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1、 任意矩阵都可经过初等变换变成阶梯形矩阵，方法任意矩阵都可经过初等变换变成阶梯形矩阵，方法不是唯一的，然而有没有什么规律性的东西值得探讨？不是唯一的，然而有没有什么规律性的东西值得探讨？本节的讨论将显示，不论通过什么途径化为阶梯形本节的讨论将显示，不论通过什么途径化为阶梯形矩阵，它的非零行的个数总是唯一确定的，我们把这个矩阵，它的非零行的个数总是唯一确定的，我们把这个确定的数称为该矩阵的秩。确定的数称为该矩阵的秩。的的k2个交叉点上的元素个交叉点上的元素,按原有的次序组成按原有的次序组成A的的k 阶矩阵阶矩阵的行列式称为的行列式称为A的的k 阶子式。阶子式。则则A的非零子式的最高阶数的非零子式
2、的最高阶数定义定义 在在mn 矩阵矩阵A中，任意选定中，任意选定k 行和行和k 列，它们列，它们称为称为A的的秩秩,记为记为r(A)。注：注：零矩阵的秩定义为零。零矩阵的秩定义为零。第第3节节 矩阵的秩矩阵的秩 (Rank)（1）r(A)=r(AT),（2）设）设r(A)=r，则至少存在一个则至少存在一个r 阶的非零子式阶的非零子式，而且任何大于而且任何大于r 阶的子式都为零阶的子式都为零。（3）n 阶方阵阶方阵A的最大的秩为的最大的秩为n。若若r(A)=n，则称则称A为为满秩方阵。满秩方阵。若若r(A)n，则称则称A为为降秩方阵。降秩方阵。显然，显然，A为满秩方阵为满秩方阵为非奇异阵。为非奇
3、异阵。A为降秩方阵为降秩方阵为奇异阵。为奇异阵。这些性质都可由定义直接验证。这些性质都可由定义直接验证。则则 r(A)=3。例例3.5，3.3.1 矩阵的秩的性质：矩阵的秩的性质：定义定义 矩阵矩阵A经过有限次行经过有限次行(列列)初等变换所得的初等变换所得的矩阵矩阵B,称称A与与B是是等价的等价的.记为记为 性质：性质：定理定理3.4两个等价的矩阵，有相同的秩。两个等价的矩阵，有相同的秩。证：证：只要证明，只要证明，A经过一次初等变换其秩不变。而且经过一次初等变换其秩不变。而且只要证明，若只要证明，若A经过一次初等变换变为经过一次初等变换变为B，即可。即可。（为什么？）（为什么？）设设M为为
4、A中最高阶非零子式中最高阶非零子式:下面分别三种初等变换加以论证下面分别三种初等变换加以论证:MAB r(B)r(A)，在，在B中取中取交换后的交换后的M为为M。AB r(A)r(B)在在B中仍取中仍取A中的中的M为为B的的非零子式非零子式M。B在在B中取中取A中中M的的红线换位后相交的点为红线换位后相交的点为M。Ar(A)r(B)在在B中仍取中仍取A中相同的节点所组成的子式中相同的节点所组成的子式M。故故（1），（2）若若（1）i，j 都在都在M 中；中；（2）i，j 都不在都不在M 中；中；（3）i 在在M中中，j 不在不在M 中；中；（4）i不不在在M中中，j 在在M 中。中。在在B中仍
5、取中仍取A中相同的节点所组成的子式中相同的节点所组成的子式M。对前三种情况，对前三种情况，M其中其中D为为M中用第中用第i行代替第行代替第j行所得的矩阵行所得的矩阵。(4)i不在不在M 中中,但但 j 在在M 中中。Bi行行j行行k在在B仍取仍取A中相同的节点所组成的子式中相同的节点所组成的子式M。1.若若命题已证。命题已证。2.若若命题也证。命题也证。这时，取这时，取kri+rjA（为什么？）（为什么？）r(A)=3。例例3.6求求 r(A)=?设矩阵设矩阵，解解现在我们要问：为什么要研究矩阵的秩呢？现在我们要问：为什么要研究矩阵的秩呢？还要从线性方程组说起。设还要从线性方程组说起。设n元线
6、性方程组为元线性方程组为这是一个这是一个n个方程个方程n个未知数的线性方程组。它的个未知数的线性方程组。它的增广矩阵为增广矩阵为n(n+1)矩阵：矩阵：对对 施行初等行变换，将它变换化阶梯形矩阵，施行初等行变换，将它变换化阶梯形矩阵，如阶梯形矩阵出现如阶梯形矩阵出现 s个零行，个零行，说明原方程组中有说明原方程组中有 s个个方程不是独立的。方程不是独立的。显然，阶梯形矩阵的秩为显然，阶梯形矩阵的秩为r=n-s,阶梯形矩阵所反应的方程组与原方程组是同解方程组，阶梯形矩阵所反应的方程组与原方程组是同解方程组，s=n-r,可见矩阵的秩能够直接反映方程组独立方程可见矩阵的秩能够直接反映方程组独立方程的个数。的个数。对于一般的对于一般的m 个方程个方程n个未知数的方程组的情况，个未知数的方程组的情况，将在后面另行讨论。将在后面另行讨论。习习 题题 三三P.84 8.(1),(3),9.10.