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1、2.4.22.4.2 求函数零点近似解的求函数零点近似解的一种计算方法一种计算方法二分法二分法十九中十九中十九中十九中李晓峰李晓峰 在在16世纪，人们找到了世纪，人们找到了三次函三次函数和四次函数数和四次函数的求根公式，但对于的求根公式，但对于高高于四次的函数于四次的函数，类似的努力却一直没，类似的努力却一直没有成功。有成功。到了到了19世纪，根据世纪，根据阿贝尔阿贝尔（Abel）和）和伽罗瓦伽罗瓦（Galois）的研）的研究，人们认识到高于四次的函数（即究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）高于四次的代数方程）不存在求根公不存在求根公式式，也就是说，不存在用四则运算即，也就是说
2、，不存在用四则运算即根号表示的一般公式解。根号表示的一般公式解。复复 习习w方程的根与函数的零点的关系方程的根与函数的零点的关系w零点存在性定理零点存在性定理如果函数如果函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上的图像上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点间上至少有一个零点，即存在一点x0，使得使得f(x0)=0.二分法思想二分法思想 每次都将区间一分为二每次都将区间一分为二,进行进行比较后得到新的区间比较后得到新的区间,再一分为二再一分为二,如此
3、下去如此下去,使得逐步逼近所要求的使得逐步逼近所要求的数字数字,这种思想就是这种思想就是二分法思想二分法思想例题例题求函数求函数f(x)=x3+3x-1的一个正的一个正实数零点（精确到实数零点（精确到0.1）函数函数f(x)=x3+3x-1的图像的图像解：由于解：由于f(0)0,则则0,1 可可以作为初始区间以作为初始区间.端点或中点横端点或中点横坐坐标标计计算端点或中点的算端点或中点的函数函数值值确定区确定区间间a0=0，b0=0f(0)=1，f(1)=30，1x0=0.5f(x0)=0.62500，0.5x1=0.25f(x1)=0.234300.25，0.375x3=0.3125f(x3
4、)=-0.0319800.3125，0.343755x5=0.328125f(x5)=0.019700.3125，0.328125x6=0.3203125f(x6)=-0.0061980 0.3203125，0.328125x7=0.32421875 f(x7)=-0.0067370 0.3203125,0.32421875 由上表的计算可知，区间由上表的计算可知，区间0.3125，0.343755的左、右端点精确到的左、右端点精确到0.1所取的近所取的近似值都是似值都是0.3，因此，因此0.3就是所取函数的就是所取函数的精确精确到到0.1的的一个正实数零点的近似值，只需计一个正实数零点的近似
5、值，只需计算算5次即可得到。次即可得到。同理，所取函数的同理，所取函数的精确到精确到0.01的的一个正一个正实数零点的近似值为实数零点的近似值为0.32，计算，计算8次可以得次可以得到。到。二分法的概念二分法的概念 对于在区间对于在区间a,b上上连续不断连续不断,且且f(a)*f(b)0的函数的函数y=f(x),通过不断把函数通过不断把函数f(x)的零点的零点所在区间所在区间一分为二一分为二，使区间的两个端点逐，使区间的两个端点逐步步逼近零点逼近零点，进而得到零点，进而得到零点近似值近似值的方法的方法叫叫二分法二分法。oxyabcd二分法的步骤二分法的步骤 已知函数已知函数y=f(x)定义在区
6、间定义在区间D上，求它在上，求它在D上的上的一个零点一个零点x0的近似值的近似值x，使它满足给定的精确度。，使它满足给定的精确度。第一步：确定初始区间第一步：确定初始区间.在在D内取一个闭区间内取一个闭区间a0，b0，使，使f(a0)和和f(b0)异号，即异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于，零点位于区间区间a0，b0中；中；第二步：取区间第二步：取区间a0，b0的中点，则此中点对应的的中点，则此中点对应的坐标为坐标为计算计算f(x0)和和f(a0)，并判断：，并判断：（1）如果）如果f(x0)=0，则，则x0就是就是f(x)的零点，计算终止；的零点，计算终止；（2）如果）如果f(a0)f
7、(x0)0，则零点位于区间，则零点位于区间x0，b0中，令中，令a1=x0，b1=b0；第三步：取区间第三步：取区间a1，b1的中点，则此中点对的中点，则此中点对应的坐标为应的坐标为计算计算f(x1)和和f(a1)，并判断：，并判断：（1）如果）如果f(x1)=0，则，则x1就是就是f(x)的零点，的零点，计算终止；计算终止；（2）如果）如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间，则零点位于区间x1，b1中，令中，令a2=x1，b2=b1；继续实施上述步骤，直到区间继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间，函数的零点总位于区间an，bn上，当上，当an、bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零的近似零点，点，计算终止。计算终止。这时函数这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的的近似零点满足给定的精确度。精确度。练习与巩固练习与巩固课堂小结课堂小结 1.二分法的基本思想及概念；二分法的基本思想及概念；2.用二分法求函数的近似零点的步骤；用二分法求函数的近似零点的步骤；3.使用二分法的注意事项；使用二分法的注意事项；4.本节课涉及的数学思想。本节课涉及的数学思想。谢谢 谢谢 ！