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1、十十堰堰市市东东风风四四中中 吴吴丰丰华华问题问题：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是1400多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的石拱桥石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37 m,拱高拱高(弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离)为为7.23 m，你知道赵州桥主桥拱的半径吗你知道赵州桥主桥拱的半径吗？今天我们将研究如何求出赵州桥主拱桥的半径。？今天我们将研究如何求出赵州桥主拱桥的半径。赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究用纸剪一个
2、圆，沿着圆的用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，任意一条直径对折，重复几次重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？结论？你能证明你的结论吗？可以发现：圆是轴对称图形，任何可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴一条直径所在直线都是它的对称轴O O 实践探究实践探究(小组合作讨论）小组合作讨论）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 你能证明这个结论吗？说说你的方法。你能证明这个结论吗？说说你的方法。OAADM如图，设如图，设CD是是 O的任意一条直径，
3、的任意一条直径，A为为 O上除点上除点C、D以外的任意一点，过点以外的任意一点，过点A作作AA CD交交 O于点于点A，垂足，垂足为为M,连接连接OA，OA.分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点任意一点关于关于直径所在的直线的对称点也在圆上即可直径所在的直线的对称点也在圆上即可。C在在OAA中，中，OA=OA OAA是等腰三角形是等腰三角形又又 AA CDAM=AM即即CD是是AA的垂直平分的垂直平分线，这就是说，对于圆线，这就是说，对于圆上任意一点上任意一点A，在圆上，在圆上都有关于直线都有关于直线CD的对的对称点称点A，因此，因此 O关于
4、关于直线直线CD对称，对称，即任何一条直径所在直即任何一条直径所在直线都是它的对称轴线都是它的对称轴 实践探究实践探究请同学们拿出自己手中的圆，任意画出请同学们拿出自己手中的圆，任意画出 O的一条弦的一条弦AB，做直径，做直径CD，使使CD AB，垂足为，垂足为M请同学们沿着请同学们沿着CD折叠折叠 O，仔细观察并回答下列，仔细观察并回答下列问题：问题：你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDM活活 动动 三三 线段：线段：AM=BM 因为圆是轴对称图形，所以把圆沿着直径因为圆是轴对称图形，所以把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个
5、半圆重合，点两侧的两个半圆重合，点A与点与点B重重合，合，AM与与BM重合，弧重合，弧AC、弧、弧AD分别与弧分别与弧BC、弧弧BD 重合重合弧：弧弧：弧AC=弧弧BC，弧，弧AD=弧弧BD归纳总结归纳总结OABCDM由此，我们得到下面的定理：由此，我们得到下面的定理：即直径即直径CDCD平分弦平分弦ABAB，并且平分弧，并且平分弧AB及弧及弧ACB垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并平分弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧AM=BM，弧，弧AD=弧弧BD，弧，弧AC=弧弧BC CD是是 O的直径且的直径且 CDAB,AM=BM,AC=BC,AD =BD.AM=BM,CD是直径是直
6、径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,几何语言表达：几何语言表达：两个两个条件条件三三个个结结论论关关于于垂垂径径定定理理有有上上述述证证明明方方法法外外，你你还还能能用用其其他他的的方方法法证证明明这这个个结结论论吗吗？说说你的看法？说说你的看法？是是不是不是是是不是不是OEDCAB 分析下列图形是否具备垂径定理的条件？分析下列图形是否具备垂径定理的条件？垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线、线段或射线。从而得到垂径定理的变式：例例1、如图，在、如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8 cm，圆心，圆心O到弦
7、到弦AB的的距离为距离为3 cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答：O的半径为的半径为5 cm.在RtAOE中，总结：常构造以弦、半径、弦心距为边的直角三角形，利用总结：常构造以弦、半径、弦心距为边的直角三角形，利用垂径定理和直角三角形的相关知识来解决问题。垂径定理和直角三角形的相关知识来解决问题。如图，连接OA,过点O作OEAB于点E 解得解得R27.3(m).ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：解决求赵州桥拱半径的问题：在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（R7.23）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3
8、m.OA2=AD2+OD2AB=37m，CD=7.23 m，OD=OCCD=R7.23分析：如图分析：如图如图，用弧如图，用弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径，半径为为R 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与弧与弧AB相交于点相交于点C.根据前面的结论可知，根据前面的结论可知，D是弦是弦AB的中点，的中点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高 3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。8cmA AB BO OE EA AB
9、BO OE EO OA AB BE E1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm,那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 O的直径为的直径为10cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 。4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD 5如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证：四边形，求证：四边形ADOE是正方形是正方形OABCDE 6 6、O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的距离是间的距离是_ _ .2cm或或14cm（1）.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCDEF（2）.两条弦在圆心的异侧两条弦在圆心的异侧OABCDOABCDMN2cm或或14cm说出你这节课的收获和体会，让大家说出你这节课的收获和体会，让大家与你一起分享！与你一起分享！