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1、 第五章第五章 系统的校正和控制器的设计系统的校正和控制器的设计一般控制系统的结构可由下图表示一般控制系统的结构可由下图表示:执行机构执行机构被控对象被控对象r(t)y(t)实际中实际中,一旦执行机构和被控对象选定后一旦执行机构和被控对象选定后,其特性也确定其特性也确定.r(t)是是给定的输入信号给定的输入信号,y(t)是被控对象的输出信号是被控对象的输出信号,也叫被控量也叫被控量.当当y(t)不满足人们所期望的要求时不满足人们所期望的要求时,就将输出就将输出y(t)反馈到输入端反馈到输入端,构成如构成如下的闭环系统下的闭环系统:执行机构执行机构被控对象被控对象r(t)y(t)控制器控制器e(
2、t)检测变送器检测变送器 由图可知由图可知,给定的输入信号给定的输入信号r(t)与实际输出与实际输出y(t)的测量值进行的测量值进行比较得偏差信号比较得偏差信号e(t),控制器按控制器按e(t)的大小和方向以一定的规律给的大小和方向以一定的规律给出控制信号推动执行机构动作使输出出控制信号推动执行机构动作使输出y(t)满足人们所期望的要求满足人们所期望的要求.控制器的本质是对其输入信号控制器的本质是对其输入信号e(t)按某种运算规律进行运算按某种运算规律进行运算,这种这种运算规律也叫控制规律运算规律也叫控制规律.本章的内容仅涉及如何设计控制规律以本章的内容仅涉及如何设计控制规律以满足人们对控制系
3、统的性能要求满足人们对控制系统的性能要求.5.1 状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置 用古典控制理论只能对输出进行反馈用古典控制理论只能对输出进行反馈,而输出所包含的系统而输出所包含的系统的信息量较少的信息量较少,当被控对象本身的特性较差或人们对控制系统当被控对象本身的特性较差或人们对控制系统的的要求较高时要求较高时,输出反馈就现得力不从心输出反馈就现得力不从心.而在现代控制理论中而在现代控制理论中往往往采用状态反馈来任意配置极点从而达到目的往采用状态反馈来任意配置极点从而达到目的.假设单输入单输出系统开环传递函数为假设单输入单输出系统开环传递函数为:且假定无零且假定无零极点对消极点对消,则
4、可证明开则可证明开环系统既状态完全能控又状环系统既状态完全能控又状态完全能观态完全能观.还还可证明能使闭环系统的极点可证明能使闭环系统的极点任意配置的充要条件任意配置的充要条件是受控系统状态完全能控是受控系统状态完全能控.若受控系统若受控系统G0(s)用动态方程描述用动态方程描述,则则:其结构图如下其结构图如下:现对上图系统通过现对上图系统通过阵实施状态反馈阵实施状态反馈,可得下图可得下图:由上面闭环系统的结构图由上面闭环系统的结构图,可得可得:,代入原动态方程得代入原动态方程得:其中其中叫状态反馈阵叫状态反馈阵,分别为状态分别为状态的反的反馈系数馈系数,下面讨论如何确定下面讨论如何确定使闭环
5、系统的极点配置在使闭环系统的极点配置在s平面的平面的期望位置上期望位置上.设受控系统状态完全能控设受控系统状态完全能控,则一定能找到一非奇异线则一定能找到一非奇异线性变换阵性变换阵Q,使受控系统的动态方程变换为能控标准型使受控系统的动态方程变换为能控标准型,即即:其中其中:而而:若上面变换为能控标准型的动态方程经状态反馈阵若上面变换为能控标准型的动态方程经状态反馈阵进行状态反进行状态反馈馈,则闭环系统的动态方程为则闭环系统的动态方程为:由于由于:所以闭环系统的特征多项式为所以闭环系统的特征多项式为:若闭环系统的极点配置在若闭环系统的极点配置在s平面上的期望位置为平面上的期望位置为:则期望的特征
6、多项式应为则期望的特征多项式应为:令上两式相应令上两式相应s前的系数分别相等前的系数分别相等,则闭环系统的极点就在所期望则闭环系统的极点就在所期望的位置上的位置上.从而由从而由:(1)得到状态反馈得到状态反馈阵阵而能控标准型变换前的而能控标准型变换前的,上面推导过程可得求状上面推导过程可得求状态反馈阵的步骤应为态反馈阵的步骤应为:(1)判受控系统状态是否能控判受控系统状态是否能控.(2)若受控系统状态能控若受控系统状态能控,将其动态方程用将其动态方程用Q阵变换为能控阵变换为能控标标 准型准型.(3)由期望的闭环极点由期望的闭环极点求出求出(4)由式由式(1)求出在能控标准型下的状态反馈阵求出在
7、能控标准型下的状态反馈阵(5)令令得变换系统的状态反馈阵得变换系统的状态反馈阵当受控系统当受控系统G0(s)无零无零极点对消时极点对消时,可直接写出可直接写出受控系统的能控受控系统的能控标准型动态方程标准型动态方程,则可由上述步骤中的第则可由上述步骤中的第(3)(4)(4)步求步求出出 当受控系统直接由非能控标准型动态方程给出时当受控系统直接由非能控标准型动态方程给出时,也可直接也可直接由由求得求得阵的各元素值阵的各元素值,只是式只是式(1)变为由变为由n个分别为关于个分别为关于的代数方程组成的代的代数方程组成的代数方程组数方程组,求解稍为麻烦些求解稍为麻烦些.例例1:受控系统无零受控系统无零
8、极点对消极点对消的传递函数为的传递函数为:求状态反馈阵求状态反馈阵,使闭环系统的极点为使闭环系统的极点为-2,-1+j和和-1-j解解:由于受控系统由于受控系统G0(s)无零无零极点对消极点对消,可直接写出其能控可直接写出其能控 标准型动态方程标准型动态方程.由由得得:设反馈阵设反馈阵则闭环特征方程为则闭环特征方程为:而期望的闭环特征方程为而期望的闭环特征方程为:由式由式(1)和式和式(2)得得:即即:例例2:受控系统受控系统状态方程为状态方程为:可否用状态反馈任意配置闭环极点可否用状态反馈任意配置闭环极点?如可以如可以,求状态反馈求状态反馈阵阵,使闭环极点位于使闭环极点位于解解:因为因为所以
9、受控系统所以受控系统状态能控状态能控,可可用状态反馈任意配置闭环极点用状态反馈任意配置闭环极点由由:得得:即即:以上均以单输入单输出受控系统为例讨论了利用状态反馈任以上均以单输入单输出受控系统为例讨论了利用状态反馈任意配置闭环极点的问题意配置闭环极点的问题,所的结论所的结论,对多输入多输出受控系统对多输入多输出受控系统也也是适用的是适用的.进一步的讨论进一步的讨论,请参见书上请参见书上P.239P.250的有关内容的有关内容.课外习题课外习题:P.317第第5.1题题,第第5.2题题,第第5.5题题,第第5.9题题(1)(2)(2)5.7 状态估计与状态观测器状态估计与状态观测器 采用状态反馈
10、任意配置闭环极点比用输出反馈更容易获得性采用状态反馈任意配置闭环极点比用输出反馈更容易获得性能指标高的控制系统能指标高的控制系统.为实现状态反馈为实现状态反馈,就需得到就需得到X(t),但在工但在工程程实际中实际中,有的状态变量并无实际的物理含意有的状态变量并无实际的物理含意,有的既使有实际有的既使有实际物物理含意理含意,受现有技术的限制受现有技术的限制,也不一定能量测到也不一定能量测到.这就引出了这就引出了状状态估计与状态观测器的问题态估计与状态观测器的问题.所谓状态估计是指利用系统的已知信息所谓状态估计是指利用系统的已知信息,如已知或能量测得如已知或能量测得到的系统输入及能量测得到的系统输
11、出到的系统输入及能量测得到的系统输出,通过一个模型重构系统通过一个模型重构系统的状态变量的状态变量.这种重构状态的方法叫状态估计这种重构状态的方法叫状态估计.重构状态的装置在确定性系统中称为状态观测器重构状态的装置在确定性系统中称为状态观测器.设实际系设实际系统结构图如下所示统结构图如下所示:最简单的观测器是由上面给出的最简单的观测器是由上面给出的实际系统的动态方程用计算机模实际系统的动态方程用计算机模拟拟,如下示意图如下示意图:图中下半部分即为用图中下半部分即为用计算机模拟实际系统计算机模拟实际系统,并得到实际系统并得到实际系统状态变量状态变量X(t)的估计值的估计值.因为是因为是估计值估计
12、值,所以与所以与X(t)一般情一般情况况下总存在误差下总存在误差,误差用下式表示误差用下式表示:如果将上图改成下图如果将上图改成下图:图中图中,实际系统的输出实际系统的输出Y与模型的估计输出与模型的估计输出 实际系实际系 统统模型模型 之差为之差为,即即:由于模型对实际系统状态变量的估计值由于模型对实际系统状态变量的估计值通过通过反映到反映到,即即:,而实际系统的状态变量而实际系统的状态变量X通过通过反映到可量测的反映到可量测的Y,即即:,因此式因此式(2)也反映了模型对实际系统状态变量的估计误差也反映了模型对实际系统状态变量的估计误差将式将式(2)通过线性反馈阵通过线性反馈阵G反馈到模型反馈
13、到模型的的端端,对模型进行校正对模型进行校正.由上图及式由上图及式(1),可可得得:式式(3)的解为的解为:如果如果的特征值可任意配置的特征值可任意配置,则状态估计误差则状态估计误差可以任意快的速可以任意快的速度趋向于零度趋向于零,即模型对实际系统状态变量的估计值可以任意快即模型对实际系统状态变量的估计值可以任意快的的速度趋向于实际系统的状态变量值速度趋向于实际系统的状态变量值.再由上图及式再由上图及式(2)得得:由式由式(5)可得下面结构可得下面结构图图:这一观测器可对实际系统的所有状态进行观测这一观测器可对实际系统的所有状态进行观测,叫全维观测器叫全维观测器,式式(5)叫全维观测器方程叫全
14、维观测器方程.如将观测器观测到的实际系统状态变如将观测器观测到的实际系统状态变量量估计值通过状态反馈阵反馈到实际系统的输入端估计值通过状态反馈阵反馈到实际系统的输入端,只要实际系只要实际系统统状态能控状态能控,则构成的闭环系统的极点就可任配置则构成的闭环系统的极点就可任配置,使实际系统使实际系统获获得较高的控制质量得较高的控制质量.实际系实际系 统统观测器观测器 图中图中带观测器的闭环系统的结构图如下所示带观测器的闭环系统的结构图如下所示:当然当然,对于带观测器的闭环系统对于带观测器的闭环系统,还可深入地讨论许多问还可深入地讨论许多问题题,有些问题请参阅第五章第有些问题请参阅第五章第5.8节节
15、.现仅对观测器的设计举几例现仅对观测器的设计举几例.实际系实际系 统统观测器观测器 例例1.设系统的动态方程为设系统的动态方程为:试设计一状态观测器试设计一状态观测器,使其具有使其具有-10的重特征值的重特征值解解:(1)判系统是否能观判系统是否能观系统能观系统能观(2)设观测器的反馈阵设观测器的反馈阵G为为:(3)观测器方程为观测器方程为:例例2:有一可观系统的动态方程为有一可观系统的动态方程为:试设计一极点为试设计一极点为-3,-4,-5的的观测器观测器.解解:设观测器的反馈阵设观测器的反馈阵G为为:因为系统能观因为系统能观,为方便求特征方程为方便求特征方程,先将原动态方程变换为先将原动态
16、方程变换为能观标准型能观标准型.令令:则有则有:经上述变换后的观测器方程为经上述变换后的观测器方程为:其特征多项式为其特征多项式为:观测器期望的特征多项式为观测器期望的特征多项式为:由由:得得:变换前的观测器方程为变换前的观测器方程为:由上两例可见由上两例可见,受控系统是受控系统是n维的维的,观测器也是观测器也是n维的维的,这叫这叫全维观测器全维观测器.当维数较高时如例当维数较高时如例2,求观测器方程较为困难求观测器方程较为困难.在在工工程实际中程实际中,希望观测器的结构越简单越好希望观测器的结构越简单越好,也就是说也就是说,希望在希望在达达到同样要求的前提下到同样要求的前提下,使观测器的维数
17、要低于受控系统的维数使观测器的维数要低于受控系统的维数.实际中实际中,有的受控系统的有些状态变量例如有有的受控系统的有些状态变量例如有q个可由相应个可由相应的输出直接量测而得的输出直接量测而得,无需对其进行估计无需对其进行估计,而只需估计而只需估计(n-q)个个状态变量即可状态变量即可,使得观测器的维数降为使得观测器的维数降为(n-q)维维,这就是下面讨这就是下面讨论论的龙伯格观测器的龙伯格观测器.定理定理:有有n个状态变量及个状态变量及q个输出量的受控系统个输出量的受控系统,即即:若其状态能观若其状态能观,且且行满秩行满秩,可定义一种线性变可定义一种线性变化化 其中其中经线性变换后的动态方程
18、为经线性变换后的动态方程为:,而而是能使是能使存在的任意存在的任意矩阵矩阵其中其中:动态方程可表为动态方程可表为:上式表明上式表明,X2中的中的q个状态变量可直接由个状态变量可直接由Y中的中的q个输出量测得到个输出量测得到,只需对只需对X1中的中的(n-q)个状态变量进行估计个状态变量进行估计,其观测器方程为其观测器方程为:观测器的结构图如下观测器的结构图如下:例例3:有一可观系统的动态方程为有一可观系统的动态方程为:变换后系变换后系 统统观测器观测器 试设计一极点为试设计一极点为-3,-4的龙伯格的龙伯格观测器观测器.解解:(1)系统能观系统能观,且且行满秩行满秩,秩秩q=1,可设计二维龙伯
19、格可设计二维龙伯格观测器观测器.(2)确定确定Q阵阵,选选C1阵为阵为:则则:(3)计算计算,并分块并分块.(4)写出变换后的动态方写出变换后的动态方程程.(5)确定确定G1阵阵.由观测器方程由观测器方程:得得:(6)将所有算得的参数代入观测器方程将所有算得的参数代入观测器方程:利用上式即可画状态变量图利用上式即可画状态变量图.课外习题课外习题:P.327第第5.40题题(1)(2)(3)(2)(3),第第5.41题题(1)(2)(3)(2)(3)5.2 输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性 输出反馈系统的校正方式基本分为两类输出反馈系统的校正方
20、式基本分为两类,一是串联校正一是串联校正,如如下下图所示图所示:校正装置校正装置与系统的广义对象与系统的广义对象串接在前向通道的校串接在前向通道的校正方式叫串联校正正方式叫串联校正.二是并联校正二是并联校正,如下图所示如下图所示:校正装置校正装置与系统的某个或某几个环节反向并接与系统的某个或某几个环节反向并接,构成局构成局部反馈部反馈,称为并联校正称为并联校正.在介绍校正的方法前在介绍校正的方法前,先介绍常用校正装置的一些特性先介绍常用校正装置的一些特性.5.2.1 无源校正网络无源校正网络 一般用阻容四端网络构成无源校正网络一般用阻容四端网络构成无源校正网络.1.领先网络领先网络(相位超前网
21、络相位超前网络)其电路如下图所示其电路如下图所示:其传递函数为其传递函数为:其零其零极点在极点在s s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图:超前网络的特点超前网络的特点:(1)零点在极点的右边零点在极点的右边;(2)网络的稳态网络的稳态增增益小于益小于1,故对输入信号具有衰减作用故对输入信号具有衰减作用;(3)从从幅频曲线上看幅频曲线上看,有一有一段段直线的斜率为正直线的斜率为正20分贝十倍频程分贝十倍频程,所以超前网络具有微分作用所以超前网络具有微分作用;(4)网络的最大超前相角网络的最大超前相角发生在发生在处处,且且显然显然,越大越大,也越大
22、也越大,微分作用也越强微分作用也越强,但网络克服干扰信号但网络克服干扰信号的能力越差的能力越差,的值一般不大于的值一般不大于15.2.2.滞后网络滞后网络(相位滞后网络相位滞后网络)滞后网络的电路图滞后网络的电路图,零零极点在极点在s s平面上的位置及对数幅频平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图和相频特性曲线见下图:网络传递函数为网络传递函数为:滞后滞后网络的特点网络的特点:(1)零点在极点的左边零点在极点的左边;(2)网络的稳网络的稳态态增益等于增益等于1,故对输入信号具有低通滤波作用故对输入信号具有低通滤波作用;(3)从从幅频曲线上幅频曲线上看看,有一段有一段直线的斜率为负直线的斜率
23、为负20分贝十倍频程分贝十倍频程,所以滞后网络对高频所以滞后网络对高频信信号或噪声有较强的抑制作用号或噪声有较强的抑制作用;(4)网络的最大滞后相角网络的最大滞后相角发生在发生在处处,且且显然显然,越大越大,也越大也越大,即相角即相角滞后得越利害滞后得越利害.使用滞后网络对系统进行校正使用滞后网络对系统进行校正,应力求避免使滞应力求避免使滞后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率(即即截止频率截止频率)附近附近,引起相角裕度的减小引起相角裕度的减小,使系统动态性能变坏使系统动态性能变坏.因因此在确定滞后网络的参数时此在确定滞后网络
24、的参数时,一般要求一般要求小于校正后系统小于校正后系统开环幅值穿越频率开环幅值穿越频率(即截止频率即截止频率)的十分之一的十分之一.滞后网络在校正后滞后网络在校正后系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于 3.滞后滞后领先网络领先网络(相位滞后相位滞后超前网络超前网络)滞后滞后领先领先网络的电路图网络的电路图,零零极点在极点在s s平面上的位置及对数平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图幅频和相频特性曲线见下图:领先领先 滞后滞后网络传递函数为网络传递函数为:式式(3)中中:其它常用无源校正网络见书上其它常用无源校正网络见书上P.255表表5.1 5.2
25、.2 有源调节器有源调节器 无源校正网络有以下几个不足之处无源校正网络有以下几个不足之处:(1)稳态增益小于等于稳态增益小于等于1;(2)级间联接必须考虑负载效应级间联接必须考虑负载效应;(3)当所需校正功能较为复杂时当所需校正功能较为复杂时,网络的计算和参数调整很不方网络的计算和参数调整很不方(4)便便.由于上述不足由于上述不足,实际中常用阻容电路和线性集成运放实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合的组合(5)构成校正装置构成校正装置,这种装置叫调节器这种装置叫调节器.例如工业上常用的例如工业上常用的PID调节调节(6)器器.现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍现仅对有源调节器的基本原理作
26、一简单介绍.(7)在下面的介绍中在下面的介绍中,为讨论问题方便起见为讨论问题方便起见,均认为运算均认为运算放大器放大器(8)是理想的是理想的,即其开环增益无穷大即其开环增益无穷大,输入阻抗无穷大输入阻抗无穷大,输出输出阻抗等阻抗等(9)于零于零.1.反向端输入的反向端输入的有源调节器有源调节器 反向端输入有源调节器的电路如下图反向端输入有源调节器的电路如下图:图中图中:是输入阻容网络的等效阻抗是输入阻容网络的等效阻抗,是反馈阻容网络的等效是反馈阻容网络的等效阻抗阻抗,传递函数为传递函数为:用不同的阻容网络构成用不同的阻容网络构成 就可得到不同的调节规律就可得到不同的调节规律.可见书上可见书上
27、P.256表表5.2典型的有源调节器典型的有源调节器.2.同向端输入的有源调节器同向端输入的有源调节器 同向端输入有源调节器的电路同向端输入有源调节器的电路如右图如右图:其传递函数为其传递函数为:3.用跟随器和阻容网络构成的有源调节器用跟随器和阻容网络构成的有源调节器 其电路如下图其电路如下图:其传递函数为其传递函数为:5.3 输出反馈系统的根轨迹法校正输出反馈系统的根轨迹法校正 当用时域指标如最大百分比超调量当用时域指标如最大百分比超调量调整时间或阻尼系数调整时间或阻尼系数自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时自然振荡角频率等对闭环系统提出性能要求时,常采用根轨迹法常采用根轨迹法对原系统进
28、行校正对原系统进行校正.这是因为不同的这是因为不同的时域指标反映了时域指标反映了闭环极点在闭环极点在s s平面上的不同位置平面上的不同位置.如对于典型的二阶系统如对于典型的二阶系统(即不带零点即不带零点),),其一其一对共轭复数极点可表为对共轭复数极点可表为:一般一般,由由最大百分比超调量最大百分比超调量,则则二阶系统二阶系统的极点应在的极点应在s s平面上的平面上的先确定先确定值值,然后然后由由调整时间调整时间确定确定区域可用下图表示区域可用下图表示:0ABCD 凡是极点在折线凡是极点在折线ABCD右则的右则的二阶系统其二阶系统其最大百分比超调最大百分比超调量量调整时间都小于规定的指标调整时间都小于规定的指标.对于高阶系统对于高阶系统,其闭环极点其闭环极点个数大于二个个数大于二个,这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零这时总以最靠近虚轴而附近又没有其它闭环零极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据极点的一对共轭复数极点作为主导极点作为设计的依据.下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤下面通过例子说明用根轨迹法校正系统的步骤.