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1、第九章第九章 假假设检验l9.1假设检验的基本概念l9.2两类错误l9.3 一个正态总体的假设检验l9.4 两个正态总体的假设检验Company Logo9.1假假设检验的基本概念和思想的基本概念和思想一、基本概念一、基本概念(一一)两类问题两类问题1、参数假设检验 总体分布已知,参数未知,由观测值x1,xn检验假设H0：=0；H1：02、非参数假设检验 总体分布未知,由观测值x1,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)F0(x;)Company Logo 任何一个有关随机变量未知分布的假设称为统计假设或简称假设假设。一个仅牵涉到随机变量中几个未知参数的假设称为参数假设参数假
2、设。这里所说的假设只是一个设想，至于它是否成立，在建立假设时并不知道，还需要进行考察。Company Logol 对一个样本进行考察，从而决定它是否能合理地被认为与假设相符，这一过程叫做假设检验假设检验。l 判别参数假设的检验称为参数假设检验参数假设检验。检验是一种决定规则，它具有一定的程序，通过它来对假设成立与否作出判断。Company Logo例例1 1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币100100次，次，“正面正面”出现了出现了4040次，次，问这枚硬币是否匀称？问这枚硬币是否匀称？l 若用描述抛掷一枚硬币的试验，“=1”及“=0”分别表示“出现正面”和“出现反面”，上述问题就是要检验是否服从P
3、=1/2的0-1分布？Company Logo例例2 2 从从19751975年的新生儿中随机地抽取年的新生儿中随机地抽取2020个，测得个，测得其平均体重为其平均体重为3160g,3160g,样本标准差为样本标准差为300g300g。而根据而根据过去统计资料，新生儿（女）平均体重为过去统计资料，新生儿（女）平均体重为3140g3140g。问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异（假定新生儿体重服从正态（假定新生儿体重服从正态 分布）？分布）？l若把所有1975年新生儿（女）体重视为一个总体，用描述，问题就是判断E=3140是否成立？Company
4、Logo例例3 3 在在1010个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行品比试验，得如下资料（单位品比试验，得如下资料（单位：kgkg）甲95196610081082983乙730864742774990 假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米假定农作物产量服从正态分布，问这两种玉米有无显著差异有无显著差异?从直观上看，二者差异显著。但是一方面由于抽样的随机性，我们不能以个别值进行比较就得出结论；另一方面直观的标准可能因人而异。因此这实际上需要比较两个正态总体的期望值是否相等？Company Logol 这种作为检验对象的假设称为待检假设待检假设，l通常用 H0表
5、示。比如，l例2中的待检假设为：H0：E=3140如何根据样本的信息来判断关于总体分布的 某个设想是否成立，也就是检验假设检验假设H H0 0成立成立与否的方法是本章要介绍的主要内容与否的方法是本章要介绍的主要内容。Company Logo二、假设检验的基本思想：二、假设检验的基本思想：l用置信区间的方法进行检验，基本思想基本思想是这样的：首先首先设想H0是真的成立：然后然后考虑在H0成立的条件下，已经观测到的样本信息出现的概率。如果这个概率很小，这就表明一个概率很小的事件在一次试验中发生了。而小概率原理认为，概率很小的事件小概率原理认为，概率很小的事件在一次试验中是几乎不可能发生的在一次试验
6、中是几乎不可能发生的，也就是说导出了一个违背小概率原理的不合理现象。这表明事先的设想H0是不正确的，因此拒绝原假设H0。否则，不能拒绝H0。Company Logo 至于什么算是“概率很小”，在检验之前都事先指定。比如概率为 5%，1%等，一般记作。是一个事先指定的小的正数，称为显著性水平显著性水平或检验水平检验水平。Company Logo9.2 两两类错误 由于人们作出判断的依据是一个样本，也就是由部分来推断整体，因而假设检验不可能绝对准确，它也可能犯错误。其可能性的大小，也 是以统计规律性为依据的，所可能犯的错误有两类。第一类错误是：原假设H。符合实际情况，而检验结果把它否定了，这称为弃
7、真错误弃真错误。第二类错误：原假设H。不符合实际情况，而检验结果把它肯定下来了，这称为取伪错误取伪错误。记 p p拒绝H H0 0/H/H0 0真 =p p 接受H H0 0/H/H0 0假 自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好。但对于一定的样本容量n，一般来说，不能同时做到犯这两类错误的概率都很小，往往是先固定“犯第一类错误”的概率，再考虑如何减小“犯第二类 错误”的概率。这类问题超出本书的范围，因此不予介绍。Company Logo9.3 一个正一个正态总体的假体的假设检验l 设总体为N(，2)。关于总体参数，2 的假设检验问题，本节介绍下列四种：l已知方差2，检验假设H0：=0l未知
8、方差2，检验假设H0：=0l未知期望，检验假设H0：2=02 l未知期望，检验假设H0：2 02 l其中H。中的0，02都是已知数。下面将通过具体例子，给出检验规则Company Logo 单正正态总体的假体的假设检验1、2已知的情形已知的情形U检验检验 根据假设H0：=0；H1：0,构造统计量计算,比较大小,得出结论根据给定的检验水平，查表确定分位数Company Logo例例 1 1 根据长期经验和资料的分析，某砖瓦厂生产砖的根据长期经验和资料的分析，某砖瓦厂生产砖的“抗断强度抗断强度”服从服从 正态分布，方差正态分布，方差 2 2=1.21=1.21。从该厂产从该厂产品中随机抽品中随机抽
9、取取6 6块，测得抗断强度如下块，测得抗断强度如下(/)：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 检验这批砖的平均强度为32.50(/)是否成立(=0.05)？解:（1）提出待检假设H。：=32.50（2）根据H0选取统计量在H0成立的条件下UN(0,1)(3)对于给定的检验水平=0.05构造小概率事件Company Logo解:（1）提出待检假设H。：=32.50（2）根据H0选取统计量在H0成立的条件下UN(0,1)(3)对于给定的检验水平a=0.05构造小概率事件(4)根据样本观察值计算统计量U的值查表确定分位数|u|=3.051.96=u0.025(5)
10、结论：拒绝H0即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50/。Company Logo关于方差已知的正态总体期望值关于方差已知的正态总体期望值 的检验步骤的检验步骤 ：(1)提出待检假设H。:=0 (0已知)（2）选取样本(1,n )的统计量在H。成立的条件下所选统计量UN（0，1）（3）根据给定的检验水平 查表确定临界值 U/2，使P(|U|U/2)=；(4)根据样本观察值计算统计量U的值并与临界值U/2比较；(5)下结论：Company Logo 若|U|U|/2/2，则否定H。；若|U|U|/2/2，则不能否定H。一般情况就接受H。；若|U|=|U|=/2/2，或|与/2 很接近，为了慎
11、重，一般先不下结论，而要再进行一次抽样检验。Company Logo解:（1）提出待检假设H。：=800（2）根据H0选取统计量在H0成立的条件下UN(0,1)(3)对于给定的检验水平=0.05构造小概率事件(4)根据样本观察值计算统计量U的值例 2 假定某厂生产一种钢索，它的断裂强度（kg/cm2）服从正态分布N(，402 )。从中选取一个容量为9的样本，得能否据此样本认为这批钢索的断裂强度为800/c(=0.05)?Company Logo解:（1）提出待检假设H。：=800（2）根据H0选取统计量在H0成立的条件下UN(0,1)(3)对于给定的检验水平=0.05构造小概率事件(4)根据样
12、本观察值计算统计量U的值查表确定分位数|u|=1.5t(n 1)=,得检验水平为的拒绝域为|T|t(n 1),附表四：附表四：p|t(n)|t=,t Company Logo关于方差未知的正态总体期望值关于方差未知的正态总体期望值 的检验步骤的检验步骤 ：(1)提出待检假设H。:=0 (0已知)（2）选取样本(1,n )的统计量（3）根据给定的检验水平查表确定临界值 t(n-1)，使P|T|t(n-1)=；(4)根据样本观察值计算统计量T的值并与临界值t比较；(5)下结论：确定拒绝区域为确定拒绝区域为|T|t(n 1),Company Logo例例3 3 从从19751975年的新生儿中随机地
13、抽取年的新生儿中随机地抽取2020个，测得其平个，测得其平均体重为均体重为3160g,3160g,样本标准差样本标准差为为300g300g。而根据过去统计资而根据过去统计资料，新生儿（女）平均体重料，新生儿（女）平均体重为为3140g3140g。问现在与过去的问现在与过去的新生儿（女）体重有无显著差异（假定新生儿体重服新生儿（女）体重有无显著差异（假定新生儿体重服从正态从正态 分布）？（分布）？（0.010.01）l解：方差2未知的正态总体，检验期望(1)提出待检假设H。:=03140（2）因而选取统计量（3）根据给定的检验水平 0.01查表确定临界值 t(n-1)t0.01(19)=2.86
14、1，使P|T|t(n-1)=；Company Logo（3）根据给定的检验水平 0.01查表确定临界值 t(n-1)t0.01(19)=2.861，使P|T|t(n-1)=；（2）因而选取统计量(1)提出待检假设H。:=3140确定拒绝区域为确定拒绝区域为|T|t(n 1),(4)根据样本观察值计算统计量T的值并与临界值t比较；t(n-1)=；（2）因而选取统计量(1)先 提出待检假设H。:=500确定拒绝区域为确定拒绝区域为|T|t(n 1),(4)根据样本观察值计算统计量T的值并与临界值t比较；F(n1 1,n2 1)=得拒绝域为：FF(n1 1,n2 1)Company Logo三、均三
15、、均值差的假差的假设检验对于给定的检验水平,构造小概率事件Company Logo例例1 1 在在1010个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行品比试验，得如下资料（单位：品比试验，得如下资料（单位：kgkg）甲95196610081082983乙730864742774990给定检验水平=0.05，则问题是检验两个总体的，解 首先建立待检假设对于给定的检验水平0.05,构造小概率事件Company Logo解 首先建立待检假设对于给定的检验水平0.05,构造小概率事件pFF/2(n1 1,n2 1)=得拒绝域为FF/2(n1 1,n2 1)查表Company L
16、ogo解 然后建立待检假设对于给定的检验水平0.05,构造小概率事件即认为两种 玉米产量有明显的差异。Company Logol 因此，实际工作中遇到这类问题时，往往要先进行方差的检验，要先进行方差的检验，只有在两个总体的方差被认为相等的时候，再进行期望值的检验。再进行期望值的检验。关于两个正态总体期望值相等的假设检验，需要用到(定理7.4推论2中)两个总体方差相等的条件。这个条件的成立，往往是从已有的大量经验中得到或者是事先进行了关于两个方差相等的检验，并且得到了肯定的结论。Company Logol甲矿 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 l乙矿 18.2 16.9 20.2
17、 16.7 例2 从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率(%)如下：假定各煤矿的含灰率都服从正态分布，问甲，乙两矿的含灰率有无显著差异(=0.05)?解 给定检验水平=0.05，这是两个样本容量不相等，关于两个正态总体检验两个期望是否相等的问题。要先进行方差的检验，要先进行方差的检验，当两个总体的方差被认为相等的时候，再进行期望值的检验。再进行期望值的检验。Company Logo解 首先建立待检假设对于给定的检验水平0.05,构造小概率事件pFF/2(n1 1,n2 1)=得拒绝域为FF/2(n1 1,n2 1)查表Company Logo解 然后建立待检假设对于给定的检验水平0.05,构造小概
18、率事件Company Logo 因而认为两煤矿的含灰率无显著的差异，但由于2.245与临界值2.365比较近，为稳妥计，最好再抽一次样，进行一次计算。因而认为两煤矿的含灰率无显著的差异对于给定的检验水平0.05,构造小概率事件Company Logol6 月月 3 220 3 220 3 760 3 000 2 920 3 740 l 3 060 3 080 2 940 3 060例3 为比较不同季节出生的新生儿(女)体重的方差,从1975年12月及6月的新生儿(女)中分别随机地抽取6 名及10名测其体重如下(单位:g)12月月 3 520 2 960 2 560 1 960 3 260 3
19、960设想冬季的方差比夏季的小.(=0.05)假定新生儿体重服从正态分布，问新生儿(女)体重的方差是否冬季的比夏季的小？（0.050.05）解 设1，2分别表示冬夏两季出生的新生儿体重显然1，2相互独立Company Logo这是两个正态总体方差的单边假设检验问题这是两个正态总体方差的单边假设检验问题未知1，2，检验假设两样本独立,给定检验水平 ,由观测值对于给定的检验水平,构造小概率事件pF*F(n1 1,n2 1)=得拒绝域为：FF(n1 1,n2 1)Company Logo得拒绝域为：FF(n1 1,n2 1)pF*F(n1 1,n2 1)=对于给定的检验水平,构造小概率事件拒绝假设H
20、0认为新生儿(女)体重的方差冬季不比夏季的小Company Logo 小样本，F检验法在工业上很有用，不少工厂每天要用这种方法来检验两个正态总体的方差是否相等，利用F分布进行检验并不需要预先知道两个总体的期望总体的期望值是否相等，这是它的优越之处。Company Logo置信区间与假设检验的关系？置信区间与假设检验之间有明显的关系考虑置信区间与双边假设检验的对应关系Company Logo考虑显著性水平为的双边检验根据显著性水平假设检验的拒绝区域的定义得拒绝域为接受域为Company Logo这就是说，当我们要进行假设检验时，先求出的置信水平为1-的置信区间然后考察0是否落在置信区间反之，对于任意的0，考虑显著性水平为假设检验问题：假设H0的接受域为因此，是参数的一个置信水平为1-的置信区间Company Logo参数的区间估计待估参数其它参数估计量及其分布置信概率置信区间2已知2未知2未知Company Logo参数的假设检验原假设H0H0成立时统计量及其分布小概率事件拒绝域分位数(2已知)=0(2未知)=Company Logo