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1、2023年排列组合教案10.110.2.（全文） 10.2 排列 学法导引 本节特别要注意在什么情况下是用排列的方式来解决问题,凡是有序的时候,就是排列问题,否则就不是排列问 题.知识要点精讲 知识点 1 排列的定义 从 n 个不同的元素中取出 m(m n 个元素,按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.知识点 3 全排列公式 n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列.n 个不同元素的全排列数为 规定 0! =1.解题方法、技巧培养 出题方向 1 优限法 在排列组合问题中,常有这样的元素存在,这些元素受到一些特殊的限制,或者说受到比
2、较多的限制,它们的位置 比较容易确定,因此我们一般先考虑安排它们,然后再安排其他元素.这种处理排列组合问题的方法,叫做优限法.出题方向 2 捆绑法 在一个排列问题中, 如果有的元素要排在一起, 通常把这些元素捆绑成一个元素, 参与排列, 在整体排列结束后, 再来排这几个被捆绑的相邻的元素,这种方法叫做捆绑法.由此可见捆绑法主要用于相邻问题的排列. 例 2 有 8本互不相同的书,其中数学书 3本,外文书 2本,其他书 3种,将这些书排成一排放在书架上,那么 数学书恰好排在一起,外文书也排在一起的排法有多少种.分析 数学书要排在一起,外文书也要排在一起,这是典型的相邻问题,采用捆绑法.出题方向 3
3、 插空法 在排列问题中,常常会遇到某些元素不能相邻的问题,这时我们总是用插空的方法来保证这些元素不相邻,只是 我们在插空当中,首先是把相应的隔板安排好,再进行插空.例 3 3名学生与 3名教师排成一排照相, (1教师均不相邻,有多少种排法; (2学生均不相邻,有多少种排法; (3教师和学生均不相邻,有多少种排法.(2同 (1.出题方向 4 排除法 排列的问题有时比较复杂,特别是分类时,所以有时可以从所有的排列中,把不符合的排列剔除,这样的解题方 法叫做排除法.例 4 从 1, 2, 3, 8, 9这九个数字中任取 2个作为对数的底数与真数,可以得到多少个不同的对数值? 分析 这里的对数,它的底
4、数与真数是有序的,所以是排列问题.2为底 3的对数与 4为底 9的对数相等; 3为底 2的对数与 9为底 4的对数相等; 这有 2个重复,要去掉; 2为底 4的对数与 3为底 9的对数相等; 4为底 2的对数与 9 为底 3的对数相等;这有 2个重复,要去掉; 1为真数的对数共 有 8个,都等于 0,要去掉 7个.所以符合条件的对数共有 53个.出题方向 5 顺序一定的问题 例 5(1五人站成一排,甲必须在乙的前面 (不一定相邻 的排法有多少种? (210人站成一排,其中甲、乙、丙三人,乙不能站在甲的前面,丙不能站在乙的前面的站法有多少种? 出题方向 6 排列数公式 证毕.易错易混点警示 例
5、8 为亮化美化城市,现在要把一条路上 7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄与蓝共三种颜 色,在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜色的路灯至少要有 2盏,有多少不同的安装方法? 错解 从颜色考虑.三种颜色中任一种颜色最多安装 3盏,最少安装 2盏,分类讨论.不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯 (这有 3种选法 来讨论.先排三盏蓝灯,只有一种排法,然后插空, 两盏红色的有 1种插空方式, 再把两盏黄色的插进去有 654=120种插空方式.所以共有 1203=360种不同的安装方式.错因分析 错解把同色的灯看成了可以区分的.正解 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻,而且每种颜
6、色的路灯至少要有 2盏,这说明三种颜色的路灯的分 配情况只能是 2、 2、3盏的形式.先讨论颜色.在选择颜色时有 3种方法,选好了一种颜色后,安装时采用插空的方 式.下面不妨就选上两盏红色、两盏黄色、三盏蓝灯来讨论.先排两盏红色、两盏黄色共四盏灯,如果两盏 红色、两 盏黄色分别两两相邻,有 2种排法,则蓝色的有 3种排法,共 6种安装方法;如果两盏红色、两盏黄色分别两两不相 邻,有 2种排法,再把蓝色的安排下去有 10种安装方法,所以有 20种不同的安装方法.如果恰有一种颜色的相邻, 则有 26=12种不同的方法.综上共有 338=114种不同的安装方法.综合应用创新 【综合能力升级】 本节内
7、容独立性强,综合题仅限于与方程的小综合及计数方面的综合,学习时,要注意化归思想,分类思想在解 综合题中的作用.例 9 由四个不同的数字 1, 4, 5, x(x 0 组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为 288,求 x 的值.即 24x +120+96+24=288, 解得:x =2.想一想 从 2、 3、 4、 5、6这五个数中每次取出三个数组成三位数,求所有这些三位数的和 例 10 用 0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复数字的: (1五位数? (2六位偶数? (3能被 25整除的四位数? (4大于 202345的自然数? 10.3 组合 学法导引 学习
8、本节的一个最重要方面是一定要分清排列问题还是组合问题,区分方法是,你只要在你求得的一种情况中, 把元素的位置交换一下,如果是一个新的符合的情况,就是排列问题,否则就是组合问题.知识要点精讲 知识点 1 组合的定义 从 n 个不同的元素中取出 m(m n 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.知识点 3 组合与排列的区别与联系 (1排列是有序的,组合是无序的.(2从 n 个不同的元素中取出 m(m n 个元素的排列, 可以看成先从这 n 个不同的元素中取出 m(m n 个元素的组 合后,再将这 m 个元素作全排列得到.即: 解题方法、技巧培养 排列组合问题,大部分都
9、可以归结为某种模式,因此在排列组合的学习过程中,重视模式化思维方式的学习,一 方面在于模式化思维方式在解决排列组合问题中的直接使用,能使我们尽快地、准确地把握问题的本质,形成良好的 解决问题的思维习惯;另一方面在于对学生数学思维训练的价值和潜在的智力素质的发展与形成的重大影响.出题方向 1 分解与合成模式 分解与合成模式是排列组合问题中的一种最基本的解题思维模式.当我们把一个问题分解成几个过程 (或者是分 解成几个子问题 ,逐一解决,然后再依据问题分解后的结构形式将问题合成,从而得到原问题的解,这样的思考问题 的思维方式叫做分解与合成的解题模式. 例 1 30030能被多少个不同的偶数整除?
10、解 先把 30030分解成质因数的乘积形式 30030=23571113, 依题意就是要求所有偶数因数的个数, 而要得到偶数因数, 必须先取定 2, 再认其余五个质因数中任取若干个 (每个因数最多取一次 组成乘积, 显然, 这样的 乘积的个数,即 30030的偶数因数的个数为 点拨 本题求因数的个数的方法仅适用于这个数的质因数互不相同,即质因数的次数都是 1的情况,其他的情况 参见 10.1节相关例题.例 2 (1利用正方体的 8个顶点可构成多少个三棱锥? (2利用正方体的 8个顶点可以连成多少对异面直线? (2每一个三棱锥上有 3对异面直线,而正方体的 8个顶点可构成 58个三棱锥, 正方体
11、的 8个顶点可以连成 583=174对异面直线.点拨 上述两例题解题过程均是利用分解与合成的模式进行处理.例 1中是对解题结构进行分解,利用分类计数 原理,把两个过程合成;在例 2(2中我们是对解题过程进行分解,利用分步计数原理把两类合成.这种合成方式上的 不同,在解题过程中要特别注意区分.出题方向 2 映射模式 对于一个排列组合问题 A ,如果能找到一个问题 B ,使问题 B 与问题 A 在解的个数上存在一个一一映射的关系, 我们就可以通过解决 B 而达到解决 A 的目的.这样的考虑问题的方式,我们把它叫做映射模式.例 3 用 1, 2, 3, 4, 5这五个数字,组成无重复数字的三位数,其
12、中偶数有多少个 ? 分析 根据题意,可知这种三位数的个位数字有五种情况,而这五种情况中,只有两种情况能使这个三位数是 偶数.设问题 A :由 1, 2, 3, 4, 5中取三个排成的所有的三 位数,问题 B :由 1, 2, 3, 4, 5这五个数字中取三个排 成的所有偶数.由于存在这样的一个一一映射,使 A 中 5个三位数与 B 中 2个符合条件的三位偶数对应.想一想 用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数有多少个? 例 4 有两组平行线,第一组平行线有 5条,第二组平行线有 6条,第一组平行线与第二组平行线相交,问这两 组平行线能构成多少个平行四边
13、形? 想一想 圆上有 12个点,过每两点连一条直线,这些直线在圆内的交点有多少个 ? 点拨 映射模式在解排列组合问题中,是一种常见的思考问题的方式,例 3与例 4主要是在两类计数问题的结果 上建立了一种对应关系,在其他问题中,我们有时也可从两个问题的关系与结构上找到对应关系,或者还可以从两个 问题的已知条件上去找到某种对应关系,从而顺利解决问题.出题方向 3 叠加模式 设集合 A , B 均为集合 U 的子集,用 P(x表示集合中元素个数,根据容斥原理,可以得到: 我们可以用这个结论处理一些排列组合问题.例 5 甲、乙等五人站成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾的排法有多少种 ? 分析 用集合
14、U 表示五个人的全排列的集合,集合 A 表示甲站排头的所有排列,集合 B 表示乙站排尾的所有排 列,其中 A , B 均为 U 的子集,由容斥原理 即符合条件的排法数是 78.例 6 9名翻译中, 6名会英语, 5名会日语,现要安排 4名翻译英语, 3名翻译日语,共有多少不同的安排方法.点拨 从以上三例我们可以发现,从集合的叠加原理出发, 可以解决一系列有关的排列组合问题,同时它能把一 个复杂的问题变得特别的明朗、清晰.我们把这样的解决问题的思维方法叫做叠加模式.出题方向 4 化归模式 在处理复杂的排列组合问题时, 可以把一个问题退化成一个简要的问题, 通过解决这个简要的问题找到解题方法, 从
15、而进一步解决原来的问题.例 7 25人排成 55方阵,现从中选 3人,要求 3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种.分析 把这样的一个问题:从 9人排成的 33的方阵中, 选出不在同一行也不在同一列的 3人, 有多少选法.这 个问题相对原来的问题简单,只要选出一个人后把这个人所在的行所在的列划掉,然后再继续选就可以了.然后我们再从 55的方阵中选出 3行 3列,就可以得到一个 33的方阵,再在 33的方阵中选 3人,便可得 答案.想一想 把 25人排成 55方阵,其中甲、乙二人不相邻 (指甲、乙前后、左右、左前、右前、左后、右后均不 相邻 的排法有多少.例 8 如图 10-3-3是某一
16、城市的街区图,由 12个全等的矩形街区构成,其中实线表示街道,问从 A 到 B 的最 短路程有多少种.根据上述情况,我们可以找到原问题的关键所在,这就是:在图 1的每种最短路程的走法中,都必须包含走过 3条 长为 a 的边, 4条长为 b 的边,即应该一共走过七条边.从这个角度来说,又可以把这个问题化归成由 3个 a , 4个 b 共 7个字母的排列有多少的问题.想一想 如果某一城市的街区图如图 (10-3-4 ,从 A 到 B 的路程最短的走法有多少 ? 出题方向 5 整体模式与隔板模式 在排列组合问题中有较多的相邻与不相邻的问题, 或者同时也有那么一些可以通过化归的方法转化为相邻与不相 邻
17、的排列问题,可以通过整体模式与隔板模式的思维方式来处理问题,这类问题在考试中是比较常见的.例 9 已知方程 x +y +z +w =100,求: (1这个方程的正整数解的组数; (2这个方程的自然数解的组数.例 10 一条路有 12盏路灯,为节约用电,关掉其中的 3盏,如果不关相邻两盏,有多少不同的关灯的方案.分析 这也是一个不相邻问题.即被关掉的灯没有任何两盏是相邻的.这样我们可以用隔板模式来处理问题.把 亮着 9盏灯看成隔板,这时要特别注意这里的隔板是无序的.出题方向 6 组合数与组合数的性质 排列组合教案10.110.2.（全文） 排列组合教案 排列组合教案 排列组合教案 排列组合 排列组合 排列组合教案.（整理） 排列组合应用 数学广角排列组合教案 简单的排列组合教案