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1、2.2.塑性成形的力学基础塑性成形的力学基础2.1 2.1 点的应力状态分析点的应力状态分析1)1)基本概念基本概念外力、内力和应力外力、内力和应力（1 1）外力）外力 变形体所受外力分为体积力和面力变形体所受外力分为体积力和面力两类。面力是作用在变形体表面上的，它包括两类。面力是作用在变形体表面上的，它包括工模具对变形体的作用力和约束反力等。分析工模具对变形体的作用力和约束反力等。分析塑性成形过程时，体力一般可以不考虑，若不塑性成形过程时，体力一般可以不考虑，若不加特殊说明，外力即指表面力。加特殊说明，外力即指表面力。（2 2）内力）内力 在外力作用下，为保持变形体的在外力作用下，为保持变形
2、体的连续性，其内部各质点之间必然会产生相互连续性，其内部各质点之间必然会产生相互作用的力，叫做内力。作用的力，叫做内力。变形体受外力系变形体受外力系F1、F2、的作用处于平衡状的作用处于平衡状态。体内有任意点态。体内有任意点Q，过，过Q作一法线为作一法线为N的平面的平面A，将物体切开移去上半部。，将物体切开移去上半部。A面即可看成是下面即可看成是下半部的外表面，半部的外表面，A面上作用的内力应该与下半部面上作用的内力应该与下半部其余外力保持平衡。这样，内力问题就可以转其余外力保持平衡。这样，内力问题就可以转化为外力问题来处理。化为外力问题来处理。图图2-1 外力、内力和应力外力、内力和应力 （
3、3 3）应力）应力 单位面积的内力，称为应力。单位面积的内力，称为应力。定义：定义：为为Q点的全应力。点的全应力。问题问题:如何完整地描述变形体内一点的受力情况如何完整地描述变形体内一点的受力情况也即应力状态呢？也即应力状态呢？一点的应力状态是标量？矢量？一点的应力状态是标量？矢量？点的应力状态不同于物理量的标量和矢点的应力状态不同于物理量的标量和矢量，它需要用过该点的三个互相垂直截面上量，它需要用过该点的三个互相垂直截面上的三个应力矢量才能完整地确定。这样的物的三个应力矢量才能完整地确定。这样的物理量又称为二阶张量。因此，点的应力状态理量又称为二阶张量。因此，点的应力状态是二阶张量。是二阶张
4、量。2 2）直角坐标系中一点的应力状态）直角坐标系中一点的应力状态 围绕直角坐标系一承受任意力系作用物体的围绕直角坐标系一承受任意力系作用物体的任意点任意点Q切取无限小单元体，棱边平行于坐标切取无限小单元体，棱边平行于坐标轴。各微分面应力沿坐标轴分解为三个分量，轴。各微分面应力沿坐标轴分解为三个分量，一个正应力，两个剪应力分量。一点的应力状一个正应力，两个剪应力分量。一点的应力状态需用九个应力分量来描述。态需用九个应力分量来描述。图图2-2 单元体的受力情况单元体的受力情况a）物体内的单元体）物体内的单元体 b）单元体上的应力状态）单元体上的应力状态 应力分量符号带有两个下角标，第一个表示应力
5、分量符号带有两个下角标，第一个表示该应力分量作用面的方向，第二个表示它的作该应力分量作用面的方向，第二个表示它的作用方向。两个下角标相同的是正应力分量，例用方向。两个下角标相同的是正应力分量，例如如xx xx即表示即表示x x面上平行于面上平行于x x轴的正应力分量，简轴的正应力分量，简写为写为x x；两个下角标不同的是剪应力分量，例；两个下角标不同的是剪应力分量，例如如xy xy即表示即表示x x面上平行于面上平行于y y轴的剪应力分量。轴的剪应力分量。应力分量正负号规定：单元体外法线指向应力分量正负号规定：单元体外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面；坐标轴正向的微分面叫做正面，
6、反之为负面；对于正面，指向坐标轴正向的应力分量为正，对于正面，指向坐标轴正向的应力分量为正，指向负向的为负；负面情况正好相反。椐此，指向负向的为负；负面情况正好相反。椐此，正应力以拉为正，以压为负，而图中各应力正应力以拉为正，以压为负，而图中各应力分量均为正。分量均为正。单元体处于静力平衡状态，故绕单元体单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴合力矩必为零。由此可导出剪应力互等各轴合力矩必为零。由此可导出剪应力互等关系式：关系式：；因此，表示点应力状态的九个应力分量因此，表示点应力状态的九个应力分量中只有六个是独立的，也即点的应力状态是中只有六个是独立的，也即点的应力状态是二阶对称张量二阶对称张
7、量。应力分量用符号应力分量用符号 ij ij（i i、j=xj=x、y y、z z）表示，使下角标表示，使下角标i i、j j分别依次等于分别依次等于x x、y y、z z，即可得到九个应力分量，表示成矩阵，即可得到九个应力分量，表示成矩阵形式为：形式为：3 3）主应力和应力张量不变量）主应力和应力张量不变量（1 1）主应力）主应力定义：切应力为零的面为主平面，主平面上定义：切应力为零的面为主平面，主平面上作用的应力为主应力。作用的应力为主应力。定义：存在着唯一的三个相互垂直的方向，定义：存在着唯一的三个相互垂直的方向，与此三个方向垂直的微分面上剪应力为零，与此三个方向垂直的微分面上剪应力为零
8、，只存在着正应力。此正应力称为主应力，用只存在着正应力。此正应力称为主应力，用1 1、2 2、3 3表示，而相应的三个相互垂直的表示，而相应的三个相互垂直的方向称为主方向，与主方向一致的坐标轴叫方向称为主方向，与主方向一致的坐标轴叫做应力主轴。做应力主轴。已知单元体的应力状态为：已知单元体的应力状态为：与其斜切的任意斜面上的应力分量亦可求出。与其斜切的任意斜面上的应力分量亦可求出。设该斜面法线为设该斜面法线为N，N的方向余弦为：的方向余弦为：；图图2-3 斜切微分面上的应力斜切微分面上的应力由静力平衡条件由静力平衡条件 、可得：可得：（2-1）又有：又有：（2-2）（2-3）（2-4）假定图假
9、定图2-32-3中法线方向余弦为中法线方向余弦为l l、m m、n n的的斜切微分面斜切微分面ABC正好就是主平面，面正好就是主平面，面上的剪应力上的剪应力=0=0，则由式（，则由式（4-44-4）可得）可得=S=S。于是主应力。于是主应力在三个坐标正方在三个坐标正方向上的投影向上的投影S xS x、S yS y、S zS z分别为分别为:;将式（将式（2-12-1）代入上列诸式，经整理后可得）代入上列诸式，经整理后可得:（2-5）又有：又有：（2-6）式（式（2-52-5）存在非零解的条件是方程组的系数所组成）存在非零解的条件是方程组的系数所组成的行列式等于零。展开行列式并考虑应力张量的对的
10、行列式等于零。展开行列式并考虑应力张量的对称性，则得称性，则得:（2-7）式中：式中：（2-8）（2-72-7）式称为应力状态特征方程。可以证明，）式称为应力状态特征方程。可以证明，它存在三个实根，即主应力它存在三个实根，即主应力1 1、2 2、3 3。将求得的主应力代入式（将求得的主应力代入式（2-52-5）中任意两）中任意两个方程式，与式（个方程式，与式（2-62-6）联解，即可求得该）联解，即可求得该主应力的方向余弦。这样，便可最终求得三主应力的方向余弦。这样，便可最终求得三个主方向。可以证明，这三个主方向是彼此个主方向。可以证明，这三个主方向是彼此正交的。于是正交的。于是,一点的应力状
11、态就可写成一点的应力状态就可写成:（2 2）应力张量不变量）应力张量不变量 一个确定的应力状态，三个主应力是唯一个确定的应力状态，三个主应力是唯一的。特征方程（一的。特征方程（2-72-7）的系数）的系数J1、J2 、J3是是单值的。可见，尽管应力张量各分量会随坐单值的。可见，尽管应力张量各分量会随坐标转动而变化，但式标转动而变化，但式J1、J2 、J3 值是不变的，值是不变的，称为应力张量第一、第二和第三不变量。判称为应力张量第一、第二和第三不变量。判别两个应力张量是否相同，可以通过三个应别两个应力张量是否相同，可以通过三个应力张量不变量是否对应相等来确定。力张量不变量是否对应相等来确定。问
12、题：问题：既然既然J J1 1、J J2 2 、J J3 3为应力张量不变量，用主为应力张量不变量，用主应力应如何表示呢？应力应如何表示呢？J J1 1=1 1+2 2+3 3 J J2 2=-(=-(1 12 2+2 23 3+3 31 1)J J3 3=1 12 23 3 人们常根据三个主应力的特点来区分各种人们常根据三个主应力的特点来区分各种应力状态。当三个主应力中有两个为零时，应力状态。当三个主应力中有两个为零时，称为单向应力状态；如只有一个主应力为零，称为单向应力状态；如只有一个主应力为零，则称为平面应力状态；若三个主应力都不为则称为平面应力状态；若三个主应力都不为零，就叫三向应力状
13、态；三个主应力中有两零，就叫三向应力状态；三个主应力中有两个相等，称为轴对称应力状态。个相等，称为轴对称应力状态。4 4）主剪应力和最大剪应力）主剪应力和最大剪应力（1 1）主剪应力）主剪应力定义：剪应力达到极值的平面称为主剪应力平定义：剪应力达到极值的平面称为主剪应力平面，其面上作用的剪应力为主剪应力。如图，面，其面上作用的剪应力为主剪应力。如图，一对相互垂直的主剪应力平面与某一主平面垂一对相互垂直的主剪应力平面与某一主平面垂直，而与另两个主平面成直，而与另两个主平面成4545角。角。图图2-5 主剪应力平面主剪应力平面需要注意：需要注意：主平面上只有法向应力即主应力，而无剪主平面上只有法向
14、应力即主应力，而无剪应力；应力；而主剪应力平面上既有剪应力又有正应力。而主剪应力平面上既有剪应力又有正应力。主剪应力平面上的正应力为：主剪应力平面上的正应力为：（2 2）最大剪应力）最大剪应力定义：绝对值最大的主剪应力，即受力质点定义：绝对值最大的主剪应力，即受力质点所有方向的切面上剪应力最大值称为最大剪所有方向的切面上剪应力最大值称为最大剪应力。显然有：应力。显然有：（2-92-9）这里有：这里有：问题：问题：最大剪应力面上是否存在正应力？若存最大剪应力面上是否存在正应力？若存在其值为何？这个正应力会为零吗？在其值为何？这个正应力会为零吗？5)5)应力偏张量与应力球张量应力偏张量与应力球张量
15、应力状态可以分解成以下两部分：应力状态可以分解成以下两部分：（2-10）式中：式中：称为平均应力，又称静水应力。称为平均应力，又称静水应力。（2-10）式可简写为：）式可简写为：问题：问题：什么是静水压力？静水压力与什么是静水压力？静水压力与平均应力或静水应力有何关系？通平均应力或静水应力有何关系？通常静水压力用什么符号来表示？其常静水压力用什么符号来表示？其正负号是如何规定的？正负号是如何规定的？式（式（2-102-10）右边第二项称为球形应力张量，）右边第二项称为球形应力张量，简称应力球张量。当质点处于球应力状态时，简称应力球张量。当质点处于球应力状态时，过该点的任意方向均为主方向，且各方
16、向的过该点的任意方向均为主方向，且各方向的主应力相等，而任何切面上的剪应力均为零。主应力相等，而任何切面上的剪应力均为零。所以应力球张量的作用与静水压力相同，它所以应力球张量的作用与静水压力相同，它只能引起物体的体积变化，而不能使物体发只能引起物体的体积变化，而不能使物体发生形状变化。生形状变化。需要指出，应力球张量虽然不能使物体需要指出，应力球张量虽然不能使物体发生形状变化和塑性变形，但对物体塑性变发生形状变化和塑性变形，但对物体塑性变形能力（塑性和变形抗力）却有重大影响。形能力（塑性和变形抗力）却有重大影响。式（式（2-102-10）右边第一项称为应力偏张量，记）右边第一项称为应力偏张量，
17、记为为 。在应力偏张量中不再包含各向等应力。在应力偏张量中不再包含各向等应力的成分，应力偏张量不会引起物体体积变化。的成分，应力偏张量不会引起物体体积变化。再者，应力偏张量中的剪应力成分与整个应再者，应力偏张量中的剪应力成分与整个应力张量中的剪应力成分完全相同。因此，应力张量中的剪应力成分完全相同。因此，应力偏张量完全包含了应力张量作用下的形状力偏张量完全包含了应力张量作用下的形状变化因素，物体是否发生塑性变形只与应力变化因素，物体是否发生塑性变形只与应力偏张量有关。偏张量有关。归结起来，物体在应力张量作用下所归结起来，物体在应力张量作用下所发生的变形，包括体积变化和形状变化；发生的变形，包括
18、体积变化和形状变化；前者取决于应力球张量，而后者取决于应前者取决于应力球张量，而后者取决于应力偏张量；体积变化只能是弹性的，当应力偏张量；体积变化只能是弹性的，当应力偏张量满足一定数量关系时，则物体发力偏张量满足一定数量关系时，则物体发生塑性变形。生塑性变形。6 6）应力偏张量的不变量）应力偏张量的不变量 既然是张量，应力偏张量也具有三个不变量，既然是张量，应力偏张量也具有三个不变量，它们是：它们是：（4-11）问题：问题：应力球张量也存在三个不变量，其应力球张量也存在三个不变量，其形式如何？形式如何？7 7）主应力状态图）主应力状态图定义：用主应力的个数和符号来描述一点应定义：用主应力的个数
19、和符号来描述一点应力状态的简图称为主应力状态图，简称主应力状态的简图称为主应力状态图，简称主应力图。力图。在两向和三向应力状态中，各向主应力在两向和三向应力状态中，各向主应力符号相同时，称为同号主应力图；符号不同符号相同时，称为同号主应力图；符号不同时，称为异号主应力图。时，称为异号主应力图。图图2-6 主应力状态图主应力状态图第一排：单向应力状态；第二排：两向应力状态；第三排：三向应力状态第一排：单向应力状态；第二排：两向应力状态；第三排：三向应力状态8 8）一点邻区的（静力）微分平衡方程一点邻区的（静力）微分平衡方程设物体内有一点设物体内有一点Q，坐标为，坐标为x x，y y，z z。以。
20、以Q为为顶点切取边长为顶点切取边长为dxdx，dydy，dzdz的直角平行六面的直角平行六面微体，其另一个顶点微体，其另一个顶点Q的坐标为的坐标为x+dxx+dx,y+dyy+dy,z+dzz+dz。由于物体是连续的，应力的变。由于物体是连续的，应力的变化也应是坐标的连续函数。化也应是坐标的连续函数。图图2-7 直角坐标系直角坐标系-点邻区的应力分量点邻区的应力分量设设Q点的应力状态为点的应力状态为 ，其，其x x面上的正应力分面上的正应力分量为量为:在在Q点的点的x x面上，由于坐标变化了面上，由于坐标变化了dxdx，其正应，其正应力分量将为力分量将为:Q点的其余点的其余8 8个应力分量可用
21、同样方法推出，个应力分量可用同样方法推出，参见图参见图4-74-7。微体静力平衡，由条件微体静力平衡，由条件 得：得：整理后得：整理后得：同理有：同理有：（4-11）（2-112-11）式是求解塑性成形问题的基本方程。）式是求解塑性成形问题的基本方程。为解方程，对方程作简化。为解方程，对方程作简化。对于平面应力状态和平面应变状态，前者对于平面应力状态和平面应变状态，前者 ，后者，后者 与与z轴无关，轴无关，可简化为：可简化为：（2-12）2.2 2.2 点的应变状态分析点的应变状态分析1 1）位移与应变位移与应变 物体变形，质点产生位移。位移矢量为物体变形，质点产生位移。位移矢量为u，在三坐标
22、轴上的投影用位移分量，在三坐标轴上的投影用位移分量u、v、w表示。变形后保持连续，位移分量为坐标的表示。变形后保持连续，位移分量为坐标的连续函数，即：连续函数，即：应变也分正应变和剪应变两种。正应变应变也分正应变和剪应变两种。正应变以线元长度相对变化表示，剪应变以相互垂以线元长度相对变化表示，剪应变以相互垂直线元间的角度变化来定义。边长为直线元间的角度变化来定义。边长为dx、dy的微面素的微面素ABCD在坐标平面发生很小正变在坐标平面发生很小正变形，线元形，线元AB伸长伸长du，线元，线元AD缩短缩短dv，则其，则其正应变分别为：正应变分别为：；图图2-8 微面素在微面素在xy坐标平面内的纯变
23、形坐标平面内的纯变形 面素发生转动，线元面素发生转动，线元ABAB与与ADAD的夹角缩的夹角缩小了小了，此即为剪应变。显然，此即为剪应变。显然=。一般。一般 ，将面素加一刚性转动使，将面素加一刚性转动使 ，则剪应变大小不变，纯变形效果仍然，则剪应变大小不变，纯变形效果仍然相同，相同，和和 分别表示分别表示x x和和y y方向线元各方向线元各向向y y和和x x方向偏转的角度。方向偏转的角度。应变的正负号规定：应变的正负号规定：正应变以拉为正，压为负；剪正应变以拉为正，压为负；剪应变以角度减小为正，增大为负。应变以角度减小为正，增大为负。2 2）直角坐标系中一）直角坐标系中一点的应变状态点的应变
24、状态 应变有九个分量：三个正应变，六个剪应应变有九个分量：三个正应变，六个剪应变。微体的应变状态，也可用张量的形式表示变。微体的应变状态，也可用张量的形式表示为：为：3）小变形几何方程）小变形几何方程 为分析质点应变，过无限接近的两点为分析质点应变，过无限接近的两点A A和和G G作一微体。变形后，作一微体。变形后，A A点移至点移至AA点，点，G G点移至点移至GG点，点，A A点的位移矢量在各坐标轴点的位移矢量在各坐标轴上的分量为上的分量为u、v、w,而而G G点位移分量为点位移分量为u+du、v+dv、w+dw。AA点与点与GG点的坐点的坐标如图标如图2-92-9所示。所示。图图4-9
25、4-9 微体的变形微体的变形 为便于分析，将变形前后微体投影于各坐标为便于分析，将变形前后微体投影于各坐标轴平面。图轴平面。图2-102-10示出其在示出其在XOYXOY面上的投影面上的投影ABCDABCD的变形情形。由图可见，原长的变形情形。由图可见，原长dxdx的的ABAB边，在边，在x x方方向的正应变为向的正应变为：图图2-10 2-10 微体在微体在XOYXOY面上的投影面上的投影 ABAB边在边在XOYXOY面内的转角，考虑到与面内的转角，考虑到与1 1相比为微相比为微小量可忽略，故有：小量可忽略，故有：同理：同理：可有：可有：（2-13）式（式（2-132-13）称为小变形几何方
26、程，）称为小变形几何方程，是求解塑性成是求解塑性成形问题的重要基本方程。形问题的重要基本方程。4 4）塑性变形时的体积不变条件）塑性变形时的体积不变条件 单元体初始边长为单元体初始边长为dx、dy、dz，体积为体积为V V0 0=dxdydz。小变形时，认为单元体边长和。小变形时，认为单元体边长和体积变化完全由正应变引起。因此变形后单体积变化完全由正应变引起。因此变形后单元体的体积为：元体的体积为：单元体积变化率为：单元体积变化率为：塑性变形时，虽然体积也有微量变化，但塑性变形时，虽然体积也有微量变化，但与塑性变形相比很小，忽略不计。一般认为塑与塑性变形相比很小，忽略不计。一般认为塑性变形时体
27、积不变，故有体积不变条件性变形时体积不变，故有体积不变条件：5 5）应变张量的一些主要结论）应变张量的一些主要结论 应变张量和应力张量十分相似，应力应变张量和应力张量十分相似，应力理论中某些结论和公式，也可类推于应理论中某些结论和公式，也可类推于应变理论，只要把变理论，只要把 换成换成 ，换成换成 即可。即可。（1 1）微体应变状态存在三个相互垂直的主）微体应变状态存在三个相互垂直的主方向和主轴，在主方向上线元没有角度偏方向和主轴，在主方向上线元没有角度偏转，只有正应变，称为主应变，一般以转，只有正应变，称为主应变，一般以 、表示，它们是唯一的。对于小变形表示，它们是唯一的。对于小变形而言，可
28、认为应变主轴和应力主轴对应重而言，可认为应变主轴和应力主轴对应重合，且如果主应力中合，且如果主应力中 则主应变的则主应变的次序亦为：次序亦为：。（2 2）与应力张量相似，）与应力张量相似，在同一应变状态在同一应变状态，也也存在着存在着应变张量第一、第二、第三不变量应变张量第一、第二、第三不变量，它们分别为：它们分别为：（3）与主剪应力相似，主剪应变发生在通过）与主剪应力相似，主剪应变发生在通过一个应变主轴而与其它两个主轴成一个应变主轴而与其它两个主轴成45的一的一对平面内。主剪应变与主应变之间的关系，对平面内。主剪应变与主应变之间的关系，可以仿照主剪应力与主应力的关系写出。三可以仿照主剪应力与
29、主应力的关系写出。三个主剪应变中的最大者，称为最大剪应变，个主剪应变中的最大者，称为最大剪应变，若若 ，则有：则有：（4 4）和应力张量一样，应变张量也可以分解）和应力张量一样，应变张量也可以分解为应变偏张量和应变球张量，即：为应变偏张量和应变球张量，即：式中：式中：由于塑性变形时体积不变，故有：由于塑性变形时体积不变，故有：6 6）主应变状态图）主应变状态图定义：用主应变的个数和符号来描述一点应定义：用主应变的个数和符号来描述一点应变状态的简图称为主应变状态图，简称主应变状态的简图称为主应变状态图，简称主应变图。变图。图图2-11 2-11 主应变状态图主应变状态图第一排：平面应变状态；第二排：三向应变状态；第一排：平面应变状态；第二排：三向应变状态；表表2-12-1 各种塑性成形过程变形区的变形力学简图各种塑性成形过程变形区的变形力学简图