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1、相似三角形的性质和判定相似三角形的性质和判定本课内容本节内容3.3 你的两块三角板是不是相似？你的两块三角板是不是相似？说一说说一说 和同学的有没有相似的？和同学的有没有相似的？与老师的呢？与老师的呢？实际生活中还有哪些三角形是相似的？举例说明实际生活中还有哪些三角形是相似的？举例说明.图图3-14中，右边的三角形中，右边的三角形 是由左边的三是由左边的三角形角形ABC 放大得到的，量一量它们的三个角和三放大得到的，量一量它们的三个角和三条边，它们的三个角对应相等吗？条边，它们的三个角对应相等吗？与与 ，相等吗？相等吗？图图3-14 我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例我们把三个角对应相等
2、，且三条边对应成比例的两个三角形叫作的两个三角形叫作相似三角形相似三角形 相似三角形的对应边的比相似三角形的对应边的比k叫作叫作相似比相似比.如果如果 与与ABC 相似，且相似，且A，B，C分别与分别与A，B，C 对应对应，那么记作那么记作 ABC，读作读作 “相似于相似于ABC ”.从上面知道，如果两个三角形相似，那么它们从上面知道，如果两个三角形相似，那么它们的三条边对应成比例的三条边对应成比例.反之对吗？反之对吗？探究探究 即，如果两个三角形的三条边对应成比例，那即，如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似吗？么它们相似吗？如图如图3-15，ABC的边的边AB，BC，CA的长度分别
3、的长度分别为为4.2cm，3.6cm，3cm；图图 3-154.2cm1.5cm2.1cm3.6cm3cm1.8cm 的边的边 ，的长度分别为的长度分别为2.1cm，1.8cm，1.5cm 图图 3-154.2cm1.5cm2.1cm3.6cm3cm1.8cm 的三条边与的三条边与ABC的三条边对应成比例吗？的三条边对应成比例吗？计算：计算：=，=，=.成比例成比例.图图 3-154.2cm1.5cm2.1cm3.6cm3cm1.8cm 与与ABC 相似吗？相似吗？相等相等.量出量出ABC和和 的内角，的内角，A与与A 相等相等吗？吗？B和和 B 呢？呢？C和和C 呢？呢？答：相等答：相等.相
4、似相似.答：相似答：相似.可以证明下述定理：可以证明下述定理：结论结论 判定定理判定定理1 如果一个三角形的三条边与另一如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似相似4.2cm1.5cm2.1cm3.6cm3cm1.8cm判定定理判定定理1 1可以简单说成：可以简单说成：结论结论三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似4.2cm1.5cm2.1cm3.6cm3cm1.8cm举举例例例例1 如图如图3-16，已知，已知 ABC，并且，并且 =3cm，AB=2.4cm，BC=1.6cm，B=65，C=
5、75.求求 的长，以及的长，以及B，A的度数？的度数？图图3-16答：答：菱形的两条对角线的长度分别为菱形的两条对角线的长度分别为60cm，80cm.解解:因为因为 ABC，所以，所以再由已知条件，得再由已知条件，得由于相似三角形的对应角相等，因此由于相似三角形的对应角相等，因此B=B=65，C=C=75.于是于是从而从而 A=180-(B+C)=180-(65+75)=40.举举例例例例2 图图3-17中的两个三角形是否相似？为什么？中的两个三角形是否相似？为什么？图图3-17图图3-17解解:在在ABC中，中，ABBCCA；在在DEF中，中，DEEFFD.从而从而 DEFABC.(三边对应
6、成比例的两三边对应成比例的两 个三角形相似个三角形相似)由于由于因此因此练习练习1.任意两个等边三角形是否相似？为什么？任意两个等边三角形是否相似？为什么？答：任意两个等边三角形相似答：任意两个等边三角形相似.三边对应成比例三边对应成比例.2.三角形的三条中位线围成的三角形与原三角三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形是否相似？为什么？形是否相似？为什么？答：三条中位线围成的三角形与原三角形相似答：三条中位线围成的三角形与原三角形相似.三边也对应成比例，其相似比为三边也对应成比例，其相似比为 .3.已知已知DEFABC，且，且A=50，B=20，求，求F的度数的度数.答：答：F=110.4.
7、已知：在已知：在ABC与与DEF中，中，AB=2.2cm，BC=1.6cm，CA=3cm；DE=3.3cm，EF=2.4cm，FD=4.5cm.求证：求证：ABCDEF.证明：证明：ABCDEF.说一说说一说 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角相等吗？两个角对应相等，那么它们的第三个角相等吗？由于三角形的内角和为由于三角形的内角和为180，因此它们的第三个角，因此它们的第三个角也相等也相等.?画一个三角形，使它的一个角为画一个三角形，使它的一个角为30，与同，与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？桌和邻近桌的同
8、学交流，所画的三角形相似吗？探究探究 画一个三角形，使它的三个角中两个角分别画一个三角形，使它的三个角中两个角分别为为30，50.与同桌和邻近桌的同学交流，所画的与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？三角形相似吗？画一个三角形，使它的三个角中两个角分别为画一个三角形，使它的三个角中两个角分别为40，55.与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？角形相似吗？由此猜想：有一个角对应相等的两个三角形相似由此猜想：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？有两个角对应相等的两个三角形相似吗？吗？有两个角对应相等的两个三角形相似吗？可以证明下述定理：可以证明下述
9、定理：结论结论 判定定理判定定理2 如果一个三角形的两个角与另一个如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定定理判定定理2 2 可以简单说成：可以简单说成：结论结论两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似 举举例例例例3 已知：在已知：在ABC与与DEF中，中，A=48，B=82，D=48，F=50.求证：求证：ABCDEF.解解:在在DEF中，中，E=180-D-F =180-48-50=82.A=D=48，B=E=82，ABCDEF.(两角对应相等的两个三两角对应相等的两个三 角形相似角形相似
10、)举举例例例例4 如图如图3-18，已知：在，已知：在ABC中，中，EFBC 求证：求证：AEFABC.解解:EFBC，AEF=ABC.(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)AEFABC.又又 A是公共角，是公共角，图图3-18举举例例例例5 如图如图3-19，ABC，相似比为，相似比为k，分别作分别作BC，上的高上的高AD，求证：求证：解解:ABC，B=B又又 =ADB=90，ABD.(两角对应相等的两个三两角对应相等的两个三 角形相似角形相似)从而从而(相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边成比例)图图3-19举举例例例例6 若若 ABC，相似比为，相似比为k，那么它们的周长
11、比是多少？面积比是多少？那么它们的周长比是多少？面积比是多少？解：解：因为因为 ，所以所以 从而从而 的周长的周长的周长的周长因为由因为由例例5可知可知 ，所以所以 的面积的面积的面积的面积 由此得出：由此得出：结论结论 相似三角形周长的比等于相似比，相似三相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方角形面积的比等于相似比的平方.练习练习1.在在ABC与与DEF中，中，A=39，B=61，E=39，F=80.则则 ABC.EDF2.若若ABC ，它们的周长分别为它们的周长分别为60cm和和72cm，且，且AB=15cm，=24cm，求求BC，AC，的的长长.BAC答：答：B
12、C=20cm，AC=25cm，cm，3.若若ABC ，AB=3，=4.5，且，且 SABC+S =78，求，求 的面积的面积.答：答：S =54.4.相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？为什么？为什么？答：答：相似三角形面积的比等于对应高的比的平方相似三角形面积的比等于对应高的比的平方.(提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比，提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比，而面积比等于相似比的平方而面积比等于相似比的平方.)5.如图如图3-20，ABC中，中，A=90，EDBC，则：，则：答：答：ABCDBE，两角对应相等的两个，两角对应相等的两个
13、 三角形相似三角形相似(B=B，BDE=BAC)（1）ABC与与DBE是否相似？为什么？是否相似？为什么？图图3-20（2）已知）已知AC=6，AB=8，BE=5，则，则BC，DE分别为多少？分别为多少？答：答：RtABC中，中，AB=8，AC=6，BC=10.又又 ABCDBE，即即图图3-20动脑筋动脑筋 画画ABC与与 ，使，使A=A，且，且 与与ABC相似吗？把相似比相似吗？把相似比2换成任意一个正数换成任意一个正数k，与与ABC相似吗？相似吗？ABC可以证明下述定理：可以证明下述定理：结论结论 判定定理判定定理3 如果一个三角形的两条边和如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对
14、应成比例，并且夹角相等，另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.ABC判定定理判定定理3 3 可以简单说成：可以简单说成：结论结论两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.ABC说一说说一说 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？为什么？为什么？相似，因为符合相似三角相似，因为符合相似三角形判定定理形判定定理3的条件的条件.举举例例例例7 已知在已知在ABC与与DEF中，中，C=F=70，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm
15、.求证：求证：DEFABC.证明：证明：由于由于因此因此又又 F=C，因此因此 DEFABC.(两边对应成比例且夹角相等的两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似两个三角形相似)且且 F是边是边FD与与FE的夹角，的夹角，C是边是边CA与与CB的夹角，的夹角，动脑筋动脑筋 如图如图3-21，在，在ABC与与DEF中，中，B=E=40，AB=4.2cm，AC=3cm，DE=2.1cm，DF=1.5cm.ABC与与DEF有两边对应成比例吗？有一个角对应相等吗？这两有两边对应成比例吗？有一个角对应相等吗？这两个三角形相似吗？个三角形相似吗？图图3-21 从上述例子你能得出什么结论？从上述例子你能得
16、出什么结论？图图3-21有两边对应成比例有两边对应成比例.图中图中B=E，而，而AD，故，故这两个三角形不相似这两个三角形不相似.在两个三角形中，有在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似两个三角形不相似.有两边对应成比例有两边对应成比例.图中图中B=E，而，而AD，故这两个三角形不相似，故这两个三角形不相似.在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似边的夹角相等，则这两个三角形不相似.举举例例例例8 如图如图3-22在在 RtABC
17、 与与 Rt 中，中，C=C=90，且，且 求证：求证：ABC.图图3-22 证明：证明：由已知条件得由已知条件得 从而从而BC2=AB2-AC2=(2 )2-(2 )2 =4 2 4 2 =4(2-2)=4 2 =(2 )2.从而从而由此得出，由此得出，因此因此 ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似)图图3-22说一说说一说 还可以根据还可以根据相似三角形相似三角形的判定定理的判定定理3，来证明这两，来证明这两个直角三角形相似个直角三角形相似.在在例例8的证明中，还可以根据哪个判定定理说明的证明中，还可以根据哪个判定定理说明 ABC？例例8 如图如图3-22
18、在在 RtABC 与与 Rt 中，中，C=C=90，且，且 求证：求证：ABC.图图3-22说一说说一说 把把例例7中的中的 改成任意一个正数改成任意一个正数k，Rt 与与RtABC相似吗？由此你能得出什么结论？相似吗？由此你能得出什么结论？例例7 如图如图3-22在在 RtABC 与与 Rt 中，中，C=C=90，且，且 求证：求证：ABC.图图3-22 把把 改为正数改为正数k，这两，这两个直角三角形仍相似个直角三角形仍相似.由此可得出，在两个直角三由此可得出，在两个直角三角形中，有两边对应成比例，则角形中，有两边对应成比例，则这两个直角三角形相似这两个直角三角形相似.练习练习1.已知在已
19、知在RtABC与与Rt 中，中，C=C=90，AC=3cm，BC=2cm，=4.2cm，=2.8cm.求证：求证：ABC.证明：证明：ABC .2.已知在已知在RtABC与与Rt 中，中，C=C=90，AB=6cm，AC=4.8cm，=5cm，=3cm.求证：求证：ABC.证明：证明：ABC .中考中考 试题试题例例1 如图所示，已知如图所示，已知ACPABC，AC=4，AP=2，则则AB的长为的长为 .8解解因为因为ACPABC，所以所以 ，所以所以 BACP中考中考 试题试题例例2 已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，DEF的一边长为的一边长为4cm，当，当DEF的另两边长是下列哪一组时，的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（这两个三角形相似（）.A.2cm，3cm；B.4cm，5cm；C.5cm，6cm；D.6cm，7cm.C解解ABC的三边长分别为的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm,若若DEF的三边长分别为的三边长分别为4cm，5cm，6cm,应选择应选择C.结结 束束