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1、2023年椭圆与双曲线_椭圆与双曲线弄混了 椭圆与双曲线 一、学问网络 二、高考考点 1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质； 2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求； 3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等； 4.圆锥曲线的探究性问题或应用问题； 5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题； 6.数形结合、等价转化、分类探讨等数学思想方法以及数学学科实力、一般思维实力等基本实力。 三、学问要点 (一)椭圆 定义与推论 1、定义1的的认知 设M 为椭圆上随意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则 有 （1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式） （2）
2、隐藏的不等关系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据） 2、定义2的推论 依据椭圆其次定义，设 为椭圆 上随意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离） （d2为点M到右准线l2的距离） 由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的a、b、c 具有相同的意义与相同的联系： （2 ）标准方程、统一形式： 2 、椭圆 的几何性质 （1 ）范围： （有界曲线） （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性） （3
3、 ）顶点与轴长：顶点予a、b名称与几何意义） ，长轴2a，短轴2b（由此赋 （4 ）离心率： （5） 刻画椭圆的扁平程度 准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ； 中心到准线的距离为 挖掘与引申 ；焦点到相应准线的距离为 . 1、具特别联系的椭圆的方程 （1 ）共焦距的椭圆的方程 且 （2 ）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式： 设斜率为k的直线l 与椭圆交于不同两点 则 ； ， 或 （二）双曲线 、定义与推论 1定义1的认知 。 设M 为双曲线上随意一点，点，则有： （1）明朗的等量关系： （2）隐藏的不等关系： 2定义2的推论
4、 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端 （解决双焦点半径问题的首选公式） ， （寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据） 设右焦点，则有 为双曲线 上随意上点， 分别为双曲线左、 ，其中， 为焦点 到相应准线li 的距离 推论：焦点半径公式 当点M 在双曲线右支上时， 当点M 在双曲线左支上时， 、标准方程与几何性质 3双曲线的标准方程 ； 。 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的a、b、c 具有相同的意义与相同的联系： （2 ）标准方程、的统一形式： 或： （3 ）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4 双曲线
5、 （1 ）范围： 的几何性质 （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心） （3）顶点与轴长：顶点 （由此给予a,b名称与几何意义） （4 ）离心率： （5） 准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ； 中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6 ）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延长 1具有特别联系的双曲线的方程 或： （3 ）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4 双曲线 （1 ）范围： 的几何性质 （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心） （3）顶点与轴长：顶点 （由此给予a,b名称与几何意义）
6、 （4 ）离心率： （5） 准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ； 中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6 ）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延长 1具有特别联系的双曲线的方程 对于双曲线 （） （1）当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+; （2） 当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ； （3 ）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为： 特殊： 与双曲线 （左边相同，区分仅在于右边的常数） 2弦长公式 设斜率为k的直线l 与双曲线交于不同两点 共渐近线的双曲线的方程为：
7、 则 经典例题 1、 （1）若椭 圆 。 的一个焦点是（-2，0），则a等于 （2 ）已知椭圆 的焦点为F1、F2，点P 是其上的动点，当 为钝角时， 点P的横坐标的取值范围为 。 分析： （1）从今椭圆的标准方程切入。 由题设知已知得： 这里 由此解得 （2）这里a=3, b=2, c= 以线段F1F2 为直径的圆的方程为 设 又由 ，则由点P 在椭圆上得： 为钝角得： 由、联立，解得： 所求点P 横坐标的取值范围为 点评：留意到点P对 的大小的影响可用点P 与圆 推出 相对位置关系来反 的范围，请同学们尝试和比 映，故选择这一解法。当然，本题亦可由较。 2、 已知 为椭圆的两个焦点，过 的
8、直线交椭圆于P、Q 两点， 且 ，求椭圆的离心率。 分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，留意 到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第肯定义构建有关方程。 解：设椭圆方程为 设 ，则由 为等腰 得： 又由椭圆第肯定义得 即 留意到 即 的周长为4a 为 ， 因此，代入得 由此解得 点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，其次项用于导 出；两次运用用 为 条件：第一次利用 为等腰 表示出 ，其次次利 导出。充分利用题设条件，也是解题胜利的保障之一。 3、 已知双曲线 ， 成等比数列且 的左、右两个焦点为 ，求双曲线方程。 ，P 为双曲线上的点
9、，又 分析：这里要求b 的值。留意到的方程或不等式。由题设得 ，为了求b，首先须要从题设条件入手找寻关于b，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利 用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。 解：这里 ，即 （4的特别性） ， 点P在双曲线右支上 设点 ，则由双曲线其次定义以及点P在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再留意到由 即 于是、得 而 得， ，所以由得b=1 因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件 的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特别性判定点P （将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的 在双曲线右支上；其次次“细” 用，利用 范围： 。粗细结合
10、，将已知条件运用得酣畅淋漓。 4、 设椭圆 的焦点为 ，P为椭圆上一点， 的最大 值为 。 （1）求椭圆的离心率； （2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。 分析： 中 的最大值为 的最小值为 ，循着特别 的最小值切 与一般相互依存的辩证关系，想到从在入。 解： （1 ）设 则在 = ， 中由余弦定理得 ， 中运用余弦定理推导 ， 即 的最小值为 又由题设知 的最大值，即 的最小值为 即 a=2b （2）由已知椭圆方程为 由题设知直线l不垂直于x轴 设直线l 的方程为 设 则由直线l 与圆 将代入得：
11、 代入得 相切得： 直线l与椭圆相交于不同两点 又由韦达定理得： ， （ 当且仅当 的最大值为2b （当 时取得） （此时 ，即 时等号成立） 由题设得 ） a=2b=4 进而由得 ，即 因此，由、得所求椭圆方程为 直线l的方程为 或 ， 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设P为椭圆 上任 意一点， ，则 最小值为 据此 若 的最大值为 ，则 （即 ）； 若 的最大值为 ，则 （即 ）； 若 的最大值为 ，则 （即 ）。 5、已知斜率为1的直线l 与离心率为两点，又直线l与y轴交于点R ，且 的双曲线 ， 交于P、Q ，求直线和双曲线方程。 分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认
12、知已知条件，进而依据问题的详细状况进行推理或转化。 解：由 得 ， ，直线l 的方程为 双曲线方程为 设 将代入得 对于方程， 恒成立 由韦达定理得 即 由此得 又由题设得 ，故得 由、联立解得 将代入得 再留意到 将、代入得 解得 ， 得 因此，由，得所求双曲线方程为 所求直线方程为 点评： ， （）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围围着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”， 请同学们留意品悟这里“解”的分寸的把握。
13、（）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论： 已知式（ 已知式（ 6、 已知 ， ）转化代入结论； ）转化代入结论。 同学们应留意学习与追求这种解题的明晰与美丽。 （1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程； （2） 若直线试求m的取值范围。 分析： 对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理； 对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较困难的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。 解： （1 ）由已知得 由 得 ， 与曲线C交于A、B两点，D（0，-1）， 且有 ， ， 得 所求点P的轨迹C 的方程为： （2 ）设 则将l的方程代入得 ，弦AB的中点 ， 由题意得 且 即中点M 的坐标为 留意到 点D在弦AB的垂直平分线上 于是将代入得 （ ， 且 ， 且 ） ） 或 此时再留意到由得 （关于k的二次函数隐含范围的发掘） 于是由、所求m的取值范围 点评： （1 ）认知已知条件 ，这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化，这是解决直线与圆锥曲线困难问题的基本策略之一； （2）留意在寻求参数的取值范围的过程中，对所运用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用：在这里， 为k 的二次函数，又由这里 ，故 。因此 可解关于k的二次函数m的取值范围： 知这一些，便会导出 。这是本题导出正确结果的最终的屏障，不认 的错误结果。