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1、上篇应力应变分析第一章 应力分析主要内容：1.应力分量、应力张量概念2.斜截面应力公式3.平衡微分方程4.应力边界条件5.应力分量坐标变换6.主应力，最大剪应力，Mohr应力圆7.偏应力张量，等效应力，主应力空间1-1 1-1 应力矢量应力矢量一一、外力概念外力概念体力、面力体力、面力（材力：集中力、分布力。）（材力：集中力、分布力。）(1)体体力力 物体内单位体积上所受的外力物体内单位体积上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1)F 是是坐标的连续分布函数坐标的连
2、续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。(2)面面力力 作用于物体表面单位面积上的外力作用于物体表面单位面积上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：说明：(1)F 是是坐标的连续分布函数坐标的连续分布函数；(2)F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。(1
3、)一点应力的概念一点应力的概念AF内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)P(1)P点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2)应力矢量应力矢量.-P点的应点的应力力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度n(法线法线)二二、应力矢量应力矢量应力分量应力分量应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的应力分量沿坐
4、标轴的分量：应力分量沿坐标轴的分量：用用表示坐标轴单位矢量表示坐标轴单位矢量重要公式重要公式(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：用矩阵表示：用矩阵表示：应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力正负号的规定：应力正负号的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐
5、标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyzO与材力中剪应力与材力中剪应力正负正负号规定的区别：号规定的区别：xy规定使得单元体顺时规定使得单元体顺时转的剪应力转的剪应力为为正，正，反之为负。反之为负。在用在用应力莫尔圆时必须应力莫尔圆时必须用此规定求解问题用此规定求解问题xyzO其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理用张量表示：用张量表示：重要公式重要公式1-2 Cauchy1-2 Cauchy公式（斜面应力公式）公式（斜面应力公式）已知物体在任一点已知物体在任一点P的六个应力分量的六个应力
6、分量 求经过求经过P点的任一斜面上的应力。点的任一斜面上的应力。设三角形设三角形ABC的的面积为面积为 S，则，则三角三角形形BPC、CPA、APB的面积分别为的面积分别为l S、m S、n S。四面体四面体PABC的体积用的体积用 V表示。三角形表示。三角形ABC上的上的应力应力 在坐在坐标轴方向的分量标轴方向的分量根据四面体的平衡条件根据四面体的平衡条件 ，令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为其方向余弦为除以除以 S，移项后，得移项后，得 当斜面当斜面ABC趋近于趋近于P点点时，由于时，由于 V是比是比 S更高一阶的更高一阶的微微量，所以量，所以 V/S趋于零。于是得出下
7、式中的第一式。同样，趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件由平衡条件 可以得出其余两式。可以得出其余两式。斜面应力(Cauchy)公式重要公式重要公式设设三角形三角形ABC上的正应力为上的正应力为 N,则由投影可得则由投影可得将将Cauchy公式代入，得公式代入，得重要公式重要公式重要公式重要公式斜面应力矢量大小斜面应力矢量大小重要公式重要公式斜面剪应力分量大小斜面剪应力分量大小重要公式重要公式 在物体的任意一点，如果已知六个应力在物体的任意一点，如果已知六个应力分量分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定了一点
8、的应力状是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。态。1-3 1-3 平衡微分方程平衡微分方程在物体内的任意一点在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。oxyzzzdzzss+zyzydzztt+zxzxdzztt+yydyyss+yzyzdyytt+yxyxdyytt+xsxytxztzszytzxtysyztyxtxxdxxss+xyxydxxtt+xzxzdxxtt+eeBPCAdxdydz首先，以连接六面体前后两面中心的直线首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出为矩轴，
9、列出力矩的平衡方程力矩的平衡方程oxyzzzdzzss+zyzydzztt+zxzxdzztt+yydyyss+yzyzdyytt+yxyxdyytt+zszytzxtysyztyxteeBPCAdxdydz整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得同样可以得出同样可以得出剪应力互等定理列出列出x轴方向的力的平衡方程轴方向的力的平衡方程 由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化简，除以程。化简，除以dxdydz，得得空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）（纳维叶方程）重要公式重要公式如物体处于运动状态如物体处于运
10、动状态,根据达朗伯根据达朗伯(dAlembertdAlembert)原理原理,在体力项中引入惯性力在体力项中引入惯性力:运动微分方程1-4 1-4 力边界条件力边界条件 如果斜截面如果斜截面ABC是物体的边界面，则是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面成为面力分量力分量 ，于是得出，于是得出 即即应力边界条件应力边界条件。它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。系。重要公式重要公式1-5 应力分量的坐标变换 在给定载荷作用下，物体内的任意斜截面上应力的大小和方向是确定的，即一点的应力状态是确定的。不随所取坐标系的不同而变化。一点的应力（应
11、变）状态是用6个应力分量来定义，而应力分量是在一定的坐标系下确定的，且随坐标系的不同的变化。本节重点是讨论坐标变换时应力分量的变化规律。坐标变换包括平移、旋转和反射。对右手坐标系，平移和旋转变换后仍保持右手系，反射变换则变成左手系。l对对平移变换，一点的应力分量保持不变。平移变换，一点的应力分量保持不变。l本节本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化规主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化规律律考察物体内任一点考察物体内任一点考察物体内任一点考察物体内任一点o o，设，设，设，设oxyzoxyz为旧坐标系，其为旧坐标系，其为旧坐标系，其为旧坐标系，其单位矢量为单位矢量为单位矢量为单位矢量为e e
12、x x、e ey y、e ez z，相应的应力分量为，相应的应力分量为，相应的应力分量为，相应的应力分量为xyze1e2e3zxye1e2e3l设设oxyz为为新坐标，其单位新坐标，其单位矢量为矢量为ex、ey、ez。相应的应力分量为相应的应力分量为新旧坐标系下坐标轴间的方向余弦为x xy yz zx xl l1 1=a a1111m m1 1=a a1212n n1 1=a a1313y yl l2 2=a a2121m m2 2=a a2222n n2 2=a a2323z zl l3 3=a a3131m m3 3=a a3232n n3 3=a a3333作斜面作斜面abcabc垂直于
13、垂直于xx轴，该斜面上的应力矢量为轴，该斜面上的应力矢量为T T。T T在旧坐标系下的三个分量为在旧坐标系下的三个分量为T Tx x，T Ty y和和T Tz z ，则，则xyzzxyTT1T2T3由斜面应力(Cauchy)公式T在新坐标系下的三个分量为 Tx、Ty、Tz 则用矩阵表示：同理：合并：1-6 主应力与应力张量不变量已知一点的应力分量已知一点的应力分量 ，则任意斜截面上的应，则任意斜截面上的应力矢量力矢量l斜截面上的应力不仅与该点的应力状态斜截面上的应力不仅与该点的应力状态 有关，且有关，且与斜面的方向与斜面的方向 有关。有关。l问：问：是否存在一特定的斜截面，剪应力为零。是否存在
14、一特定的斜截面，剪应力为零。l其上应力矢量其上应力矢量T与截面法线同向。即与截面法线同向。即T为该截为该截面上的正应力面上的正应力 ，已知当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为应力，没有剪应力，称该平面为主平面主平面；主平面上；主平面上的正应力称为的正应力称为主应力；主应力；主应力方向（即主平面法线主应力方向（即主平面法线方向）称为方向）称为主方向主方向。l上述方程为上述方程为 的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，且常数项都为且常数项都为零。因为：零。因为：，故，故 不能同时为零，不能同时为零，所以方程组的系数行列式
15、应为零，即所以方程组的系数行列式应为零，即 将将行列式展开，得到求解主应力行列式展开，得到求解主应力 的三次方程的三次方程，称为应力张量，称为应力张量 的的特征方程。特征方程。式中式中设设特征方程的三个根为特征方程的三个根为 ，则，则l展开后有展开后有l比较上两式，有比较上两式，有对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故 是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。（特征方程）（特征方程）分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。例：求主应力和主方向解：代入特征方程：解得求 对应的主方向主应力的重要性质1.主
16、应力为实数；主应力为实数；2.三个主应力相互垂直；三个主应力相互垂直；即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。平面，及对应的三个主应力。（1）当当 ，有，有3个相互垂直的主应力；个相互垂直的主应力；（2）当）当 ，与，与 垂直的平面上的任意方向都垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。值相同。（3）当）当 ，空间任意方向都是主方向，且应，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。力值相同。3.3.主应力的极值性；主应力的极值性；（
17、1 1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值；截面上正应力的最大（或最小）值；设：设：，则，则（2 2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力意截面上全应力T T的最大（或最小）值。的最大（或最小）值。1-7 最大剪应力设3个主应力及主方向已知。以3个主方向为坐标轴方向。则应力分量：由斜面应力公式由由l 是是m，n的函数，的函数，取极值（取极值（也取极值）的条件是也取极值）的条件是l即即l上式第一式除上式第一式除 ，第二式除，第二式除 ，得得（1 1）当）当对应主平面，
18、其剪应力为零。（极小值）对应主平面，其剪应力为零。（极小值）第二组解：第二组解：第一组解：第一组解：对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成主平面成45）的平面，其剪应力取极大值。）的平面，其剪应力取极大值。设设，最大剪应力为：最大剪应力为：剪应力极大值（六个面）：剪应力极大值（六个面）：（2 2）两主应力相等，设）两主应力相等，设由由第二式，得第二式，得方程的解为方程的解为由由第一式自然满足第一式自然满足 表示通过表示通过表示通过表示通过ozoz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。轴的平面，该组平面上，剪应力为零。轴的平面，该组平面上，剪
19、应力为零。轴的平面，该组平面上，剪应力为零。表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组面上剪应力取最大值。面上剪应力取最大值。（3）三个主应力相等 空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面，空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面，剪应力均为零。剪应力均为零。该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。该应力状态称为均匀受力状态，也称为静水应力状态。1-8 Mohr应力圆（自学）1-9 应力张量的分解（应力球形张量与偏应力张量）描述一点应力状态的描述一点应力状态的9 9个应力分量构成一个对称应个应力分量构成一个对称应力张量力张量引入平均应力引入平均
20、应力l则则l应力张量可分解为两个张量之和应力张量可分解为两个张量之和简写为简写为l式中式中称称 为应力偏量，为应力偏量，为应力球形张量，为应力球形张量，为单位张量。为单位张量。球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不变。变。l应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，
21、是正应力之应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形状改变。状改变。l静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到很大值，材料也不产生塑性变形。很大值，材料也不产生塑性变形。故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；应力偏量是产生塑性变形的真正原因。应力偏量是产生塑性变形的真正原因。应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。应力偏量也是一种应力
22、状态，同样存在着不变量。应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。用用用用 表示。表示。表示。表示。式式中：中：一、八面体应力一、八面体应力以三个应力主方向为坐标轴，过物体中的一点作以三个应力主方向为坐标轴，过物体中的一点作一外法线一外法线n n与与3 3个应力主方向有相同角度的斜面。个应力主方向有相同角度的斜面。即：即：由：由：有有:1-10八面体应力和等效应力这样的斜面称为等倾面，这样的斜面称为等倾面，共共8 8个，在空间构成一个个，在空间构成一个八面体。八面体。由斜截面计算公式：由斜截面计算公式：得得八面体平面上的应力在塑形理论中非常重要八面体平面上的应力在塑形理论中非常重要比较比较
23、有有二、等效应力二、等效应力设设单轴拉伸单轴拉伸 主应力空间主应力空间中任意一坐标点中任意一坐标点 代代表物体一点的应力状态。表物体一点的应力状态。三、主应力空间与三、主应力空间与 平面平面 由由 为作标轴的直角坐标系，称为为作标轴的直角坐标系，称为主应力主应力空间空间 或：或：物体中一点的应力状物体中一点的应力状态在态在主应力空间主应力空间中有对应的中有对应的坐标点。坐标点。在主应力空间，过原点在主应力空间，过原点OO作一条与作一条与3 3个坐标轴具有相同夹个坐标轴具有相同夹角的角的直线直线，该直线上的任意一点所代表的应力状态有，该直线上的任意一点所代表的应力状态有为静水压力状态，该直线为静水压力轴。为静水压力状态，该直线为静水压力轴。过原点过原点OO以静水压力轴为法线作一个平面，称为以静水压力轴为法线作一个平面，称为 平面。平面。在在 平面上，平面上，为偏应力状态，为偏应力状态 。静水压力轴静水压力轴重要公式：重要公式：一、应力状态矩阵一、应力状态矩阵二、斜面应力(Cauchy)公式三、斜截面应力矢量，正应力和剪应力三、斜截面应力矢量，正应力和剪应力四、平衡微分方程四、平衡微分方程五五、应力边界条件应力边界条件六、坐标变换公式六、坐标变换公式七、主应力公式七、主应力公式八、最大剪应力八、最大剪应力九、九、8 8面体应力面体应力十、等效应力十、等效应力第一章结束