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1、二重积分的计算法 引入引入：底是矩形的曲顶柱体的体积：底是矩形的曲顶柱体的体积在区间上任意取定一点在区间上任意取定一点 ，作平行于作平行于yoz面的平面面的平面,截面是一个以截面是一个以 区间为底区间为底,曲线曲线 为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形,其面积为其面积为任意一点处的横截面积任意一点处的横截面积该曲顶柱体的体积为该曲顶柱体的体积为根据二重根据二重积积分的几何意分的几何意义义,有有综综上两个表达式可得上两个表达式可得 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则（2)若积分区域既是X型区域又是
2、Y型区域,则有(1)(1)X-X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y-Y-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点.说明说明:(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 例例1.计算其中D 是直线 x0,x1,y0,及y1 所围的闭区域.解解.将D看作X型区域,则例例2.计算其中D 是直线 y0,x0,及x2+y2=1 所围的第一象限区域.解解将D看作X型区域,例例3.计算其中D
3、 是直线 所围成的闭区域.解解:取D 为X 型域 取D 为Y 型域:说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例例4.用二重积分所围成的闭区域的面积.解解:由二重积分性质知：例例5.解：法法1.将D看作X型区域,法法2.将D看作Y型区域,例例6.解：解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则例例7解：法法1.将D看作X型区域,法法2.将D看作Y型区域,例例8.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则例例9.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例10.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.备用题备用题.交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则二重二重积分计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式