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1、7.5用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称为为自内力自内力。用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点：作用时相
2、同，只是具体计算时，有以下三个特点：第一，第一，力法方程中的自由项不同力法方程中的自由项不同。这里的自由项，不再是荷载引起的这里的自由项，不再是荷载引起的D DiP，而是由支座移而是由支座移动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上的位移的位移D Dic或或D Dit等。等。第二，对支座移动问题，第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零力法方程右端项不一定为零。当取有移动的支座约束力为基本未知力时，当取有移动的支座约束力为基本未知力时，D Di0，而是而是D Di=Ci 第三，计算最后第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同内力的叠加公式不
3、完全相同。由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最后弯矩叠加公式为后弯矩叠加公式为 一、支座移动时的内力计算一、支座移动时的内力计算计算支座移动引起计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中次超静定结构的内力时，力法程中第第 i个方程的一般形式可写为个方程的一般形式可写为 d dij为柔度系数为柔度系数 Ci，表示原结构在表示原结构在Xi方向的实际位移方向的实际位移D Dic，表示基本结构在支座移动作用下在表示基本结构在支座移动作用下在X
4、i方向的位移方向的位移【例例7-9】图示单跨超静定梁图示单跨超静定梁AB，已知已知EI为常数，左端支座转动角度为为常数，左端支座转动角度为q q，右端支座下沉位移为右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。试求在梁中引起的自内力。(1)第一种解法第一种解法:此梁为一次超静定，以下分别采用此梁为一次超静定，以下分别采用三种基本体系求解三种基本体系求解。取支座取支座B的竖向反力为多余未知力的竖向反力为多余未知力X1，其其力法方程为力法方程为其中其中ABCall/2l/2q qq qX1aq qq qq qq qX1=1D D1cl基本体系之一基本体系之一图图得得 由此求得由此求得 弯矩叠加公式
5、为：弯矩叠加公式为：X1M图图ABCall/2l/2q qq qX1aq qq qq qq qX1=1D D1cl基本体系之一基本体系之一图图(2)第二种解法第二种解法 取支座取支座A的反力偶作为多余未知力的反力偶作为多余未知力X1，其力法方程为其力法方程为其中其中力法方程力法方程 与第一种解法所作与第一种解法所作M图完全相同。图完全相同。X1基本体系之二基本体系之二aq qaD D1cX1=11图图X1M图图(3)第三种解法第三种解法 将梁将梁AB中点截面中点截面C改为铰结，取该截面上的改为铰结，取该截面上的弯矩作为多余未知力弯矩作为多余未知力X1，其力法典型方程为其力法典型方程为（m）其中
6、其中力法方程为力法方程为 由此可得由此可得 q qq qq qq qaaX1基本体系之三基本体系之三q qD D1cX1=1图图12X1M图图以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程：以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程：第一种解法第一种解法 第二种解法第二种解法 第三种解法第三种解法 一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座位移参数都出现在左边的自由项中。位移参数都出现在左边的自由项中。(5)特例特例1）若）若a=0，则原体系如图示，相应
7、的则原体系如图示，相应的M图如图所示。图如图所示。A 点的点的 ,若引入符号若引入符号 称为杆件的称为杆件的线刚度线刚度则则q qq qlABEIAB3iq q3iq/q/33iq/q/3M图图2）若）若q q=0，并令并令D DAB=a，则原体系如图则原体系如图7-26a所示，相应的所示，相应的 M图如图图如图7-26b所示。所示。A点的点的 ，若再引入符，若再引入符号号称为杆称为杆AB的的弦转角弦转角，则，则(6)上述计算结果表明：在支上述计算结果表明：在支座位移时，超静定结构将产生座位移时，超静定结构将产生内力和反力，其内力和反力与内力和反力，其内力和反力与各杆件刚度的各杆件刚度的绝对值
8、成正比绝对值成正比。ABl弦转角弦转角b bEID DABABM图图二、温度变化时的内力计算二、温度变化时的内力计算在温度变化时，在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第次超静定结构的力法方程中，第i个个方程的一般形式为方程的一般形式为式中，式中，D Dit表示基本结构在温度变化作用下沿表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向方向的位移；的位移；D Di表示原结构沿表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变方向的位移（在温度变化问题中，一般化问题中，一般D D i=0）。）。例例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆图。各杆截面为矩形，高度截面为矩形，
9、高度h=l/10，线膨胀系数为线膨胀系数为a。设。设EI=常数常数解解:此结构为一次超静定刚架，取基本体系此结构为一次超静定刚架，取基本体系如图所示。力法方程为如图所示。力法方程为lllAABBCCDD+15+15+15-15-10+5基本体系基本体系+15+15+15-15-10+5X1X1AB段t0=0BC段t0=2.5CD段t0=10AB段Dt=30BC段Dt=25CD段Dt=10分别作分别作 图和图和 图，如图图，如图7-27c、d所示。所示。图图X1=111ABCDABDC图图代入典型方程，可得代入典型方程，可得()最后弯矩图最后弯矩图 ，如图所示。，如图所示。由计算结果可知，在温度
10、变化时，超静定结构的内力与反力与各杆由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各杆件件刚度的绝对值成正比刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内力状。因此，加大截面尺寸并不是改善自内力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降温可能态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降温可能出现裂缝的情况（出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高温一侧受对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高温一侧受压压）。）。杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。自内
11、力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。77.5EIa a/l77.5EIa a/l77.5EIa a/l77.5EIa a/lM图图ABCD 在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平均温度变化均温度变化t0而引起的杆长变化量而引起的杆长变化量a t0l，代之以杆件制代之以杆件制作长度的误差或材料的收缩量作长度的误差或材料的收缩量D Dl，亦即将温度变化时亦即将温度变化时的自由项计算公式的自由项计算公式 代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由项代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由项计算公式计算公式 可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起的可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起的结构的自内力有很大的影响。结构的自内力有很大的影响。