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1、学案学案13 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 定积分与定积分与微积分基微积分基本定理本定理(1)(1)了解定积分的实际背景了解定积分的实际背景,了解定了解定积分的基本思想积分的基本思想,了解定积分的概念了解定积分的概念.(2)(2)了解微积分基本定理的含义了解微积分基本定理的含义.在高考中出现的题目应属于容易题，考查定积分的简单在高考中出现的题目应属于容易题，考查定积分的简单应用应用(如求曲线围成的面积、力做的功等）的可能性较大如求曲线围成的面积、力做的功等）的可能性较大.1.用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体
2、步骤为梯形的面积的具体步骤为 、.2、定积分的定义、定积分的定义如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,用分点用分点a=x0 x1xi-1xn=b将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间个小区间,在在每个小区间每个小区间xi-1,xi上任取一点上任取一点i(i=1,2,n),作作和和式式 .当当n+时时,上述和式无限接近某个常数上述和式无限接近某个常数,这个常数叫这个常数叫做函数做函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分,取极限取极限 分割分割近似代替近似代替求和求和 记作记作 ,即即 =,其中其中f(x)叫做叫做 ,x叫做叫做_,f(x)dx叫做叫做 ,区间区间a,
3、b叫做叫做 ,a叫做叫做 ,b叫做叫做 ,“”称为积分号称为积分号.积分上限积分上限 被积函数被积函数积分变量积分变量被积式被积式积分区间积分区间积分下限积分下限3、定积分的性质、定积分的性质1.定积分的线性性质定积分的线性性质 =（k为常数），为常数），=.2.定积分对区间的可加性定积分对区间的可加性 =+(abc).4、微积分基本定理、微积分基本定理设设f(x)在在a,b上连续，上连续，F（x）是）是f(x)的任意一个原函数，的任意一个原函数，即即F(x)=f(x)，那么，那么 =F(b)-F(a).这个公式也这个公式也叫牛顿叫牛顿莱布尼兹（莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式）公式
4、.这个公式把这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分积分和微分这两个不同的概念联系起来，从而把求定积分 的问题转化为求的问题转化为求f(x)的原函数的问题的原函数的问题.考点考点考点考点1 1 利用微积分定理求定积分利用微积分定理求定积分利用微积分定理求定积分利用微积分定理求定积分 计算下列定积分计算下列定积分:(1)dx；(2)x(x+1)dx;【分析分析】求出被积函数的原函数求出被积函数的原函数,用微积分基本定理用微积分基本定理进行求解进行求解,计算计算 f(x)dx的关键是找到满足的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数的函数F(x).其中其中F(x)可将基本初等函数
5、的可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到导数公式逆向使用得到.【解析解析】(1)dx=lnx =ln4-ln2=ln22-ln2=2ln2-ln2=ln2.(2)x(x+1)=x2+x且（且（x 3）=x2,（x 2）=x,x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx=x3 +x2=（23-0）+（22-0）=.【评析评析评析评析】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为）把定积
6、分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值）计算原始定积分的值.求下列定积分求下列定积分:(1)(2x-3x2)dx;(2)sin2 dx;(3)(x+)dx.(1)(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2 -x3 =-18.(2)sin2 dx=dx=dx-cosxdx=x -sinx=.(3)(x+)dx=xdx+dx=x2 +lnx =+ln2.设设y
7、=f(x)为区间为区间0,1上的连续函数，且恒有上的连续函数，且恒有0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算积分可以用随机模拟方法近似计算积分 f(x)dx,先产生两组先产生两组(每组每组N个个)区间区间0,1上的均匀随上的均匀随机数机数x1,x2,xN和和y1,y2,yN,由此得到由此得到N个点个点(xi,yi)(i=1,2,N).再数出其中满足再数出其中满足yif(xi)(i=1,2,N)的点数的点数N1,那么由随机模拟方法那么由随机模拟方法可得积分可得积分 f(x)dx的近似值为的近似值为.考点考点考点考点2 2 利用定积分几何意义求定积分利用定积分几何意义求定积分利用定积分几何意义求定
8、积分利用定积分几何意义求定积分 且共有且共有N个数对个数对,即即N个点个点.而满足而满足yif(xi)的有的有N1个点个点,即在函数即在函数f(x)的图的图象上及图象下方有象上及图象下方有N1个点个点,所以用几何所以用几何概型的概率公式得概型的概率公式得:f(x)在在x=0到到x=1上上与与x轴围成的面积为轴围成的面积为 1=,即即 f(x)dx=.【解析解析】因为因为0f(x)1且由积分的定义知且由积分的定义知 f(x)dx是是由直线由直线x=0,x=1及曲线及曲线y=f(x)与与x轴围成的面积轴围成的面积.又产生又产生的随机数对在如图所示的正方形内的随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面
9、积为正方形的面积为1,【分析分析】利用定积分的几何意义解题利用定积分的几何意义解题.【评析评析评析评析】本题考查了几何概型、定积分等知识，难本题考查了几何概型、定积分等知识，难度不大，但综合性较强，很好地考查了学生对积分等度不大，但综合性较强，很好地考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖知识的理解和应用，题目比较新颖.求定积分求定积分 .令令y=，则，则(x-3)2+y2=25(y0),表示由曲线表示由曲线y=在在-2,3上的一段与上的一段与x轴和直线轴和直线x=3所围成的面积，所围成的面积，=52=.考点考点考点考点3 3 定积分的应用定积分的应用定积分的应用定积分的应用 由曲线由
10、曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为围成的封闭图形面积为 ()A.B.C.D.【分析分析】先求出先求出y=x2与与y=x3的交点的交点,再由定积分的几何再由定积分的几何意义求面积意义求面积.y=x2 y=x3 因此所求图形面积为因此所求图形面积为S=(x2-x3)dx=（x3-x4）=.故应选故应选A.A【解析解析】由由得交点坐标为得交点坐标为(0,0),(1,1),求抛物线求抛物线y2=2x与直线与直线y=4-x围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积.y2=2x y=4-x解出抛物线和直线的交点为解出抛物线和直线的交点为(2,2)及及(8,-4).解法一解法一:选选x作为积分变量作为
11、积分变量,由图可看出由图可看出S=A1+A2,【解析解析解析解析】由方程组由方程组在在A1部分部分:由于抛物线的上半支方程为由于抛物线的上半支方程为y=,下半支方程为下半支方程为y=-，所以，所以 =,=于是：于是：S=18.解法二解法二解法二解法二：选：选y作积分变量，作积分变量，将曲线方程写为将曲线方程写为x=及及x=4-y.S=30-12=18.考点考点考点考点4 4 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 一辆汽车的速度一辆汽车的速度时间曲线如图所示时间曲线如图所示,求此汽车在这求此汽车在这1 min内所行驶的路程内所行驶的路程.【分析分析分析
12、分析】由题意知由题意知,在在t0,10)和和t40,60)物体做匀变速直线物体做匀变速直线运动运动,t10,40)做匀速运动做匀速运动,v(t)应为分段函数应为分段函数,应三段求积分应三段求积分.【解析解析解析解析】由速度由速度时间曲线易知时间曲线易知,3t,t0,10)30,t10,40)-1.5t+90,t40,60,由变速直线运动的路程公式可得由变速直线运动的路程公式可得 答答:此汽车在这此汽车在这1 min内所行驶的路程是内所行驶的路程是1 350 m.v(t)=【评析评析评析评析】用定积分解决变速运动的位置与路程问题时用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是
13、关键将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速变速直线运动的速度函数往往是分段函数度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分将其分成几段积分,然后求出积分的和然后求出积分的和,即可得到答案即可得到答案.列列车车以以72 km/h的的速速度度行行驶驶，当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度a=-0.4 m/s2,问问列列车车在在进进站站前前多多长长时时间间，以以及及离离车车站多远处开始制动？站多远处开始制动？【解析解析解析解析】1.1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号被积函数若含有绝对值号应去绝对值号被积函数若含有绝对值号应去绝对值号
14、被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积再分段积再分段积再分段积分分分分.2.2.若积分式子中有几个不同的参数若积分式子中有几个不同的参数若积分式子中有几个不同的参数若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁则必须先分清谁则必须先分清谁则必须先分清谁是被积变量是被积变量是被积变量是被积变量.3.3.求曲边多边形的面积求曲边多边形的面积求曲边多边形的面积求曲边多边形的面积,其步骤为其步骤为其步骤为其步骤为:(1)(1)画出草图画出草图画出草图画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致在直角坐标系中画出曲线或直线的大致在直角坐标系中画出曲线或直线的大致在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象
15、图象图象图象.(2)(2)借助图形确定被积函数借助图形确定被积函数借助图形确定被积函数借助图形确定被积函数,求出交点坐标求出交点坐标求出交点坐标求出交点坐标,确定积分确定积分确定积分确定积分的上限、下限的上限、下限的上限、下限的上限、下限.(3)(3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和.(4)(4)计算定积分计算定积分计算定积分计算定积分.返回目录返回目录 4.4.用定积分解决变速运动的位置与路程问题时用定积分解决变速运动的位置与路程问题时用定积分解决变速运动的位置与路程问题时用定积分
16、解决变速运动的位置与路程问题时,将将将将物理问题转化为数学问题是关键物理问题转化为数学问题是关键物理问题转化为数学问题是关键物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度变速直线运动的速度变速直线运动的速度变速直线运动的速度函数往往是分段函数函数往往是分段函数函数往往是分段函数函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将故求积分时要利用积分的性质将故求积分时要利用积分的性质将故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分其分成几段积分其分成几段积分其分成几段积分,然后求出积分的和然后求出积分的和然后求出积分的和然后求出积分的和,即可得到答案即可得到答案即可得到答案即可得到答案,由由由由于函数
17、是分段函数于函数是分段函数于函数是分段函数于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些所以运算过程可能稍微复杂些所以运算过程可能稍微复杂些所以运算过程可能稍微复杂些,因因因因此在运算过程中一定要细心此在运算过程中一定要细心此在运算过程中一定要细心此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误不要出现计算上的错误不要出现计算上的错误不要出现计算上的错误.5.5.若曲边梯形的面积易求若曲边梯形的面积易求若曲边梯形的面积易求若曲边梯形的面积易求,可以利用曲边梯形的面可以利用曲边梯形的面可以利用曲边梯形的面可以利用曲边梯形的面积来求得定积分积来求得定积分积来求得定积分积来求得定积分.名师伴你行名师伴你行