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1、13.513.5 线段的垂直平分线线段的垂直平分线泰泰安安市市政政府府为为了了方方便便居居民民的的生生活活，计计划划在在三三个个住住宅宅小小区区A、B、C之之间间修修建建一一个个购购物物中中心心，试试问问，该该购购物物中中心心应应建建于于何何处处，才才能能 使使 得得 它它 到到 三三 个个 小小 区区 的的 距距 离离 相相 等等。ABC实际问题实际问题1如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心 学习目标学习目标1、使学生理解线段垂直平分线的性质定理及逆定理,掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。2、了解线段垂直平分线的证明过程。3
2、、结合教学内容培养学生的抽象思维能力。学习重难点学习重难点重点:线段垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。难点:线段垂直平分线性质定理及逆定理的关系。AB线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B命题命题：线段垂直平分线上的：线段垂直平分线上的点点和和这条线段两个这条线段两个端点端点的的距离相等距离相等。PMNC动手操作动手操作：作线段作线段AB的的中垂线中垂线MN，垂垂足为足为C；在；在MN上上任取一点任取一点P，连结连结PA、PB；量一量量一量：PA、PB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题：线段命题：线段垂直平分
3、线垂直平分线上的上的点点和这条线段两个和这条线段两个端点端点的距离的距离相等。相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C,且且AC=CB.已知：如图，已知：如图，点点P在在MN上上.求证：求证：证明：MNAB PCA=PCB=90 在 PAC和 PBC中，AC=BC PCA=PCB PC=PC PAC PBC PA=PB如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心（4）得出结论）得出结论 线段垂直平分线线段垂直平分线的性质定理的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
4、线段两个端点的距离相等.符号语言符号语言:若点若点P在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，则则PA=PB.NABPM如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心 1如如图图，已知，已知AB是是线线段段CD的垂直平分的垂直平分线线，E是是AB上上的一点，如果的一点，如果EC=7cm，那么，那么ED=cm；如果；如果ECD=60，那么，那么EDC=.CADBE如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心驶向胜利的彼岸.如图,在在ABCABC中中,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂直平分线交的垂直平分
5、线交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,BCEE,BCE的周长等于的周长等于50,50,求求BCBC的的长长.BAEDC解 DE是是AB的垂直平分的垂直平分线 EA=EB BCE的周的周长长=EB+EC+BC=50 EA+EC+BC=50 即即AC+BC=50 AC=27 BC=23如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸w.如图如图,在在ABCABC中中,已知已知BC=27,ABBC=27,AB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,BCEE,BCE的周长等于的周长等于50
6、,50,求求ACAC的的长长.BAEDC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点点P在在线段线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等3.14 线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABPC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端 点的点的距离相等。距离相等。PA=PB点点P在在线段线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上?逆命题
7、：逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段段的垂直平分线上。的垂直平分线上。如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心已知：PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作AB的垂线PN，垂足为CPA=PB，PCABPC平分AB直线PN是线段AB的垂直平分线即点P在AB的垂直平分线上PABNC如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心证证法二：取法二：取AB的中点的中点C，过过P,C作直作直线线 AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(S
8、SS)PCA=PCB(全等三角形的全等三角形的对应对应角相等角相等)又又PCA+PCB=180，PCA=PCB=90，即，即PCAB P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心CBPA已知：已知：线线段段AB，点，点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上证证法三：法三：过过P点作点作APB的角平分的角平分线线交交AB于点于点C
9、AP=BP，APC=BPC，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB 又又PCA+PCB=180PCA=PCB=90 P点在点在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上上二、逆定理：二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在在线段线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相
10、等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心1.在在ABC中，中，ACB=90，AB=8cm，BC的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于于D点点,则则CD=_ 4cm 2.在等腰在等腰ABC,PM,QN分别垂分别垂直平分直平分AB,AC，则，则:(1)若若BC=10cm则则APQ的周长的周长=_cm;(2)若若BAC=100则则PAQ=_.10200线段的垂直平分线线段的垂直平分线例例1 已知已知:如
11、图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上分析：结论：结论：三角形三边垂直平分线交于一点，三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。这一点到三角形三个顶点的距离相等。你能依据例你能依据例1得到什么结论得到什么结论？例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,边边AB，BC的垂直平的垂直平分分 线交于线交于P.求证：求证：PA=PB=PC;证明：证明：点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上，上
12、，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心 3、在、在ABC中，中，AB=AC，AB的中垂线的中垂线与与AC所在的直线相交所在的直线相交所得的锐角为所得的锐角为50，则，则B=_.700或或200 泰泰安安市市政政府府为为了了方方便便居居民民的的生生活活，计计划划在在三三个个住住宅宅小小区区A、B、C之之间间修修建建一一个个购购物物中中心心，试试问问，该该购购物物中中心心应应建建于于何何处处，才才 能能 使使 得得 它它 到到 三三 个个 小小 区区 的的 距距 离离 相相 等等。ABC实际问题实际问题1如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心课堂小结本节课学习了哪些知识？2.到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.1.线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.如如初初如如初初多多媒媒体体多多媒媒体体制制 作作 中中 心心制制 作作 中中 心心作业课本第99页习题13.5 第2、3题