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1、3.4 3.4 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组返回一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组即即 AX=0平凡解平凡解：X=0(零解零解)设设 A=(1,2,n),则下列命题等价：则下列命题等价：1o 1,2,n线性相关线性相关;2o AX=0有非零解有非零解;1.AX=0 1.AX=0 解的判定条件解的判定条件（1）若R(A)n,则AX=0有非零解；（2）若R(A)n,则AX=0只有零解.注：若A为方阵，则（1）若det(A)=0,则AX=0有非零解；（2）若det(A)0,则AX=0只有零解.2.解的性质解的性质（
2、解向量）（解向量）（1）AX=0 的两个解向量的和仍为的两个解向量的和仍为AX=0的解的解.（2）AX=0 的一个解向量的常数倍仍为的一个解向量的常数倍仍为AX=0的解的解.（3）AX=0 的解向量的线性组合仍为的解向量的线性组合仍为AX=0的解的解.W=X Rn|AX=0为为Rn的子空间的子空间（1）定义：）定义：W 的一组基的一组基.1o 1,2,s 线性无关线性无关;则称则称 1,2,s为为AX=0 的一个基础解系的一个基础解系.2o AX=0的任一解向量均可由的任一解向量均可由 1,2,s 线性表出线性表出 定理定理1 设设R(A)=r n,则则AX=0有基础解系且所有基础解系且所含向
3、量个数为含向量个数为n-r,即即dimW=n-r,这里这里n为方程组为方程组未知数个数未知数个数.（具体举例说明）具体举例说明）3.解空间解空间4.基础解系基础解系（最大无关（最大无关组组）（2）构成条件：）构成条件：（3）求法（）求法（含在证明中含在证明中）：）：例例1 求方程组的基础解系求方程组的基础解系解解:(2)得同解方程组得同解方程组(x3,x4为为自由未知量自由未知量)(3)求基础解系（对自由未知量取值）求基础解系（对自由未知量取值）（求得两个解）（证明这样的解构成基础解系）设设 1,2,n-r 为为AX=0 的一个基解系，则的一个基解系，则 AX=0 的解的解，=k1 1+k2
4、2+kn-r n-r,k1,k2,kn-r R.（1）AX=0 的基解系一般不惟一，但其任一基的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为解系中所含向量个数必为 n(未知数个数未知数个数)-R(A).AX=0 的的 通解通解通解通解（2）若若AX=0有非零解，则必有无穷多个解有非零解，则必有无穷多个解.5.通解通解注注：6.AX=0的的解法（四步）解法（四步）（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量基本未知量、自由未知量）（3）求基础解系（对自由未知量取值对自由未知量取值）（4）写出通解例例1 求方程组的通解求方程组的通解解解(2)得同解方程组得同解方程组(x2,x4为为自由未知量
5、自由未知量)(3)基础解系为基础解系为(4)通解为通解为例例2 解解解解r(A)=3 =n,只有零解只有零解 X=0例例3 解解解解得同解方程组得同解方程组(x3为自由未知量为自由未知量)基础解系为基础解系为方程组通解为方程组通解为 例例4 证明：与证明：与AX=0基础解系等价的线性无关基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系的向量组也是该方程组的基础解系.证证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等相等.设设 1,2,s 是是AX=0基础解系，基础解系，1,2,s与之等价与之等价.1,2,s可由可由 1,2,s 线性表出，所以是线性表出，
6、所以是AX=0的解；的解；AX=0的任一解的任一解X 可由可由 1,2,s 线性表出，线性表出，故，故，1,2,s 是是AX=0的基础解系的基础解系.又又 1,2,s可由可由 1,2,s线性表出，所以线性表出，所以X 可可由由 1,2,s 线性表出线性表出；例例5 设设n阶矩阵阶矩阵A,B满足满足AB=O,证明：证明：R(A)+R(B)n.证证设设 B=(b1,bn),则则AB=A(b1,bn)=(A b1,Abn)=O,A bi=0,i=1,n.bi(i=1,n)为为AX=0的解，所以可由基础解系的解，所以可由基础解系 1,2,n-r(r=R(A)线性表出线性表出.所以所以,R(B)=秩秩(
7、b1,bn)秩秩(1,2,n-r)=n-R(A).即即 R(A)+R(B)n.第二章第二章 2.5例例5 设设A为为n阶矩阵阶矩阵(n2)，证明，证明证证 若若R(A)=n:R(A)n-1:detA0，A中所有中所有n-1阶子式均为零阶子式均为零，二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组即即 AX=b设设 A=(1,2,n),即即x1 1+x2 2+xn n=b,AX=b 有解有解 b可由可由 1,2,n线性表出线性表出 (AX=0称为称为AX=b的的导出组导出组)1.1.AX=b 的的导出组导出组2.AX=b 解的判定解的判定（1）若）若 ,AX=b 无解无解（2）若）若 ,AX=b 有解，
8、且有解，且当当 ，AX=b 唯一解；唯一解；当当 ，AX=b 无穷解无穷解.2.解的性质解的性质：性质性质1 设设 1,2 为为AX=b 的解的解,则则 1-2为其导出组为其导出组AX=0的解的解.证证 A(1-2)=A 1-A 2=b b=0所以，所以，1-2为为AX=0的解的解.性质性质2 设设 为为AX=b 的解的解,为为AX=0的解，则的解，则 +为为AX=b 的解的解.证证 A(+)=A +A =b+0=b所以，所以，+为为AX=b 的解的解.AX=b 的的特解特解：AX=b 的任一解的任一解.性质性质3 设设 0 为为AX=b 的一个特解的一个特解,则则AX=b 的任一解的任一解
9、可表为可表为 =0+,(为为AX=0 的一个解的一个解)对于对于AX=b 的任一个特解的任一个特解 0,当当 取遍它的导出组的取遍它的导出组的全部解时，全部解时，=0+就给出就给出AX=b 的全部解的全部解.性质性质3的证明的证明 =0+(-0)为为AX=0的解，设为的解，设为 为了求为了求AX=b 的通解（全部解），只需求其一个特的通解（全部解），只需求其一个特解解 0,以及导出组的全部解即可：以及导出组的全部解即可：设设 0为为AX=b 的一个特解，的一个特解，1,2,n-r为其为其导出组导出组的基础解系，则的基础解系，则AX=b 的通解的通解为为 X=0+k1 1+kn-r n-r,k1
10、,kn-rR 3.AX=b 的通解的通解（2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量）（4）求导出组的基础解系（对自由未知量取值）求导出组的基础解系（对自由未知量取值）（3）求特解（自由未知量取）求特解（自由未知量取0）（5）写出通解）写出通解4.AX=b解的求法（解的求法（五步五步）例例6 解解解解:有无穷多解有无穷多解（2）得同解方程组）得同解方程组(3)求非齐次的求非齐次的特解特解:取取x3=0,得得 0=(3,2,0)T(4)求求导出组导出组的基础解系的基础解系:取取x3=1,得得 =(1,-2,1)T（5）AX=b 的通解为：的通解为：X=0+
11、k ,k R例例7 解解解解无解无解例例8 解解解解(1)=1时，时，有无穷多解有无穷多解得同解方程组得同解方程组 x1=1-x2 x3 导出组基础解系：导出组基础解系：1=(-1,1,0)T,2=(-1,0,1)T非齐次特解：非齐次特解：0=(1,0,0)T原方程组通解：原方程组通解：X=0+k1 1+k2 2,k1,k2 R(2)=-2时，时，无解无解(3)1,-2时，时，有惟一解：有惟一解：1.证证思考题【略】思考题【略】已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为2.解解3.解解方法方法1方法方法2（更简单）：（更简单）：线性无关，所以为线性无关，所以为AX=0的基础解系的基础解系.为为AX=b 的解的解.