《2023年定理证明（精选多篇）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年定理证明（精选多篇）.docx（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年定理证明（精选多篇） 推荐第1篇：MM定理证明过程MM定理证明过程 1 无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件 假设1：无摩擦市场假设 不考虑税收； 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； 无关联交易存在； 不管举债多少，公司和个人均无破产风险； 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。 假设2：一致
2、预期假设 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。 1.2 MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 第一命题的含义： 即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。 MM定理第一命题证明过程：证
3、明方法是无套利均衡分析法。 基础假定：我们假定有两家公司公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。 细节假设： B公司当前债务利率为r（固定值）； A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）； A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指当前的预
4、期收益率）； A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）； A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）； A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）； A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。 注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。 考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。 表1 上述套利策略的现金流 头寸 即时现
5、金流 未来每年现金流 卖出1%A股票 0.01* PVA -0.01*EBIT 买入1%B股票 -0.01*SB*MPB 0.01*（EBIT-D*r） 买入1%B债券 -0.01*D -0.01* D*r 净现金流 NC 0 首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有 PVA=SEA;PVB=D+SEB 其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值： MPA=PVA/SA;MPB=(PVB-D)/SB 再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是 0.01*PVA-0.01*SB*MPB-0.01*D=0 MPB=(PVA-D)/SB 由推得：PVA=
6、PVB，命题证毕。 MM定理第一命题推论一： 债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。 证明：假设B公司的债务权益比为k，则： k=D/SEB 1+k=(SEB+D)/SEB=PVB/SEB=PVA/SEB=SA/SB 将代入得： MPA=PVA/SA=PVB/(SB(1+k)=(D+SEB)/(SB(1+k)=SEB(1+k)/(SB(1+k)=MPB 证毕。 MM定理第一命题推论二： 股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。 证明：B公司的资产负债率（RDA）和股
7、东权益比率（REA）分别为： RDAB=D/PVB=D/(D+SEB)=k/(1+k) REAB=SEB/PVB=SEB/(D+SE)=1/(1+k) 由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足： MPA=EBIT/SAEBIT =jSA*rAj=1(1+rA)(EBIT-R*D)/SBEBIT-R*D =j(1+rB)SB*rBj=1MPB=同时EBITr*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险
8、和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出： rB=EBIT-r*DEBIT-r*DEBITEBITEBIT=rA，证毕。 SEBPVB-DPVBPVASA*MPAMM定理第一命题推论三： 股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。 证明：A、B两公司每股盈利分别为： EA=EBIT(EBIT-R*D);EB= SASB将代入的第二式得： EB=(EBIT-R*D)(1+k)(EBIT-R*D)k*EBIT-(1+k)*R*D =EA+SBSASA由于EBITr*PVB，再将前面RDAB定义式代入，可以推得： kE
9、BITk*EBIT-(1+k)*R*D=(1+k)(EBIT-R*D)=(1+k)*D(-r)0 1+kPVB由得：EBEA，证毕。 注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。 1.3 MM定理第二命题： 公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。 证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCA=rA MM定理第二命题及其推论 WACCB=rBSEBDEBITEBIT+r=rA，证毕。 PVBPVBPVBPVAMM定理第二命题推论： 有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子
10、是负债权益比k。 （是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵） 证明：由（重新编号）得： rB=2 PVBr*DDrA-=rA+(rA-r)=rA+k(rA-r)，证毕。 SEBSEBSEB有税收条件下的MM定理 2.1 假设条件 考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。 2.2 MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。 证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT
11、）分别为： EATA=(1-T)*EBIT EATB=(1-T)*(EBIT-r*D)+r*D=(1-T)*EBIT+T*r*DEATA，证毕。 其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1-T)*r，这是从金融的角度或者说
12、机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。 显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为： PVA/=PVA(1-T) (1-T)r*PVBr*D)+D=PVA/+D(1-)PVA/ EBITEBIT(1-T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。 其中D(1-EBITPVB/=PVB(1-T)(1- MM定理第一命题推论一： 在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然
13、成立。 证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为： /rA=EBIT(1-T)EBIT(1-T)EBIT(1-T)=rA /SA*MPAPVA(1-T)PVA由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和（重新编号）得B公司股票的预期收益率为： rD(EBIT-rD)(1-T)+rD(EBIT-rD)(1-T)+rD(EBIT-rD)(1-T)+rD1-TrB/=/(1-T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB-DPVA(1-)PVA/-EBITEBITEBIT-rD+/再由得：rB=rA+rDrDPVA(1-T)(1-)EBIT，由于EBITrD（盈利足够付利息，保/证不破产），故rB，证毕。 rA
14、MM定理第一命题推论二： 考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。 证明：A、B两公司每股盈利分别为： /EA=(1-T)EBIT/(1-T)(EBIT-rD)+rD ;EB=SASB将第一部分第一命题推论一下面的代入得： /EB=(1+k)(1-T)(EBIT-rD)+rDSA/=EA+TrD+k(1-T)(EBIT-rD)+rDSA/EA 因EBITrD，故上不等式成立，证毕。 MM定理第一命题推论三： 在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略） 根据CAPM模型，有税收后的贝塔系数b/和无税收
15、情况下的贝塔系数b的关系为b/=b(1+(1-T)D)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出SEWACC，显然WACC是受资本结构影响的。 MM定理第一命题推论四： 在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如）。 注：一个延伸，PV/=PV+(1-(1-Tc)(1-Ts)D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税 1-Td率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。 公司税MM定理命题二 在考虑所得税情况下，负债企业的权益资本成本率(KSL)等于同一风险等级中某一无负债企业的权益资本成本
16、率(KSU)加上一定的风险报酬率。风险报酬率根据无负债企业的权益资本成本率和负债企业的债务资本成本率(KD)之差和债务权益比所确定。其公式为： KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D 有负债企业的负债价值； SL 有负债企业的权益价值。 T公司税率 在命题一的基础上，风险报酬考虑了所得税的影响。因为(1一T)总是小于l，在D/SL比例不变的情况下，这一风险报酬率总小于无税条件下命题二中的风险报酬率。由于节税利益，这时的股东权益资本成本率的上升幅度小，或者说，在赋税条件下，当负债比率增加时，股东面临财务风险所要求增加的风险报酬的程度小于无税条件下风险报酬的增
17、加程度，即在赋税条件下公司允许更大的负债规模。 推荐第2篇：MM定理证明过程MM定理证明过程 1 无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件 假设1：无摩擦市场假设 不考虑税收； 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； 无关联交易存在； 不管举债多少，公司和个人均无破产风险； 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等； 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金
18、。 假设2：一致预期假设 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。 1.2 MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 第一命题的含义： 即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。 MM定理第一
19、命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。 基础假定：我们假定有两家公司公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。 细节假设： B公司当前债务利率为r（固定值）； A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）； A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，
20、因为仅指当前的预期收益率）； A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）； A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）； A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）； A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。 注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。 考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。 表1 上述套利策略的现金
21、流 头寸 即时现金流 未来每年现金流 卖出1%A股票 0.01* PVA -0.01*EBIT 买入1%B股票 -0.01*SB*MPB 0.01*（EBIT-D*r） 买入1%B债券 -0.01*D -0.01* D*r 净现金流 NC 0 首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有 PVA=SEA;PVB=D+SEB 其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值： MPA=PVA/SA;MPB=(PVB-D)/SB 再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是 0.01*PVA-0.01*SB*MPB-0.01*D=0 MPB=(PVA-D)/SB
22、由推得：PVA=PVB，命题证毕。 MM定理第一命题推论一： 债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。 证明：假设B公司的债务权益比为k，则： k=D/SEB 1+k=(SEB+D)/SEB=PVB/SEB=PVA/SEB=SA/SB 将代入得： MPA=PVA/SA=PVB/(SB(1+k)=(D+SEB)/(SB(1+k)=SEB(1+k)/(SB(1+k)=MPB 证毕。 MM定理第一命题推论二： 股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。 证明：B公司的资产负债
23、率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为： RDAB=D/PVB=D/(D+SEB)=k/(1+k) REAB=SEB/PVB=SEB/(D+SE)=1/(1+k) 由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足： MPA=j=1EBIT/SA(1+rA)j=EBITSA*rA MPB=j=1(EBIT-R*D)/SB(1+rB)j=EBIT-R*DSB*rB 同时EBITr*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益
24、率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出： rB=EBIT-r*DSEB=EBIT-r*DPVB-DEBITPVB=EBITPVA=EBITSA*MPA=rA，证毕。 MM定理第一命题推论三： 股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。 证明：A、B两公司每股盈利分别为： EA=EBITSA;EB=(EBIT-R*D)SB 将代入的第二式得： EB=(EBIT-R*D)SB=(1+k)(EBIT-R*D)SA=EA+k*EBIT-(1+k)*R*DSA 由于EBITr*PVB，再将前面RDAB定义
25、式代入，可以推得： k*EBIT-(1+k)*R*D=(1+k)(k1+kEBIT-R*D)=(1+k)*D(EBITPVB-r)0 由得：EBEA，证毕。 注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。 1.3 MM定理第二命题： 公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。 证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCA=rA WACCB=rBSEBPVB+rDPVB=EBITPVB=EBITPVA=rA，证毕。 MM定理第二命题及其推论 MM定理第二命题推论： 有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上
26、风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。 （是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵） 证明：由（重新编号）得： rB=PVBSEBrA-r*DSEB=rA+DSEB(rA-r)=rA+k(rA-r)，证毕。 2 有税收条件下的MM定理 2.1 假设条件 考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。 2.2 MM定理第一命题： 在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。 MM定理第一命题及其推论 证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），
27、那么两公司的税后收益（EAT）分别为： EATA=(1-T)*EBIT EATB=(1-T)*(EBIT-r*D)+r*D=(1-T)*EBIT+T*r*DEATA，证毕。 其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1-T)
28、*r，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。 显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为： PVA=PVA(1-T) /EBIT(1-T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。 其中D(1-EBITPVB=PVB(1-T)(1-/r*D)+D=PVA+D(1-/(1-T)r*PVBEBIT)PVA / MM定理第一命题推论一： 在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时
29、MM定理的命题一的推论二仍然成立。 证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为： rA=/EBIT(1-T)SA*MPA/=EBIT(1-T)PVA/=EBIT(1-T)(1-T)PVA=rA 由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和（重新编号）得B公司股票的预期收益率为： (EBIT-rD)(1-T)+rDSB*MP/BrB=/=(EBIT-rD)(1-T)+rDPV-D/B=(EBIT-rD)(1-T)+rDPVA-/EBIT-rD+=rD(1-T)*rD*PVBEBIT1-TrDPVA(1-)EBIT再由得：rB=rA+/rDPVA(1-T)(1-rDEBIT)，由于EBITrD（盈利足够付利
30、息，保/证不破产），故rBrA，证毕。 MM定理第一命题推论二： 考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。 证明：A、B两公司每股盈利分别为： EA=/(1-T)EBITSA;EB=/(1-T)(EBIT-rD)+rDSB 将第一部分第一命题推论一下面的代入得： EB=/(1+k)(1-T)(EBIT-rD)+rDSA=EA+/TrD+k(1-T)(EBIT-rD)+rDSAEA/ 因EBITrD，故上不等式成立，证毕。 MM定理第一命题推论三： 在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略） 根据CA
31、PM模型，有税收后的贝塔系数b/和无税收情况下的贝塔系数b的关系为b=b(1+(1-T)/DSE)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出WACC，显然WACC是受资本结构影响的。 MM定理第一命题推论四： 在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如）。 注：一个延伸，PV/=PV+(1-(1-Tc)(1-Ts)1-Td)D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。 3 MM定理的缺陷 主要是假设不合理导致的缺陷 假设没有破产风险不符合实际。考虑税
32、收的话，按照MM定理所有都是债权融资则公司价值最大化，但考虑到实际的破产风险，杠杆增加降低了融资成本WACC，但增加了公司的破产风险，故存在最优的资本结构使得公司达到价值最大化。 MM定理忽略了交易成本和信息不对称性等，显然不符合事实。 以上仅是两个例子，其他的大家可以想想。 撰写人：小秋 推荐第3篇：定理与证明 定理与证明(一) 教学建议 （一）教材分析 1、知识结构 2、重点、难点分析 重点：真命题的证明步骤与格式命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性 难点：推论证明的思路和方法因为它体现了学
33、生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点 （二） 教学建议 1、四个注意 （1）注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；公理可以作为判定其他命题真假的根据 （2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的 （3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法只能测量有限个
34、两平行直线的同位角是相等的但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等 （4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据应是论题的充足理由 2、逐步渗透数学证明的思想： （1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为，所以”句式，“如果，那么”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来 （2）提高学生的
35、“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法 （3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至 三、四步的推理在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题 教学目标： 1、了解证明的必要
36、性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤 2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论 3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力教学重点：证明的步骤与格式 教学难点：将文字语言转化为几何符号语言 教学过程： 一、复习提问 1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？ 2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截） 3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示） 二、例题分析 例 1、证明：两直线平行，内错角相等 已知：ab，c是截线 求证：12 分析：要证12， 只要证32即可，因为 3
37、与1是对顶角，根据平行线的性质， 易得出32 证明：ab（已知）， 32（两直线平行，同位角相等） 13（对顶角相等）， 12（等量代换） 例 2、证明：邻补角的平分线互相垂直 已知：如图，AOBBOC180， OE平分AOB，OF平分BOC 求证：OEOF 分析：要证明OEOF，只要证明EOF90，即1290即可 证明：OE平分AOB， 1 AOB，同理 2 BOC， 12 （AOBBOC） AOC90 ，OEOF（垂直定义） 三、课堂练习： 1、平行于同一条直线的两条直线平行 2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行 四、归纳小结 主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能
38、、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识然后见投影仪 五、布置作业 课本P143 5、（2）,7.六、课后思考： 1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？ 2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？ 3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？ 推荐第4篇：定理与证明 定理与证明学案 【学习目标】 1了解定理，证明的定义。 2知定理必须证明是正确的命题后才可运用。 (重点) 3会用几何语言证明一个命题。 (难点) 【问题导学】 1阅读课本55页，写下并记忆五个基本事实。 1）两点确定一条直线；2）两点之间，线段最短；3）过一点有且只有一条
39、直线与已知直线垂直；4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。 2认真阅读课本56页后回答： 什么是定理？定理的作用是什么？ 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。 作用：揭示客观事实的本质属性，作为进一步确认其他命题真假的依据。 认真完成“思考”的问题，参照云图中的提示，判断结论的正确与否：可知第一个结论不正确.23571113+1=59509 第二个结论不正确.钝角三角形 第三个结论正确. 对上面不正确的结论举反
40、例说明。 什么是证明？哪些可以作为证明的依据呢？ 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。 3阅读“直角三角形的两锐角互余”的证明后回答： 写出这个命题的条件和结论，总结证明命题的步骤。 仿照例题步骤证明定理“有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形” 4.阅读课本57页读一读，写出证明的依据有哪些？ 定义、基本事实、已经学过的定理，等式的性质、等量代换 【课堂检测】 课本练习的第一题和第二题【学习小结】 推荐第5篇：定理与证明 定理与证明(二) 一、教学目标 1了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据 2了解综合法证明的格式和步骤
41、3通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力 4通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力 5通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法 二、学法引导 1教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合 2学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现 三、重点难点及解决办法 （）重点 证明的步骤和格式是本节重点 （二）难点 理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证 （三）解决办法 通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点 四、课时安排 l课时 五、教具学具准备 投影仪、三角板、自制胶片 六、师生互动活动设计 1通过引例创设情境，点题，引入新课 2通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授 3通过提问的形式完成小结 七、教学步骤 （）明确目标 使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。 （二）整体感知 以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知 （三）教学过程 创设情境