.则：从而概率分布为：1234P0.20.20.20.4123P00.60.4故方案甲化验次数不少于方案乙次数的概率为:概率教材分析-基本公式的运用注-对基本公式运用的两点体会:1.对于利用随机事件的关系和运算把复杂事件用简单事件表示的能力较过去有了明显提高,也即对两个公式(加法和乘法)加大了考察的力度;但对于运用排列组合知识解决古典概型的概率问题没有明显变化,所以对于古典概型问题避免做偏题和难题,要注重基础.2.对于古典概型中样本空间(基本事件总数)的认识,随着考虑问题的角度不同是不一样的,尽可能一题多解,切实提高学生分析问题和解决问题的能力,但要注
19、意分子和分母所包含的基本事件的一致性.概率教材分析-两个概型的辨别例16.某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门.该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门选修课的兴趣相同.()求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；()求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；()设随机变量 为选修数学史这门课的学生人数,求 的分布列与数学期望.注:显然它可以认为独立重复试验,但不是贝努里概型.一是每次试验只有两个相同的结果且概率相同,但本题有4个;二是如果把贝努里概型作为古典概型的特殊情况,基本事件总数应为 .概率教材分析-两个概型的辨别例17.某射击测试规则为:每人最
20、多射击3次,击中目标即终止射击,第i次击中目标得4-i(i=1,2,3)分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,各次射击结果互不影响.（）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为 ,求随机变量 的分布列及数学期望注:表面上是独立重复试验,但不是贝努里概型,贝努里概型的试验次数是不变的,显然本题中的射击次数是不确定的,是典型的对基本公式的考察.如果设3次射击中击中目标分别为A,B,C,则:概率教材分析-两个概型的辨别例18.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为2/3，乙队中3人答对的
21、概率分别为2/3,2/3,1/2,且各人正确与否相互之间没有影响.用 表示甲队的总得分.()求随机变量 分布列和数学期望；()用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).注:由于违反等概性,取值的概率不能用古典概型,而是贝努里概型.如果每人答对的概率都是1/2,就可以认为基本事件为 的古典概型问题.概率教材分析-两个概型的辨别例19.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（3）设随机变量
22、为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求 的分布列注:可能的错误:设A、B分别为甲、乙两人同时参加A岗位服务,则P(AB)=P(A)P(B)=(1/4)(1/4)=1/16 如果把条件“每个岗位至少有一名志愿者”去掉,那么基本事件的总数为 .事件A与B变为相互独立的,学生上面的做法就是正确的.实际上,基本事件总数为:概率教材分析-条件的呈现方式例20.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T(单位：年)有关.若 ，则销售利润为0元；若 ，则销售利润为100元；若 ，则销售利润为200元.设每台该种电器的无故障使用时间 ,及 这三种情况发生的概率分别为 ,又知 是方程 的两个根，且
23、.的值；（）求（）记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的分布列；（）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.注:以概率的基本性质为知识点,方程为平台搭建已知条件,考察了学生综合运用知识的能力;关键:通过方程组概率教材分析-条件的呈现方式例21.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1/2与p,且乙投球2次均未命中的概率为1/16.（）求乙投球的命中率p;（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率注:已知条件中并不是以我们的习惯形式,告诉乙投球的命中率求乙投球2次均未命中的概率.而是一个逆过程,可通过方程(1-p
24、)(1-p)=1/16求得p=3/4.另外甲投球命中次数的概率既可以按贝努里概型计算,也可以按古典概型计算,但乙投球命中次数的概率一般不按古典概型计算.概率教材分析-条件的呈现方式例22.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2/5；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9.（）若袋中共有10个球,(i)求白球的个数；(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望 .（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.注:设白球的个数为n,则应用对立事件的概
25、率公式:,从而白球5个,黑4个,红1个.概率教材分析-条件的呈现方式注:对于第()问指出袋中哪种颜色的球最少,容易猜出红球最少.要注意第一问的铺垫作用.由题意可设袋中共有5n个球,其中黑球2n个,白球和红球3n个.法一:设第一次,第二次摸出黑球分别为A,B,则任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率为:法二:(古典概型)所求概率为:概率教材分析-条件的呈现方式例23.学校文艺队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有2人,会跳舞的有5人,现从中选2人,设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 (I)求文艺队的人数；(II)求 的分布列及期望.注:运用集合的思想进行分类,设既会唱歌又会跳舞
26、的人数为x,则只会唱歌的人数为2-x,只会跳舞的人数为5-x,总人数为7-x,如图:从而唱跳x2-x5-x即文艺队的总人数为5人.概率教材分析-条件的呈现方式例24.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设 为成活沙柳的株数,数学期望 ,标准差 为 .（）求n,p的值并写出 的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.注:以二项分布的期望 和标准差 搭建方程,求待定系数n=6,p=1/2.对于概率的基本性质要求学生加以掌握,如:概率教材分析-条件的呈现方式例25.袋中有
27、20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.()求 的分布列,期望和方差；()若 ,试求a,b的值.注:显然记有0号的球有10个,1号球1个,2号球2个,3号球3个,4号球4个.易知分布列为:运用公式:01234P1/21/201/103/201/5概率教材分析-正态分布定义:如果连续型随机变量 的概率密度函数为则称随机变量 服从正态分布,记作 特别地,当 时,则称随机变量 服从标准正态分布,记作标准正态分布的密度函数:正态分布的数学期望:,方差:正态分布的密度曲线:密度函数的性质:概率教材分析-正态分布连续型随机变量分布函数的定义:当随机变量 服从标准正态分布,分布函数为:几何意义:注:(1)如果 ,则 ,且(2)如果 ,则 ,且 概率教材分析-正态分布例26.设两个正态分布 的密度函数图像如图所示。则有（）解:A例27.在某项测量中,测量结果 服从正态分布 ,若 在(0,1)内取值的概率为0.4,则 在(0,2)取值的概率为_.此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢