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1、yyyy年年M月月d日星期日星期复习：数学复习：数学统计内容统计内容1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程求回归直线方程 4.用回归直线方程解决应用问题用回归直线方程解决应用问题问题问题1：正方形的面积：正方形的面积y与正方形的边长与正方形的边长x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=x2确定性关系确定性关系问题问题2：某水田水稻产量：某水田水稻产量y与施肥量与施肥量x之间是否之间是否 有一个确定性的关系？有一个确定性的关系？例如：在例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得进行施肥
2、量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据：到如下所示的一组数据：施施化肥量化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455复习复习 变量之间的两种关系变量之间的两种关系10 20 30 40 50500450400350300施施化肥量化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy施施化肥量化肥量水稻产量水稻产量 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做随机性的两个
3、变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1、定义、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；）：相关关系是一种不确定性关系；注注对具有相关关系的两个变量进行统计对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫分析的方法叫回归分析回归分析。2）：）：现实生活中存在着大量的相关关系。现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄；如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等家庭的支出与收入。等等探索：水稻产量探索：水稻产量y与施肥量与施肥量x之间大致有何规之间大致有何规律？律？10 20 30 40 505004504
4、00350300发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。探索探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表线最能代表x与与y之间的关系呢？之间的关系呢？施施化肥量化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy散点图散点图施施化肥量化肥量水稻产量水稻产量10 20 30 40 50500450400350300 xy施施化肥量化肥量水稻产量水稻产量探究探究对于一组具有线性相关关系的数据对于一组具有线性相关关系的数据我们知道其回归方
5、程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：称为样本点的中心。称为样本点的中心。你能推导出这个公式吗？（推导过程见课本你能推导出这个公式吗？（推导过程见课本80-81页）页）1、所求直线方程叫做、所求直线方程叫做回归直线方程回归直线方程；相应的直线叫做相应的直线叫做回归直线回归直线。2、对、对两个两个变量进行的线性分析叫做变量进行的线性分析叫做线性回归分析线性回归分析。1、回归直线方程、回归直线方程最小二乘法：最小二乘法：称为样本点的中心称为样本点的中心。2、求回归直线方程的步骤：、求回归直线方程的步骤：（3）代入公式）代入公式（4）写出直线
6、方程为）写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。即为所求的回归直线方程。例题例题1 1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8 8名女大学生，其身名女大学生，其身高和体重数据如下表：高和体重数据如下表：编号12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172172的女大的女大学生的体重。学生的体重。分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自
7、变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量2.2.回归方程：回归方程：1.散点图；散点图；相关系数相关系数正相关；负相关通常，正相关；负相关通常，r 0.75，认为两个变量有很强的相关认为两个变量有很强的相关性性 本例中本例中,由上面公式由上面公式r=0.7980.75如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？在在数学数学3中，我们学习了用相关系数中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量来衡量两个变量之间线性相关关系的方法。之间线性相关关系的方法。相关系数相关系数r相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相
8、关完全负相关完全负相关完全负相关无线性相关无线性相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关完全正相关完全正相关负负负负相关程度增加相关程度增加相关程度增加相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加正相关程度增加正相关程度增加 比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-3统计案例1.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae4.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因5.了解相关指数了解相关指数 R2 和
9、模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系6.了解残差图的作用了解残差图的作用7.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题8.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果1、线性回归模型：、线性回归模型：y=bx+a+e，其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称是随机误差的效应，称 为为残差残差。3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号
10、表示为：的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为称为残差平方和残差平方和，它代表了随机误差的效应。它代表了随机误差的效应。表表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。4、残差分析与残差图的定义：、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是
11、否存在可疑数据，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为样作出的图形称为残差图残差图。残差图的
12、制作及作用残差图的制作及作用1 1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2 2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；轴为心的带形区域；3 3、对于远离横轴的点，要特别注意。、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明：几点说明：第一个样本点和第第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数
13、的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其来刻画回归的效果，其 计算公式是：计算公式是：R R2 2 1 1，说明回归方程拟合的越好；
14、说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；说明回归方程拟合的越好；R R2 20 0，说明回归说明回归说明回归说明回归方程拟合的越差。方程拟合的越差。方程拟合的越差。方程拟合的越差。例例1 在一段时间内，某中商品的价格在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之件之间的一组数据为：间的一组数据为：求出求出Y对对X的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-
15、4.4一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。查数据是否有误，或模型是否合适等。